機電系統一體化建模與動力學仿真向量鍵合圖法*

王中雙,師永珍,尹久政

(齊齊哈爾大學 機電工程學院,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引 言

隨著現代機械裝備性能的不斷提高,系統不再局限于單一的機械能域,往往由多能域(例如機、電)子系統所構成。以分析力學及彈性力學為基礎的各類動力學分析方法(例如牛頓-歐拉動力學方法、拉格朗日方法)及軟件[1,2]僅適用于機械能域的系統,對于多能域系統的一體化計算機建模、動力學仿真及分析存在很大的局限性。

為解決上述問題,鍵合圖方法[3]提供了頗具特色的有效途徑,在實際工程中得到了廣泛的應用[4-6]。文獻[7]基于系統鍵合圖的場和結型結構,較詳細地闡述了用于計算機自動建立系統狀態方程的矩陣法,該方法對于相當一部分機電系統是非常有效的。但在建立多體系統鍵合圖模型時,每個鍵對應一個勢變量和一個流變量,表達形式比較繁雜,實際應用非常不便。另外,多體系統鍵合圖模型存在微分因果關系,也給實現計算機自動建模帶來了非常大的代數困難。為此,文獻[8]進一步擴展了鍵合圖的概念,提出了向量鍵合圖法。向量鍵合圖的每個鍵對應一個勢向量和一個流向量,表達方式簡明,包含信息更大。文獻[9,10]分別應用向量鍵合圖法實現了電機驅動的平面開鏈機械臂系統、計及運動副間隙的平面四連桿機構的動力學分析,但由于其向量鍵合圖存在微分因果關系,建立系統動力學方程的方式還都局限于手工推導。文獻[11]將機構運動副約束反力向量視作未知勢源向量,添加到系統向量鍵合圖模型相應的0-結,可以完全消除微分因果關系,基于MLSD運動副間隙模型[12],應用向量鍵合圖法實現了含運動副間隙的RRR-RRP六連桿壓力機機構計算機建模與動力學仿真。

但是,對于有些非線性系統,其向量鍵合圖貯能場和耗散場方程是非線性的,其建模方法具有很大的局限性。另外,由于MLSD模型采用線性彈簧阻尼描述間隙運動副的接觸碰撞,實際應用中也具有局限性,例如不能反映碰撞過程中的能量轉換特性,其彈簧阻尼器的參數難以確定等。

針對上述問題,筆者提出一種適用于計算機自動建模的向量鍵合圖法,通過對計及驅動電機、非線性運動副間隙的曲柄滑塊壓力機機構系統進行一體化自動建模與動力學仿真,驗證所述方法的可靠性及有效性。

1 系統狀態方程及運動副約束反力方程

全積分因果關系系統鍵合圖模型場和結型結構如圖1所示。

圖1 全積分因果關系統鍵合圖模型場和結型結構系統獨立貯能場獨立運動的能量變量向量,為m1維列向量;系統獨立貯能場非獨立運動的能量變量向量,為m2維列向量;系統獨立貯能場獨立運動的共能量變量向量,為m1維列向量;系統獨立貯能場非獨立運動的共能量變量向量,為m2維列向量;耗散場的輸入向量、輸出向量,為L維列向量;系統已知源輸入向量,為ms維列向量;系統運動副約束反力向量,為mu維列向量

由圖1可知,對于系統獨立貯能場,可將其特性方程列寫成如下非線性的形式:

(1)

(2)

對于系統耗散場,可將其特性方程列寫成如下非線性的形式:

(3)

系統的結型結構方程可寫成如下形式[13]:

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(1～7)聯立,經進一步代數處理可建立系統狀態方程及運動副約束反力方程。

當det(TLE)≠0時,有:

(8)

式中:I1—L×L單位矩陣。

當JCL=0時,有:

(9)

2 計及運動副間隙的機電系統向量鍵合圖模型

電機驅動含間隙曲柄滑塊壓力機機構系統如圖2所示。

由圖2可知,曲柄AB質心位于A點,其余各桿件均勻。

驅動電機參數如下:電樞線圈電感、電阻分別為La=0.05 H,ra=0.4 Ω,換能系數T=0.678 N·m/A,轉子阻尼系數Da=0.226 N·m·s/rad,電機輸入電壓Vt=60 V,電樞線圈電流強度ia,其初始值ia(0)=0。

