內涵型NGM(1,1,K)預測模型及其在油液光譜分析中的應用

王海濤 龔烈航

(1.廣東機電職業技術學院 廣東廣州 510080；2.陸軍工程大學野戰工程學院 江蘇南京210000)

油液光譜分析是利用各種金屬元素的原子在遷躍過程中發射或吸收不同的光譜波長來了解液壓油中所含金屬元素的種類及含量，從而了解零件磨損狀況，判斷機械異常和預測故障的一種方法[1]。目前已廣泛應用于航空、鐵路、軍事等許多重要部門。油液分析數據具有記憶性強、依時間連續變化的特點，通過預測未來數據的變化趨勢結合油液分析數據的閾值，能夠較早發現液壓系統的故障征兆，避免更嚴重事故的發生，對保障設備正常運行具有極其重要的意義[2-6]。

依靠油液分析數據預測液壓系統的運行狀態時，因對液壓系統內部的磨損及運行細節所知甚少，有理由認為液壓系統為一灰色系統[7]。另外，油樣的采集、測試過程相對復雜，成本高，油液樣本相對較少?；疑A測模型所需數據樣本少，無需考慮待預測系統的狀態參數，僅依靠數據本身去預測系統未來狀態的發展趨勢，且具有較高的預測精度，因此，文中選擇灰色預測模型作為預測工具。

灰色系統理論是研究少數據、不確定性的理論，自1982年鄧聚龍教授創立灰色系統理論以來，已廣泛應用于社會經濟、工業、農業等領域，并取得了顯著的成果[8-9]。GM(1,1)模型作為灰色系統理論的核心內容，是應用最廣泛的灰色預測模型[10]。作為GM(1,1)模型的拓廣，文獻[11]提出了新灰色預測NGM(1,1,K)模型，稱之為新NGM(1,1,K)模型。但在應用新NGM(1,1,K)模型時，出現擬合與預測精度不高的情況，甚至不如傳統GM(1,1)模型。通過分析其建模機制，得出其精度不高的原因為：新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配。為消除因不匹配問題而引起的固有偏差，本文作者在新NGM(1,1,K)模型的基礎上，提出了內涵型NGM(1,1,K)模型。

1 內涵型NGM(1,1,K)模型的建立

1.1 新NGM(1,1,K)模型

為了便于與后文提到的內涵型NGM(1,1,K)模型進行比較分析，對新NGM(1,1,K)模型[11]的建模過程作簡要介紹：

建立基于非齊次指數律特性離散數據序列的新NGM(1,1,K)模型的定義型：

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

(1)

式中：z(1)(k)稱為模型的緊鄰均值生成背景值序列，

k=2,3,......,n

(2)

式(1)的一階白化微分方程

(3)

稱為新NGM(1,1,K)模型的白化型。

(4)

將參數a、b和c代入一階白化微分方程(3)，取初始條件為：x(1)(1)=x(0)(1)，可得x(1)的響應函數：

(5)

當k≤n時，所得值為原始數據的擬合值；當k>n時，所得值為原始數據的預測值。

1.2 新NGM(1,1,K)模型偏差原因分析

新NGM(1,1,K)模型的建模機制為：先用定義型(1)估計參數a、b和c，再將其代入白化響應式(5)中進行擬合與預測計算。然而，定義型(1)與白化型(3)是有差異的，存在不匹配問題。

即：

(6)

將新NGM(1,1,K)模型的定義型x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c與式(6)比較，可知其白化型與定義型存在兩處不匹配：

上述兩處不匹配造成了新NGM(1,1,K)模型的固有偏差。文獻[8]指出GM(1,1)白化型并不是從定義型推導出來的，僅僅是一種“借用”、“白化默認”。文獻[12]深入分析了GM(1,1)模型的白化型和定義型中所含參數a和b的關系，得出2種形式下的參數是有差異的。同理，新NGM(1,1,K)模型存在同樣的問題，其原因可以歸結為：新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配，從而導致擬合與預測結果的失效。

1.3 內涵型NGM(1,1,K)模型

為解決新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配問題，消除其固有偏差，文中提出內涵型NGM(1,1,K)模型。

設x(0)為原始序列，x(1)為其一次累加生成序列，對x(0)建立如下模型，記為內涵型NGM(1,1,K)模型：

其中，a、b和c為待定參數，由公式(4)求得。

證明：基于新NGM(1,1,K)模型的定義型：

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

以z(1)(k)的表達式：

代入有：

x(0)(k)+0.5a(x(1)(k)+x(1)(k-1))=kb+c

以x(1)(k)的表達式：

x(1)(k)=x(0)(k)+x(1)(k-1)

