變位系數與螺旋角對斜齒輪動態嚙合特性的影響

呂瑞杰，韓炬，楊再遠

（1.灤州吉宏包裝有限公司，河北 唐山063700；2.華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山063210）

0 引言

齒輪傳動的動態嚙合性能對傳動系統的振動、噪聲、傳遞效率及傳動平穩性等有重要影響，因此，對其深入研究是提高傳動系統性能的關鍵。齒輪傳動的動態嚙合性能有多種影響因素，如材料性能、齒廓修形、變位、制造誤差、裝配誤差等，國內外學者對此做了大量研究工作。

王志欽等[1]通過數值仿真研究了齒輪變位對嚙合剛度的影響，陳安華等[2]研究了時變嚙合剛度、嚙合阻尼、支承剛度及支承阻尼對齒輪動態傳遞誤差的影響，研究中沒有考慮變位因素；Z. H. Zachary[3]開發了圓柱齒輪動態傳遞誤差的測試系統；Hu Yumei等[4]應用有限元法分析了變位系數及螺旋角對斜齒輪瞬態嚙合性能的影響；羅登峰等[5]探討了變位系數和螺旋角對齒輪強度的影響，得出了要使最大滑動率相等，盡量采用高變位系數，并指出適當的負變位與大螺旋角也有利于提高斜齒輪副的承載性能；張義民等[6]應用有限元法對直齒輪傳動的嚙合特性進行了分析，研究了不同變位系數下的嚙合頻率及動態傳遞誤差；吳勇軍等[7-9]提出了接觸有限元法并對齒輪-轉子系統的連續嚙合動態特性進行了分析；賁道春等[10]通過實踐經驗總結了管磨機齒輪變位系數分配的優化設計方法，提出了小變位、小滑動率差和小螺旋角的設計理念，降低了成本并提高了性能；劉學良等[11]基于有限元方法分析了變位系數對齒輪固有頻率的影響。目前對齒輪動態特性的研究以有限元法為主，然而對于由多體組成的齒輪嚙合系統的動態特性的分析，應用多體動力學法進行分析更為適合，過去由于多體動力學分析多假設物體為剛性體，因此其分析結果與實際出入較大，隨著多體動力學平臺的發展，其對柔性體、剛柔耦合體的分析研究結果的可靠性大大提高。

為適應復雜的工況要求，變位齒輪在傳動系統中的應用日益廣泛，變位系數的確定直接影響到齒輪副的裝配尺寸、嚙合特性及傳動特性，因此在齒輪傳動系統的設計過程中，變位系數的確定非常關鍵，本文將應用多體動力學方法，計及變位系數對斜齒輪嚙合副的動態特性進行研究。

1 斜齒輪嚙合副動力學模型

圖1 齒輪副動力學模型

齒輪嚙合過程中由于同時嚙合的輪齒對數周期性變化，因此，齒輪的嚙合剛度也具有時變性與周期性，且不同嚙合輪齒的嚙合剛度不同，目前齒輪動態特性研究大多采用A. Kahraman等[12]提出的動力學模型，該模型中的嚙合剛度被認為固定不變，顯然不符合實際情況。本文提出的齒輪嚙合副的動力學模型如圖1所示，本模型中將齒輪副看作柔性體，各嚙合輪齒的嚙合剛度分別為k1t、k2t…knt。

柔性多體系統與剛性多體系統類同，當系統中的柔性體變形與時間無關時，可退化為剛體系統，當系統中部件之間不存在大范圍運動時，則退化為結構動力學問題，本文提出的齒輪副動力學模型中，主動輪與從動輪均為柔性體，將柔性體離散后，應用虛位移原理，可列出系統的運動微分方程：t

化簡可得

當考慮摩擦時，

式中：a為懲罰因子；N為單元節點插值函數；μ為滑動摩擦因數；s為位移增量；sT為切向分量；s1、s2分別為切向分量的兩個方向上的量；gN為接觸點之間的法向距離；eN為接觸點法向單位矢量；e1、e2分別為兩個切向的單位矢量。

2 斜齒輪傳動分析模型

本文應用Creo Parametric構建了斜齒輪傳動的全參模型，其基本參數如表1所示，齒輪副中的主、從動齒輪的材料屬性一致，密度為7.83×10-6kg/m3，彈性模量為219 GPa，泊松比為0.3，模型計及摩擦與變位，不考慮齒輪修形。

表1 斜齒輪傳動基本參數

為更好地對齒輪傳動過程中的輪齒接觸力等進行研究，對分析模型進行柔性處理，在ADAMS中對主動輪與從動輪之間進行接觸設置并添加運動副，本模型只考慮主動輪與從動輪，忽略支承軸、軸承及支架的彈性，仿真分析模型如圖2所示。

