集合平均方法的建立及海洋動力系統耦合作用的性質分析

楊永增孫 盟

(1.自然資源部 第一海洋研究所,山東 青島266061;2.青島海洋科學與技術試點國家實驗室 區域海洋動力學與數值模擬功能實驗室,山東 青島266061;3.自然資源部 海洋環境科學與數值模擬重點實驗室,山東 青島266061)

對于海洋與大氣系統來說,系統組分之間的非線性相互作用決定著這個系統的內部結構,20世紀發展起來的系統論是我們從整體上認識、理解海洋與大氣運動規律的一個有效方法論。Wunsch和Ferrari[1],Wang和Huang[2-3]基于能量分析的角度探討了海洋運動類之間的能量通量及平衡關系。冒家友等[4]和Yuan等[5]基于海洋多時空尺度運動的擬線性色散特征,從“時-空特征尺度分析”和“控制力及其平衡狀態分析”兩個方面探討海洋運動類的劃分,前者著眼于運動的時空表象,但不能給出運動類的“不疊置-全覆蓋”劃分;后者按控制力及其平衡狀態兩個層次實現控制機制互不疊置和海洋運動全覆蓋的運動類劃分。此處的控制力包括黏性-傳導-擴散分子力、重力、地轉力和熱學-化學力等,平衡狀態包括動態平衡與靜態平衡。按物理控制力及其平衡狀態可將海洋運動分為湍流、波動、渦旋及環流四類子系統。在數學處理上,則基于前三類運動統計上的近各態歷經性通過三重集合Reynolds平均(樣本集合平均)實現系統間的層級,從而簡潔、清晰地建立起了大尺度運動對小尺度運動的輸運、剪切生成作用和小尺度運動對大尺度運動的混合作用框架。值得指出的是,后者的混合作用是概念性的,不同運動子集平均下的輸運通量剩余量混合過程可產生不同物理意義下的層化或混合均勻性效應。

在不考慮耦合作用下,夏季中緯度海溫模擬計算存在著海表溫度偏高、海洋上混合層深度過淺的問題,這也是現今所有非耦合環流模式共同的缺陷[6-7]。研究試驗表明,海浪生湍流混合作用是有效解決這個問題的關鍵機制。Yuan等[8]提出的海浪生湍流理論可以通過2種不同但相對一致的方式建立:一是類比經典Prandtl混合長理論的海浪混合參數化形式[9];二是基于高確定性二階湍流閉合模型,通過海浪剪切作用下近各向同性飽和湍流的平衡解析解建立海浪生湍流對大尺度環流的混合作用理論。Babanin和Haus[10],Dai等[11]基于風-浪-流多功能實驗水槽,開展了波-湍相互作用的實驗觀測驗證。Yang等[12]估計了中國海夏季海浪的垂向混合強度。Qiao等[13-15],Xia等[16-17]通過浪-潮-流耦合數值模式顯著改善了上層海洋溫度結構。Yang等[18]提出了波浪尺度平均意義下波浪-湍流相互作用的混合模型。Huang和Qiao[19],Huang等[20]通過Stokes漂流引入了波-湍相互作用導致的湍動能耗散率,加入到Mellor-Yamada(M-Y)湍封閉模式中,結果表明波-湍相互作用可以有效地改正經典M-Y模式混合不足的問題。Qiao等[21]基于海上平臺觀測資料,利用EMD分析方法揭示了波浪對湍流的調制增強作用。Shi等[22]探討了海浪生湍動能及湍動能耗散率對渤海冬季海水結冰、融冰過程的熱力學影響。管長龍等[23]評述了近年來浪致混合研究進展,探討了湍流、波浪驅動耗散的能量平衡等涉及物理本質的問題,并提出了可控實驗室混合觀測驗證及滿足一定相似律的外海應用設想。另外,Agrawal等[24],Craig和Banner[25],Terry等[26-28]等還考慮了波浪破碎對海洋湍動能、混合長度的影響,以此來改進對海洋上混合層的數值模擬。

Yuan等[5]所揭示的系統內部相互作用理論表明,小尺度海浪對大尺度渦旋/環流的混合作用表現為二階矩平均的剩余量形式即輸運通量剩余量形式,而后者對前者的剪切生成作用表現為驅動海浪諸源函數之一的波-流相互作用源函數[29]。但是,海浪輸運通量剩余量的混合成因機制尚不清楚,Yang等[30]利用剪切流作用下的一階近似波動解,建立了簡化的海浪輸運混合實用模型,揭示了強流剪切引起的波動擾動項的混合主導作用,同時估算對比了臺風條件下海浪生湍流及海浪輸運通量剩余量相對于海流對流強度的擬雷諾數。Shi等[31],張鐵成等[32]分析了黑潮強流剪切區域波浪輸運通量剩余量對海洋上層溫度及混合層深度的影響。

海浪對大尺度環流的驅動作用還可以通過Hasselmann[33]提出的波浪誘導Coriolis-Stokes力來實現,Polton等[34],Lewis和Belcher[35]研究了其對海洋Ekman層剖面結構的影響。在國內,孫孚等[36]首先開展了此方向的機制研究,吳克儉等[37]在此基礎上建立了波浪對Ekman層能量輸入的理論模型,計算表明在中高緯度和風速較大的情況下,波浪對Ekman層的能量輸入可達到與風能輸入可比較的量級;吳克儉等[38]還研究了波浪誘導的Stokes漂經向輸運對東赤道太平洋海表溫度變化的影響,提出了波浪過程對厄爾尼諾影響的新觀點;Shi等[39]探討了南大洋涌浪輸運與拉尼娜信號之間的關系,提出了一種拉尼娜事件的可能預測方法。