代入上式有：

x(0)(k)+0.5a(x(0)(k)+2x(1)(k-1))=kb+c

可轉化為

(1+0.5a)x(0)(k)+ax(1)(k-1)=kb+c

令k=2有：

(1+0.5a)x(0)(2)+ax(1)(1)=2b+c，

聯合考慮

(1+0.5a)x(0)(k)+ax(1)(k-1)=kb+c

(7)

(1+0.5a)x(0)(k-1)+ax(1)(k-2)=

(k-1)b+c

(8)

從式(7)有：

(9)

從式(8)有

(10)

將式(10)代入式(9)有

(11)

式(11)也適合

從而有：

依此類推可得：

(12)

已知k=2時，新NGM(1,1,K)模型的定義型為

(13)

由此可見，內涵型NGM(1,1,K)模型是從新NGM(1,1,K)模型的定義型推導出來的，故與定義型存在零偏差。

2 模型在油液光譜分析中的應用

監測試驗在某型挖掘機液壓系統上進行，取樣點位于回油管的取樣球閥處，對所采集到的油樣在測量之前，做如下預處理：

(1)采用超聲波振蕩器振蕩油液；

(2)將油液溫度加熱到50 ℃;

(3)采用超聲波清洗儀除氣泡。

對油樣做發射光譜分析，得到的Fe元素質量分數原始數據如表1所示。以前4次Fe元素質量分數為建模數據，分別建立內涵型NGM(1,1,K)模型、新NGM(1,1,K)模型和傳統GM(1,1)模型以預測第5次、第6次和第7次Fe元素質量分數，其擬合、預測結果如表2所示。

以Fe元素質量分數序列建立的內涵型NGM(1,1,K)模型，其響應式為

建立的NGM(1,1,K)模型，其響應式為

k=1,2,......,n

建立的傳統GM(1,1)模型，其響應式為

表1 Fe元素質量分數原始數據

表2 3種模型精度比較

由表2可知：擬合精度方面，內涵型NGM(1,1,K)的平均擬合相對誤差為0.262 8%，新NGM(1,1,K)模型的平均擬合相對誤差為4.279 5%,GM(1,1)模型的平均擬合相對誤差為0.430 9%；預測精度方面，內涵型NGM(1,1,K)模型的平均預測相對誤差為1.247 9%，新NGM(1,1,K)模型的平均預測相對誤差為10.218 8%，GM(1,1)模型的平均預測相對誤差為3.157 9%。3種模型的預測曲線如圖1所示，內涵型NGM(1,1,K)模型可以很好地預測Fe元素質量分數的變化，新NGM(1,1,K)模型預測值偏大，GM(1,1)模型預測值偏小。由此可見，文中提出的內涵型NGM(1,1,K)模型預測精度最高，其次是GM(1,1)模型，精度最差的是新NGM(1,1,K)模型。

結合光譜分析閾值制定方法[13]，得到液壓系統Fe元素質量分數的正常值、警戒值和異常值界限如圖1所示。新NGM(1,1,K)模型預測值偏大，根據液壓系統維護規則，會造成過度維護，浪費資源；GM(1,1)模型預測值偏小，會造成維護不到位，而后引發故障。內涵型NGM(1,1,K)模型預測第6次取樣Fe元素質量分數為6.078 91×10-5，處于正常值界限以下。第6次取樣實測值為6×10-5，預測第7次取樣值為7.370 67×10-5，超過正常值界限，預示液壓系統將要面臨不正常磨損，要對液壓系統進行體外循環過濾或停機檢查，防止故障發生。

圖1 3種模型預測曲線

3 結論

(1)針對新NGM(1,1,K)白化型與定義型存在不匹配的問題，提出了內涵型NGM(1,1,K)灰色預測模型。將該模型對某型挖掘機液壓系統光譜分析Fe元素質量分數序列進行建模，與GM(1,1)模型和新NGM(1,1,K)模型相比，該模型具有更高的擬合與預測精度。

(2)內涵型NGM(1,1,K)模型得到的光譜分析元素質量分數的預測值結合閾值制定結果可實現對液壓系統的狀態監測，做到主動維護，保障其可靠運行，防止故障發生。