圖2 斜齒輪傳動模型

3 仿真結果分析

為研究變位系數對齒輪嚙合特性及傳動特性的影響，采用的各組變位齒輪傳動模型的變位系數如表2所示，保持主動輪不變位，從動輪變位，研究模型包括G1～G11共11組，分析求解器采用HHT-I3，靜摩擦因數設置為1.1×10-2，動摩擦因數設置為1.0×10-2，設置各模型仿真時間為0.5 s。

3.1 系統傳動誤差分析

齒輪傳動誤差的產生原因很多[13]，負載是關鍵影響因素之一，首先研究負載對傳動誤差的影響。表3所示為G1模型不同的負載情況。

圖3為G1模型在不同負載下的輸入輸出角速度曲線，表4為運轉平穩后各不同負載下的輸出角速度均值及誤差。

表2 不同模型變位系數設置

表3 G1模型負載設置

圖3 傳動機構輸入輸出角速度曲線

表4 不同負載下G1模型的從動輪轉速

從圖3可看出，當傳動平穩后，從動輪轉速呈周期性波動，且隨負載增大，波動幅度增加，當空載時，轉速的波動很小，其從動輪轉速幾乎為一直線，從表4的數據來看，當系統加載后，隨負載增大，從動輪轉速誤差增加，但加載時的轉速誤差均小于空載。表明適當的加載對提高傳動精度有益，但加載后會引起轉速的波動，從而使齒輪副嚙合過程中產生振動與噪聲。

圖4為G1_5模型的從動輪受力曲線，從局部放大圖中可以看出，輪齒受力呈周期性波動，意味著齒輪副的嚙合剛度具有時變性與周期性，齒輪副嚙合剛度的變化與傳動過程中齒輪副的嚙合齒數的變化有關。圖5所示為G1_5模型在負載情況下的輪齒受力圖，圖6標示了輪齒的標號，從圖5中可以看出，在一個周期內，受力輪齒對數的變化規律為1→2→3→2→1，嚙合齒數的變化是嚙合剛度時變性的關鍵原因。

圖4 從動輪受力曲線圖

圖5 齒輪輪齒受力曲線圖

圖7所示為G1模型在不同負載情況下的動態傳動誤差曲線。從圖中可明顯看出，傳遞誤差曲線具有周期性，運轉平穩后，空載時的波動最大，但頻率最小，這與圖3中空載時從動輪的轉速曲線基本平直吻合，負載情況下的傳動誤差波動頻率基本一致，且從圖8的G1_5模型的傳動誤差的幅頻曲線中可以看到，雖然曲線具有明顯的低頻特征，但也包含大量的高頻成分。

圖6 齒輪輪齒標號圖

圖7 G1模型動態傳動誤差曲線

圖8 G1模型負載時傳動誤差幅頻曲線

圖7中空載與負載工況下的傳動誤差差別較大，空載情況下，傳動誤差波動較大，且波動幅值在正負之間變換，而負載情況下，動態傳動誤差波動較小，且傳動誤差為正，從放大圖中可以看出傳動誤差曲線具有多組正弦曲線疊加后的形態。傳動誤差的波動與系統嚙合剛度的變化是對應的，由于運轉平穩后，系統負載恒定，且沒有考慮修形、制造及裝配誤差等因素的影響，因此，可以根據傳動誤差的波動情況，計算出系統的時變剛度。圖8所示為G1_5模型的傳動誤差曲線經過傅立葉變換后得到的幅頻曲線，從放大圖中可看出，雖然曲線具有明顯的低頻特征，但也包含大量的高頻成分，反觀空載時的傳動誤差幅頻曲線，基本不含高頻信號。

3.2 變位系數對動態嚙合性能的影響

為研究變位系數對斜齒輪嚙合副動態性能的影響，對G1～G11共11組模型進行仿真，各模型的仿真時間均設為9000d*step (time,0,0,0.1,1)，負載均設置為4.2e4*step(time,0.2,0,0.3,1)。圖9～圖11分別為變位系數對傳動誤差、輪齒最大受力及最大相對滑動速度的影響。

由圖9可知，變位系數對傳動誤差影響明顯，對于研究所涉及的模型，當變位系數在-0.3～0.3范圍內變化時，變位系數的增加與傳動誤差成反比，變位系數越大，誤差均值與誤差波動越小，尤其需要注意的是，在本模型中適當地采用變位設計有利于傳動誤差的降低，且當從動輪正變位時，傳動誤差隨變位系數先減小、后增大，當從動輪負變位時，傳動誤差隨變位系數先增大、后減小。由圖9數據可知，在11 組模型中，當從動輪變位系數為-0.5時，其傳動誤差均值及其波動最小。

