高階煤煤巖毛管壓力曲線新數學模型及關鍵參數

陳 科，唐 磊，尹 超，何 偉，張 偉，權 政

(中海油能源發展股份有限公司工程技術分公司中海油實驗中心，天津 300452)

毛管壓力曲線對煤層氣賦存和開發具有重要意義[1-3]，毛管壓力曲線定量化表征對于孔隙結構表征[4]、儲層及傷害評價[5-6]、相滲曲線計算[7]具有重要意義。許多專家學者對毛管壓力數學模型進行了研究和應用，但對于常規砂巖儲層和非常規頁巖儲層適用的毛管壓力數學模型是否也同樣適用于高階煤煤巖，并未達成共識。毛瀟瀟等[8]、宋播藝等[9]基于分形理論建立了高煤階煤巖毛管壓力分形表征模型，Li Kewen[10]也基于分形幾何，建立了能夠表征裂縫儲層毛管壓力的一般性毛管壓力模型，然而尹志軍等[11]認為由于高階煤儲層具有分段分形特征，目前的毛管壓力曲線分形模型不適應于高階煤；曾建強等[12]對煤巖毛管壓力曲線數學模型進行了梳理，結果表明不同的數學模型往往適用于不同物性儲層的煤巖毛管壓力曲線，認為Li模型能夠適應于高煤階煤巖毛管壓力曲線；Liu Pengcheng等[13]基于火柴棍模型建立了一種新的煤巖毛管壓力模型，認為該模型比Brooks and Corey模型更適于對煤巖的模擬；袁哲等[14]利用文獻[13]建立的新毛管壓力模型與實驗數據進行了擬合，認為擬合效果較好，但指出采用Matlab軟件進行擬合，計算過程相對較為復雜。因此，筆者基于高壓壓汞數據重新評價了經典毛管壓力模型的適應性，提出了新的毛管壓力數學模型，并對各參數求解和對毛管壓力曲線的影響進行了評價，以期形成適用于高階煤毛管壓力曲線的數學表征模型。

1 實驗煤樣及方法

1.1 煤樣制備

煤樣選自某盆地某高階煤煤層，取樣深度500～750 m，將樣品加工成直徑2.5 cm的柱塞，并放置在105℃恒溫箱中烘干至質量不再發生變化。每個柱塞分成兩段，一段用于測試煤樣基本參數，另一段用于開展高壓壓汞實驗。

1.2 實驗方法

煤樣滲透率和孔隙率均采用氣體測試儀進行，測試氣體介質為氦氣，測試結果見表1。高壓壓汞實驗采用AutoPore Ⅳ9500型全自動壓汞儀開展測試，儀器最大工作壓力達到228 MPa，測試孔徑范圍為0.032～1 000 μm。由于最大工作壓力過低導致微孔難以表征，過高則導致煤樣孔隙壓縮變形，因此，本文設置最大工作壓力不超過100 MPa，故本文實驗測試的孔徑范圍為0.075～1 000 μm；實驗溫度均為室溫25℃；由于煤樣樣品滲透率較低，均小于1×10-3μm2，測定點平衡時間均設定為60 s。依據GB/T 29171—2012《巖石毛管壓力曲線的測定》開展高壓壓汞實驗。

表1 實驗煤樣基本參數Table 1 Basic parameters of the experiment coal sample

1.3 毛管壓力曲線

測試得到的煤巖毛管壓力曲線如圖1所示。圖1表明6塊煤樣毛管壓力曲線總體上位于圖1左上方，表明煤樣物性整體較差，滲透率小于0.31×10-3μm2，孔隙率小于7.1%(表1)；毛管壓力曲線基本沒有中間平緩段，整體表現為向左上方凸出的形態(圖1)，表明孔隙半徑分選性差，這與常規砂巖儲層及低階煤儲層所具有明顯中間平緩段的毛管壓力曲線形態完全不一樣，主要是由于常規砂巖儲層、低階煤儲層以發育孔隙為主，分選性整體較好，相同孔隙半徑的孔隙數量和體積較多；而對于高階煤，微裂縫大量發育，形成裂縫和孔隙雙重孔隙介質，孔裂隙半徑分選性整體較差，形成了向左上方凸出的曲線形態。

圖1 煤樣毛管壓力曲線Fig.1 Capillary pressure curves of coal samples

2 現有數學模型適應性評價

2.1 Brooks and Corey模型

Brooks and Corey模型(BC模型)是經典的毛管壓力擬合模型，能夠很好地擬合很多煤樣的毛管壓力數據，其表達式[15]為：

式中：pc為毛管壓力，MPa；pe為閥壓，即汞開始進入煤樣最大孔隙的壓力，MPa；Swn為標準化濕相飽和度，小數；γ為孔隙大小分布指數。

處理測試得到的毛管壓力數據(圖 1)，將數據繪制在以歸一化濕相飽和度為橫坐標，以毛管壓力為縱坐標的雙對數坐標中(圖 2a)。結果表明，在雙對數坐標中，歸一化濕相飽和度和毛管壓力不呈線性關系，因此不滿足式(1)，表明BC模型不能很好地擬合研究區煤樣的毛管壓力曲線。

圖2 現有經典毛管壓力模型對研究區煤樣毛管壓力數據適應性評價Fig.2 Classical mathematical models for capillary pressure and their adaptation for the coal samples in the study area

