高階煤煤巖毛管壓力曲線新數(shù)學(xué)模型及關(guān)鍵參數(shù)

陳 科，唐 磊，尹 超，何 偉，張 偉，權(quán) 政

(中海油能源發(fā)展股份有限公司工程技術(shù)分公司中海油實(shí)驗(yàn)中心，天津 300452)

毛管壓力曲線對煤層氣賦存和開發(fā)具有重要意義[1-3]，毛管壓力曲線定量化表征對于孔隙結(jié)構(gòu)表征[4]、儲(chǔ)層及傷害評價(jià)[5-6]、相滲曲線計(jì)算[7]具有重要意義。許多專家學(xué)者對毛管壓力數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究和應(yīng)用，但對于常規(guī)砂巖儲(chǔ)層和非常規(guī)頁巖儲(chǔ)層適用的毛管壓力數(shù)學(xué)模型是否也同樣適用于高階煤煤巖，并未達(dá)成共識(shí)。毛瀟瀟等[8]、宋播藝等[9]基于分形理論建立了高煤階煤巖毛管壓力分形表征模型，Li Kewen[10]也基于分形幾何，建立了能夠表征裂縫儲(chǔ)層毛管壓力的一般性毛管壓力模型，然而尹志軍等[11]認(rèn)為由于高階煤儲(chǔ)層具有分段分形特征，目前的毛管壓力曲線分形模型不適應(yīng)于高階煤；曾建強(qiáng)等[12]對煤巖毛管壓力曲線數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了梳理，結(jié)果表明不同的數(shù)學(xué)模型往往適用于不同物性儲(chǔ)層的煤巖毛管壓力曲線，認(rèn)為Li模型能夠適應(yīng)于高煤階煤巖毛管壓力曲線；Liu Pengcheng等[13]基于火柴棍模型建立了一種新的煤巖毛管壓力模型，認(rèn)為該模型比Brooks and Corey模型更適于對煤巖的模擬；袁哲等[14]利用文獻(xiàn)[13]建立的新毛管壓力模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，認(rèn)為擬合效果較好，但指出采用Matlab軟件進(jìn)行擬合，計(jì)算過程相對較為復(fù)雜。因此，筆者基于高壓壓汞數(shù)據(jù)重新評價(jià)了經(jīng)典毛管壓力模型的適應(yīng)性，提出了新的毛管壓力數(shù)學(xué)模型，并對各參數(shù)求解和對毛管壓力曲線的影響進(jìn)行了評價(jià)，以期形成適用于高階煤毛管壓力曲線的數(shù)學(xué)表征模型。

1 實(shí)驗(yàn)煤樣及方法

1.1 煤樣制備

煤樣選自某盆地某高階煤煤層，取樣深度500～750 m，將樣品加工成直徑2.5 cm的柱塞，并放置在105℃恒溫箱中烘干至質(zhì)量不再發(fā)生變化。每個(gè)柱塞分成兩段，一段用于測試煤樣基本參數(shù)，另一段用于開展高壓壓汞實(shí)驗(yàn)。

1.2 實(shí)驗(yàn)方法

煤樣滲透率和孔隙率均采用氣體測試儀進(jìn)行，測試氣體介質(zhì)為氦氣，測試結(jié)果見表1。高壓壓汞實(shí)驗(yàn)采用AutoPore Ⅳ9500型全自動(dòng)壓汞儀開展測試，儀器最大工作壓力達(dá)到228 MPa，測試孔徑范圍為0.032～1 000 μm。由于最大工作壓力過低導(dǎo)致微孔難以表征，過高則導(dǎo)致煤樣孔隙壓縮變形，因此，本文設(shè)置最大工作壓力不超過100 MPa，故本文實(shí)驗(yàn)測試的孔徑范圍為0.075～1 000 μm；實(shí)驗(yàn)溫度均為室溫25℃；由于煤樣樣品滲透率較低，均小于1×10-3μm2，測定點(diǎn)平衡時(shí)間均設(shè)定為60 s。依據(jù)GB/T 29171—2012《巖石毛管壓力曲線的測定》開展高壓壓汞實(shí)驗(yàn)。

表1 實(shí)驗(yàn)煤樣基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the experiment coal sample

1.3 毛管壓力曲線

測試得到的煤巖毛管壓力曲線如圖1所示。圖1表明6塊煤樣毛管壓力曲線總體上位于圖1左上方，表明煤樣物性整體較差，滲透率小于0.31×10-3μm2，孔隙率小于7.1%(表1)；毛管壓力曲線基本沒有中間平緩段，整體表現(xiàn)為向左上方凸出的形態(tài)(圖1)，表明孔隙半徑分選性差，這與常規(guī)砂巖儲(chǔ)層及低階煤儲(chǔ)層所具有明顯中間平緩段的毛管壓力曲線形態(tài)完全不一樣，主要是由于常規(guī)砂巖儲(chǔ)層、低階煤儲(chǔ)層以發(fā)育孔隙為主，分選性整體較好，相同孔隙半徑的孔隙數(shù)量和體積較多；而對于高階煤，微裂縫大量發(fā)育，形成裂縫和孔隙雙重孔隙介質(zhì)，孔裂隙半徑分選性整體較差，形成了向左上方凸出的曲線形態(tài)。