圖9 變位系數對傳動誤差的影響

圖10為不同變位系數下輪齒最大受力均值走勢圖。由圖10可以看出，當變位系數從-0.5變化到-0.4時，輪齒受力增大幅度很小，但從-0.4變位到-0.3時，輪齒最大受力急劇增大，增長了近10倍，然后當變位系數從-0.3變化到0.3時，輪齒最大受力逐漸減小，基本呈線性變化。圖9與圖10形成了相互印證，當傳動誤差均值及傳動誤差波動大時，輪齒最大受力也相應較大。結合圖9與圖10可以看出：當變位系數分別為0.3、0.4、0.5時，其輪齒最大受力基本一致，但傳動誤差有大幅增加；當變位系數為-0.4與-0.5 時，其輪齒最大受力基本一致，但傳動誤差有大幅差距。

圖10 變位系數對輪齒最大受力的影響

圖11為不同變位系數下輪齒最大相對滑動速度走勢圖。最大滑動速度是輪齒齒面磨損的重要指標，從圖11中可看出，最大滑動速度隨變位系數的增大而減小，尤其當變位系數為0.3時出現突變，滑動速度急劇下降。

綜合前述變位系數對傳動誤差、輪齒受力及最大滑動速度的分析，可以看出，在本文涉及的斜齒輪副中，對從動輪進行0.3的變位會得到更好的動態特性。

圖11 變位系數對最大滑動速度的影響

3.3 螺旋角對齒輪副動態嚙合性能的影響

為研究螺旋角對斜齒輪嚙合傳動動態性能的影響，選擇G3模型進行分析，此時主動輪不變位，從動輪變位系數為0.3，螺旋角的選擇如表5所示。

表5 螺旋角參數設置

圖12為螺旋角對動態傳動誤差及其波動范圍的影響走勢圖，一般斜齒輪的螺旋角的選取角度為[8°，20°]，隨著螺旋角的增加，傳動誤差及其波動范圍先減小后增大。從圖中可以看出當螺旋角為14°時，傳動誤差最小。

圖12 螺旋角對傳動誤差的影響

圖13 為螺旋角對輪齒最大受力的影響曲線。由圖12與圖13可知，螺旋角對輪齒最大受力與傳動誤差的影響走勢相關，當螺旋角由8°變為10°時輪齒受力增大，傳動誤差也隨之增大，當螺旋角由10°變為14°時，輪齒最大受力急劇下降，相應的傳動誤差也大幅降低，但當螺旋角從14°增大到20°時，其輪齒最大受力的雖依次增加，但幅度很小，然而此時的傳動誤差卻大幅增加。因此，應該慎重選擇螺旋角，在保證輪齒受力較小的情況下，應盡量使得傳動誤差較小。

圖14為螺旋角對最大滑動速度的影響曲線，從圖中可看出最大滑動速度與螺旋角基本成反比關系，且變化比較平緩，圖中顯示，只有當螺旋角從18°變為20°時，其變化才相對劇烈。該曲線與圖12、圖13體現出來的明顯的非線性特點區別較大，表明螺旋角的選擇相對比較復雜，不像變位系數那樣明確。

圖13 螺旋角對輪齒最大受力的影響

圖14 螺旋角對最大滑動速度的影響

綜上分析可知，當螺旋 角 為14°時，斜齒輪副的動態特性較好。

4 結論

本文基于多體動力學方法對斜齒輪嚙合副的動態特性進行了精確分析，與有限元法進行的靜態分析與瞬態動力學分析相比，結果更具可靠性，通過分析得出以下結論：1）齒輪副系統的傳動誤差具有明顯的周期性，當空載時，傳動誤差變化頻率低，加載后傳動誤差變化頻率大幅提升，適當增加負載對提高齒輪傳動精度有利。2）當從動輪負變位時，斜齒輪嚙合副動態特性隨著變位系數的減小，先有所下降再有所提升；當從動輪正變位時，動態特性隨變位系數的增加先有所提升后有所下降。3）螺旋角對系統動態特性的影響不像變位系數那樣明確，螺旋角對傳動誤差、輪齒最大受力的影響的相關性一致，具有明顯的非線性特點，隨著螺旋角的增大，傳動誤差與輪齒最大受力先提升后下降；但螺旋角對最大滑動速度的影響具有明顯的線性特征，最大滑動速度隨螺旋角增大而減小。

本文的目的主要在于探討變位系數及螺旋角對傳動系統動態特性的影響，為簡化模型，沒有考慮軸、軸承及支架的彈性，在以后的研究中將全面考慮，以構建更為精確的分析模型。