系統向量鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 系統向量鍵合圖模型滑塊(刀具)的速度向量;容性元件C10的廣義位移、廣義速度向量,即軸與軸套相互碰撞的壓入深度向量、相對彈性變形速度向量;δC—軸與軸套相互碰撞的壓入深度;MBC—連桿BC的質量矩陣,連桿BC質心速度向量,

該系統永磁式直流驅動電動機的鍵合圖模型如圖3中的Ⅰ部分所示[16]。該機構曲柄AB、連桿BC彼此間用轉動副連接,滑塊(刀具)與機架通過移動副連接。由于機構運行時滑塊(刀具)沖切工件會發生碰撞與沖擊,連接連桿BC與滑塊(刀具)的轉動副C受實際沖切力的影響最直接,極易產生磨損,故這里僅計及轉動副C的間隙。筆者分別建立圖2所示機構各構件的向量鍵合圖模型,將其按照機構的上述運動約束關系鍵接起來,可以建立計及運動副間隙的曲柄滑塊壓力機機構向量鍵合圖模型,將其與圖3Ⅰ驅動電機的鍵合圖模型進一步鍵接,可以建立圖2所示機電系統完整的向量鍵合圖模型。其中,間隙轉動副C的向量鍵合圖模型如圖3中的Ⅱ部分所示。

轉動副C間隙模型簡圖如圖4所示。

圖4 轉動副C間隙模型簡圖Ri—軸套的半徑;Rj—軸的半徑;旋轉鉸C軸與軸套的偏心向量;e—旋轉鉸C軸與軸套的偏心量

由圖4可知:間隙轉動副C用修正非線性連續接觸碰撞力混合模型來描述。該模型是在L-N碰撞力模型[17]及改進彈性基礎模型[18]的基礎上提出的,解決了碰撞剛度系數的取值問題,且不受間隙尺寸和恢復系數的限制,實際應用中能夠更精確地描述運動副間隙。構件i表示軸套,構件j表示軸,Oi、Oj分別為軸套和軸的軸心點。

設軸與軸套的半徑差為c,則有:

δC=e-c

(10)

c=Ri-Rj

(11)

為建立間隙轉動副C的向量鍵合圖模型,筆者將間隙轉動副碰撞力進一步歸納整理成向量形式:

(12)

(13)

(14)

(15)

3 系統動力學仿真及分析

由本文所述方法可得圖3中與圖1相對應的向量,其中:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由圖3所示系統向量鍵合圖,可以建立方程(1～3)的函數關系矩陣:

(24)

(25)

同時,也可以確定方程(4～7)中的函數系數矩陣。

無間隙機構、有間隙機構運動副C約束反力合力曲線、滑塊(刀具)加速度曲線、運動副B約束反力合力曲線如圖5所示。

圖5 機構動力學仿真實驗結果曲線

為驗證上述仿真結果的可靠性,筆者應用牛頓-歐拉動力學方法及電工學方法,分別建立該系統機械部分及驅動電機的動力學方程,并聯立求解。

無間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果如表1所示。

表1 無間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果

含間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果如表2所示。

表2 有間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果

由表1、表2可知:牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果與用本文方法所得結果是一致的。為更加清晰、直觀地表達這一點,將表1、表2所列數據用涂黑的圓點表示在圖5中,結果顯示這些圓點均在相對應的仿真曲線上。這一驗證過程手工處理量較大,比較費時且容易出錯。

由此可見,本文方法具有如下明顯的優勢:(1)將機電耦合系統的動力學建模以統一的程式化方式由計算機來完成,提高了系統動力學建模與仿真工作的自動化程度及可靠性;(2)與現有的鍵合圖方法相比較,本文所推出的系統狀態方程更具有通用性,特別適用于Fi1、Fi2、R為狀態變量函數矩陣的非線性系統。