圖1 煤樣毛管壓力曲線Fig.1 Capillary pressure curves of coal samples

2 現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型適應(yīng)性評價(jià)

2.1 Brooks and Corey模型

Brooks and Corey模型(BC模型)是經(jīng)典的毛管壓力擬合模型，能夠很好地?cái)M合很多煤樣的毛管壓力數(shù)據(jù)，其表達(dá)式[15]為：

式中：pc為毛管壓力，MPa；pe為閥壓，即汞開始進(jìn)入煤樣最大孔隙的壓力，MPa；Swn為標(biāo)準(zhǔn)化濕相飽和度，小數(shù)；γ為孔隙大小分布指數(shù)。

處理測試得到的毛管壓力數(shù)據(jù)(圖 1)，將數(shù)據(jù)繪制在以歸一化濕相飽和度為橫坐標(biāo)，以毛管壓力為縱坐標(biāo)的雙對數(shù)坐標(biāo)中(圖 2a)。結(jié)果表明，在雙對數(shù)坐標(biāo)中，歸一化濕相飽和度和毛管壓力不呈線性關(guān)系，因此不滿足式(1)，表明BC模型不能很好地?cái)M合研究區(qū)煤樣的毛管壓力曲線。

圖2 現(xiàn)有經(jīng)典毛管壓力模型對研究區(qū)煤樣毛管壓力數(shù)據(jù)適應(yīng)性評價(jià)Fig.2 Classical mathematical models for capillary pressure and their adaptation for the coal samples in the study area

2.2 賀承祖模型

賀承祖等[16]通過分形定義及壓汞參數(shù)特征推導(dǎo)出了分形毛管壓力模型：

式中：Sw為含水飽和度，%；Df為分形維數(shù)，無量綱。

賀承祖模型在常規(guī)砂巖儲(chǔ)層中使用較為廣泛，賈慧敏[17]采用該模型對沁水盆地南部高煤階煤樣分形特征進(jìn)行了研究，認(rèn)為煤樣具有多段分形特征，即同一煤樣具有3個(gè)分形維數(shù)值，因此，利用式(2)進(jìn)行毛管壓力曲線擬合較為復(fù)雜。圖2b表明，在濕相飽和度和毛管壓力雙對數(shù)坐標(biāo)中，6塊煤樣具有2～3個(gè)直線段，證明多段分形特征的存在，同時(shí)表明不同煤樣的分形區(qū)間分界線存在差異，因此，式(2)不適合對毛管壓力曲線進(jìn)行擬合。

2.3 Li模型

Li Kewen[18]通過分形理論推導(dǎo)得到應(yīng)用更為普遍的毛管壓力模型：

式中：SHg為汞飽和度，%。

由式(6)可知，如果毛管壓力滿足Li模型，則在雙對數(shù)坐標(biāo)中，dSHg/dpc與pc呈線性關(guān)系，且-1-γ為直線斜率，進(jìn)而可以方便各個(gè)參數(shù)的求解。圖2c為6塊煤樣壓汞數(shù)據(jù)根據(jù)式(6)處理結(jié)果，表明雖然整體上具有一定程度的線性關(guān)系，但是相關(guān)系數(shù)不高，存在離散點(diǎn)較多，因此，Li模型不能很好地?cái)M合研究區(qū)煤巖樣的毛管壓力。袁哲等[14]引進(jìn)了φ對Li模型進(jìn)行了改進(jìn)，但改進(jìn)后的模型γ和φ的求解非常困難，必須利用公式直接對毛管壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合才能獲得各個(gè)參數(shù)的解，應(yīng)用起來較為復(fù)雜。

3 毛管壓力曲線新數(shù)學(xué)模型

3.1 新數(shù)學(xué)模型

以毛管壓力與最小毛管壓力的對數(shù)差為橫坐標(biāo)，以進(jìn)汞飽和度與最小毛管壓力的對數(shù)差為縱坐標(biāo)，將圖1中毛管壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖3所示。對圖3中數(shù)據(jù)按最小二乘法進(jìn)行回歸，發(fā)現(xiàn)毛管壓力與最小毛管壓力的對數(shù)之差和進(jìn)汞飽和度與最小毛管壓力的對數(shù)差滿足乘冪關(guān)系，斜率為a、冪指數(shù)為b(文中直接用a、b表示)，且相關(guān)性較好，相關(guān)系數(shù)均在0.92以上，即可表示為：