2.2 賀承祖模型

賀承祖等[16]通過分形定義及壓汞參數特征推導出了分形毛管壓力模型：

式中：Sw為含水飽和度，%；Df為分形維數，無量綱。

賀承祖模型在常規砂巖儲層中使用較為廣泛，賈慧敏[17]采用該模型對沁水盆地南部高煤階煤樣分形特征進行了研究，認為煤樣具有多段分形特征，即同一煤樣具有3個分形維數值，因此，利用式(2)進行毛管壓力曲線擬合較為復雜。圖2b表明，在濕相飽和度和毛管壓力雙對數坐標中，6塊煤樣具有2～3個直線段，證明多段分形特征的存在，同時表明不同煤樣的分形區間分界線存在差異，因此，式(2)不適合對毛管壓力曲線進行擬合。

2.3 Li模型

Li Kewen[18]通過分形理論推導得到應用更為普遍的毛管壓力模型：

式中：SHg為汞飽和度，%。

由式(6)可知，如果毛管壓力滿足Li模型，則在雙對數坐標中，dSHg/dpc與pc呈線性關系，且-1-γ為直線斜率，進而可以方便各個參數的求解。圖2c為6塊煤樣壓汞數據根據式(6)處理結果，表明雖然整體上具有一定程度的線性關系，但是相關系數不高，存在離散點較多，因此，Li模型不能很好地擬合研究區煤巖樣的毛管壓力。袁哲等[14]引進了φ對Li模型進行了改進，但改進后的模型γ和φ的求解非常困難，必須利用公式直接對毛管壓力數據進行擬合才能獲得各個參數的解，應用起來較為復雜。

3 毛管壓力曲線新數學模型

3.1 新數學模型

以毛管壓力與最小毛管壓力的對數差為橫坐標，以進汞飽和度與最小毛管壓力的對數差為縱坐標，將圖1中毛管壓力數據進行處理，結果如圖3所示。對圖3中數據按最小二乘法進行回歸，發現毛管壓力與最小毛管壓力的對數之差和進汞飽和度與最小毛管壓力的對數差滿足乘冪關系，斜率為a、冪指數為b(文中直接用a、b表示)，且相關性較好，相關系數均在0.92以上，即可表示為：

式中：斜率a和冪指數b均為常數，且為正數；pe為汞開始進入煤樣孔隙的最小壓力，一般為0.001 MPa，則lgpe一般為-3。

整理式(7)可得：

根據式(7)、式(8)，毛管壓力曲線計算公式為：

圖3 毛管壓力和進汞飽和度關系Fig.3 Relationship between the capillary pressure and the mercury saturation

新的煤巖毛管壓力數學模型為：

當b=1時，式(8)轉化為：

令a=-Fg，則式(10)轉變為了Thomeer推導得到的毛管壓力和進汞飽和度模型[19]：

式中：Fg為孔隙幾何因子。

以上公式表明，Thomeer毛管壓力模型為本文毛管壓力新數學模型的特殊值，本文提供的毛管壓力新數學模型能夠適應更多的儲層。

3.2 擬合結果

利用式(9)計算得到毛管壓力數據，與實驗測試得到的毛管壓力數據擬合關系如圖4所示，由圖中可知，二者擬合程度很好，相關性系數均在0.92以上，進一步表明本文提出的數學模型能夠很好地擬合研究區煤樣的毛管壓力曲線。

4 分析與討論

4.1 斜率a和冪指數b獲取方法

將式(8)兩邊取對數得：

由式(12)可以看出，在雙對數坐標中，毛管壓力與最小毛管壓力的對數差和進汞飽和度與最小毛管壓力的對數差呈線性關系，且擬合直線斜率值為b，截距為lga，因此，毛管壓力曲線新模型中的2個關鍵參數均可以通過上述方法進行求取，避免了直接采用式(9)對實驗數據進行擬合，使參數求取更加簡便快捷，且精確度很高。采用該方法計算得到的6塊煤樣斜率a、冪指數b值見表1。

4.2 參數對毛管壓力的影響

圖4 新數學模型和實驗數據擬合程度Fig.4 The fitting degree between the new mathematic model and the experiment data

如式(9)所示，為研究斜率a和冪指數b兩個關鍵常數對毛管壓力的影響，以煤樣1毛管壓力曲線為例，根據式(9)模擬斜率a分別為2.5、3.0、3.5和4.0時，其對毛管壓力的影響，結果如圖5a所示；模擬冪指數b分別為0.10、0.15、0.20、0.25、0.30和0.40時對毛管壓力的影響，結果如圖5b所示。由圖5可知，在其他條件相同時，斜率a和冪指數b均與毛管壓力成反比，即當冪指數b為定值且進汞飽和度相同時，斜率a值越小，毛管壓力越大；斜率a為定值且進汞飽和度相同時，冪指數b值越小，毛管壓力也越大。這表明斜率a和冪指數b能夠反映儲層物性特征，二者值越大，毛管壓力中間平緩段越長、排驅壓力越小，則孔隙分選性越好，孔隙中值半徑越大，儲層物性條件越好；反之，二者值越小，則儲層物性條件越差。

圖5 新數學模型關鍵參數對毛管壓力影響Fig.5 Effect of the key parameters of the new mathematic model on the capillary pressure

5 結論

a.高階煤巖毛管壓力曲線總體上位于左上方，基本沒有中間平緩段，整體表現為向左上方凸出的形態，與常規砂巖、低階煤巖毛管壓力曲線形態完全不一樣。BC模型、賀承祖模型和Li模型均不能很好地擬合高階煤巖的毛管壓力曲線。

c.在雙對數坐標中，毛管壓力和最小毛管壓力的對數差與進汞飽和度與最小毛管壓力的對數差呈線性關系，可利用該線性關系直接求取毛管壓力模型的斜率a和冪指數b。在其他條件相同時，斜率a和冪指數b均與毛管壓力成反比。