由圖5可知：曲柄的初始位置角為180°;曲柄由初始位置逆時針轉720°,機構完成2個周期的運動。

由圖5(a,b)可得:在系統運行過程中,對于有間隙及無間隙的運動副C,其約束反力曲線總體變化趨勢相近。不考慮間隙時,運動副C的約束反力曲線較光滑。運動副間隙導致其軸與軸套間產生脈沖式的間隙碰撞力,使有間隙的運動副C約束反力曲線呈高頻振蕩狀態,其最大幅值明顯增大。角位移q1=719.983 5°時,無間隙運動副C約束反力的最大值為67 064.328 4 N;角位移q1=719.242 9 °時,有間隙運動副C約束反力的最大值為69 446.965 7 N,其最大值增加了2 382.637 3 N。兩者達到最大值的曲柄角位移差為0.740 6°,這表明運動副C約束反力對其本身的間隙十分敏感。另外,在圖5所示的兩個運動周期內,間隙運動副約束反力合力FC始終大于0,表明運動副軸與軸套處于連續接觸狀態。

由圖5(c,d)可得：不考慮運動副間隙時,機構滑塊(刀具)加速度曲線較光滑。考慮運動副C的間隙時,由于間隙對其約束反力的影響,使機構滑塊(刀具)加速度曲線呈高頻波動狀態。與無間隙機構相對比,有間隙機構刀具的加速度曲線變化趨勢相近,但其正、反向最大幅值均明顯增大。角位移q1=719.983 5°,無間隙機構滑塊(刀具)加速度的反向最大值為-6 706.429 9 m·s-2;角位移q1=719.242 9°,含間隙機構滑塊(刀具)加速度的反向最大值為-6 925.966 6 m·s-2,其反向最大值的絕對值增加了219.536 7 m·s-2,兩者達到反向最大值的曲柄角位移差為0.740 6°;當角位移q1=900°時,無間隙機構滑塊(刀具)加速度的正向最大值為4 584.939 9 m·s-2,含間隙機構滑塊(刀具)加速度的正向最大值為4 848.041 2 m·s-2,其正向最大值增加了263.101 3 m·s-2,這會在較大程度上影響機構運動的穩定性。

由圖5(e,f)可得:無間隙機構運動副B約束反力曲線較光滑。由于間隙對運動副C約束反力的直接影響,也使得機構運動副B約束反力曲線呈高頻波動狀態。與無間隙機構相對比,有間隙機構運動副B約束反力曲線變化趨勢相近,但其最大幅值明顯增大。角位移q1=719.983 5°時,無間隙機構運動副B約束反力的最大值為76 909.736 4 N,角位移q1=719.242 9°時,有間隙機構運動副B約束反力的最大值為79 068.454 6 N,其最大值增加了2 158.718 2 N,兩者達到最大值的曲柄角位移差為0.740 6°,這表明運動副B約束反力對運動副C的間隙也比較敏感。

由此可見,運動副間隙導致其軸與軸套間產生脈沖式的間隙碰撞力,使機構運動副C的約束反力、刀具加速度及運動副B的約束反力的最大值分別增加了3.55%、5.7%、2.8%。這會使機構運行產生較大的沖擊、振動及噪聲,影響機構運動的穩定性,也會降低機構構件的強度及使用壽命。

4 結束語

(1)在系統貯能場、耗散場方程是非線性的條件下,筆者建立了系統狀態方程及運動副約束反力方程,比現有同類方法通用性更強,適用范圍更廣,其程式化的建模方式特別適用于復雜非線性機電系統一體化計算機建模與動力學仿真;

(2)基于修正非線性連續接觸碰撞力混合模型,筆者推導出了間隙運動副接觸碰撞力向量方程。在此基礎上所建立的間隙轉動副向量鍵合圖模型,具有精細度高、模塊化的特點,便于嵌入到系統的向量鍵合圖模型中,為更精確計及運動副間隙的機電系統一體化計算機建模及動力學仿真奠定了基礎;

(3)根據所建立的計及驅動電機、運動副間隙的曲柄滑塊壓力機機構系統向量鍵合圖模型,實現了系統的一體化計算機建模及動力學仿真。

研究結果表明:本文所述方法是可靠的,提高了機電系統動力學建模與仿真工作的自動化程度;運動副C的間隙對系統動態性能產生一定程度的影響,使機構運動副C的約束反力、刀具加速度及運動副B的約束反力呈高頻振蕩狀態,其最大值分別增加了3.55%、5.7%、2.8%。該結果說明了本文方法的有效性,對于機構的設計、控制及可靠性問題的研究具有一定的價值。