式中：斜率a和冪指數(shù)b均為常數(shù)，且為正數(shù)；pe為汞開始進(jìn)入煤樣孔隙的最小壓力，一般為0.001 MPa，則lgpe一般為-3。

整理式(7)可得：

根據(jù)式(7)、式(8)，毛管壓力曲線計(jì)算公式為：

圖3 毛管壓力和進(jìn)汞飽和度關(guān)系Fig.3 Relationship between the capillary pressure and the mercury saturation

新的煤巖毛管壓力數(shù)學(xué)模型為：

當(dāng)b=1時(shí)，式(8)轉(zhuǎn)化為：

令a=-Fg，則式(10)轉(zhuǎn)變?yōu)榱薚homeer推導(dǎo)得到的毛管壓力和進(jìn)汞飽和度模型[19]：

式中：Fg為孔隙幾何因子。

以上公式表明，Thomeer毛管壓力模型為本文毛管壓力新數(shù)學(xué)模型的特殊值，本文提供的毛管壓力新數(shù)學(xué)模型能夠適應(yīng)更多的儲(chǔ)層。

3.2 擬合結(jié)果

利用式(9)計(jì)算得到毛管壓力數(shù)據(jù)，與實(shí)驗(yàn)測試得到的毛管壓力數(shù)據(jù)擬合關(guān)系如圖4所示，由圖中可知，二者擬合程度很好，相關(guān)性系數(shù)均在0.92以上，進(jìn)一步表明本文提出的數(shù)學(xué)模型能夠很好地?cái)M合研究區(qū)煤樣的毛管壓力曲線。

4 分析與討論

4.1 斜率a和冪指數(shù)b獲取方法

將式(8)兩邊取對數(shù)得：

由式(12)可以看出，在雙對數(shù)坐標(biāo)中，毛管壓力與最小毛管壓力的對數(shù)差和進(jìn)汞飽和度與最小毛管壓力的對數(shù)差呈線性關(guān)系，且擬合直線斜率值為b，截距為lga，因此，毛管壓力曲線新模型中的2個(gè)關(guān)鍵參數(shù)均可以通過上述方法進(jìn)行求取，避免了直接采用式(9)對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，使參數(shù)求取更加簡便快捷，且精確度很高。采用該方法計(jì)算得到的6塊煤樣斜率a、冪指數(shù)b值見表1。

4.2 參數(shù)對毛管壓力的影響

圖4 新數(shù)學(xué)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合程度Fig.4 The fitting degree between the new mathematic model and the experiment data

如式(9)所示，為研究斜率a和冪指數(shù)b兩個(gè)關(guān)鍵常數(shù)對毛管壓力的影響，以煤樣1毛管壓力曲線為例，根據(jù)式(9)模擬斜率a分別為2.5、3.0、3.5和4.0時(shí)，其對毛管壓力的影響，結(jié)果如圖5a所示；模擬冪指數(shù)b分別為0.10、0.15、0.20、0.25、0.30和0.40時(shí)對毛管壓力的影響，結(jié)果如圖5b所示。由圖5可知，在其他條件相同時(shí)，斜率a和冪指數(shù)b均與毛管壓力成反比，即當(dāng)冪指數(shù)b為定值且進(jìn)汞飽和度相同時(shí)，斜率a值越小，毛管壓力越大；斜率a為定值且進(jìn)汞飽和度相同時(shí)，冪指數(shù)b值越小，毛管壓力也越大。這表明斜率a和冪指數(shù)b能夠反映儲(chǔ)層物性特征，二者值越大，毛管壓力中間平緩段越長、排驅(qū)壓力越小，則孔隙分選性越好，孔隙中值半徑越大，儲(chǔ)層物性條件越好；反之，二者值越小，則儲(chǔ)層物性條件越差。

圖5 新數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵參數(shù)對毛管壓力影響Fig.5 Effect of the key parameters of the new mathematic model on the capillary pressure

5 結(jié)論

a.高階煤巖毛管壓力曲線總體上位于左上方，基本沒有中間平緩段，整體表現(xiàn)為向左上方凸出的形態(tài)，與常規(guī)砂巖、低階煤巖毛管壓力曲線形態(tài)完全不一樣。BC模型、賀承祖模型和Li模型均不能很好地?cái)M合高階煤巖的毛管壓力曲線。

c.在雙對數(shù)坐標(biāo)中，毛管壓力和最小毛管壓力的對數(shù)差與進(jìn)汞飽和度與最小毛管壓力的對數(shù)差呈線性關(guān)系，可利用該線性關(guān)系直接求取毛管壓力模型的斜率a和冪指數(shù)b。在其他條件相同時(shí)，斜率a和冪指數(shù)b均與毛管壓力成反比。