在近岸波流相互作用研究方面,Longuent-Higgins和Stewart[40],Mellor[41]提出并探討了輻射應力的作用,McWilliam等[42]和Kumar等[43]則基于渦度力動力機制開展相關研究。丁平興等[44]、鄭金海和嚴以新[45]、尹寶樹等[46]等提出了計算輻射應力的方法并應用于三維懸沙輸運等實際問題和風險評估等。

以往針對海洋內部的相互作用過程進行了相當細致的研究,Yuan等[5]基于系統論方法構建了海洋動力系統框架,通過集合樣本統計意義下的Reynolds平均實現物理量遞級運算,在理論上是完備的,但其特性還缺乏深入探討且在實際應用方面存在困難。本文針對集合平均概念提出了其更廣泛的含義,分析了其基本屬性,揭示了相互作用過程中重要因子的貢獻效應;提出了一種簡單實用的集合平均計算方法,可方便應用于實際物理量(觀測值或模擬值)的平均計算。

1 集合平均概念及特性分析

文中提到的基本變量及有關變量均指海洋動力系統中的物理量函數,數學上滿足海洋動力控制方程所要求的各階求導。為表述方便,引入了代數學上的線性空間、代數域等概念。為簡化討論,將Yuan等[5]運動分解中提出的渦旋及環流暫歸于一類,即將海水運動分解為三類集合:集合A和A*,集合B和B*,集合C和C*。其中,集合A為由湍流類運動變量組成的基本變量線性空間,集合A*為由湍流類運動導出量組成的變量代數域。集合B為由波動類運動變量組成的基本變量線性空間,集合B*為由波動類運動導出量組成的變量代數域;集合C為由渦旋/環流類運動變量組成的基本變量線性空間,集合C*為由渦旋/環流類運動導出量組成的變量代數域。這樣,集合B⊕C={x|x=b+c,b∈B,c∈C}就表征了由波動/渦旋/環流類運動變量組成的基本變量線性空間,用集合B*?C*表征由波動/渦旋/環流類運動變量通過加法、乘法運算組成的變量代數域。用集合T表征海水運動所有基本變量的和集,即T=A⊕B⊕C={x|x=a+b+c,a∈A,b∈B,c∈C},用集合T*表征由集合A*,B*和C*中的變量經過通常的加法與乘法運算構成的變量代數域。海洋動力系統非線性相互作用中存在復雜的二階矩形式,即關于變量相乘,有基本特性:

1)同類變量相乘則屬于同類變量代數域,即:設a1,a2∈A*,b1,b2∈B*,c1,c2∈C*,有a1a2∈A*,b1b2∈B*,c1c2∈C*。

2)非同類變量相乘情況較為復雜,有:設a∈A*,b∈B*,c∈C*,則ab∈T*,ac∈T*,bc∈B*?C*;設a∈A,b∈B,c∈C,則ab∈A,ac∈A,bc∈B。

集合平均概念類似于大氣海洋領域的Reynolds平均,但它有更廣泛的含義。對于各類集合上的平均特性,可通過其所屬集合類別來表征,即:

1)設a1,a2∈A(或A*),有

2)設b1,b2∈B(或B*),有

3)設a∈A(或A*),b∈B(或B*),c∈C(或C*),有

式(1)～式(3)中,〈·〉A*,〈·〉B*分別表示在集合A*,B*上的平均,這表明三類集合A*,B*,C*存在集合層級,由低到高為Lev(A*)＜Lev(B*)＜Lev(C*)。實際上,式(1)～式(3)也可以作為集合平均的更廣泛定義,其具有以下基本性質:

1)若a∈A,b∈B,b*∈B*,c∈C,c*∈C*,即a,b,c分別為集合A,B,C中的基本變量,而b*,c*為相關導出 量,則 有

2)若b∈B,x∈B⊕C(或B*?C*),且x=x b+x c,其中x b∈B(或B*),x c∈C(或C*)。若〈bx〉B*≠0,由于,而x c對〈bx〉B*≠0沒有貢獻效應。

2 動力系統相互作用及貢獻因子分析

2.1 湍流對渦旋/環流的混合作用

設x∈B*?C*代表湍流對波動及渦旋/環流的混合作用項,由于湍流過程由波動/渦旋/環流運動剪切生成,Yuan等[8]利用高確定性閉合假定的Fourier輸運通量表示,變量x可寫成形式,其中為進一步討論貢獻因子及其效應,將變量y寫成B*上的平均〈x〉B*≠0代表了湍流對渦旋/環流的混合作用,即

則y b通過對〈x〉B*≠0起貢獻效應,y c通過起貢獻效應。另外,若,則;若,則

2.2 湍流對波動的混合作用與能量貢獻效應

設x∈B*?C*代表湍流對波動及渦旋/環流的混合作用項,且則x在B*空 間 上 的 剩 余 量x-〈x〉B*代表了湍流對波動的混合作用,即

對于湍流對波動的能量貢獻作用,設b∈B,x∈B*?C*,且x=yx′b,其中x′b∈B,y∈B*?C*,且y=y b+y c,y b∈B*,y c∈C*。若〈bx〉B*≠0,由于

則y b通過〈by b x′b〉B*對〈bx〉B*≠0起貢獻效應,y c通過〈by c x′b〉B*對〈bx〉B*≠0起貢獻效應。

2.3 波動對渦旋/環流的混合作用

對于波動對渦旋/環流的混合作用,設x∈B*,Yang等[30]給出了x=(b10+b11)(b20+b21)表示形式,即b10,b20代表波動的主要線性分量;b11,b21代表背景流場剪切生成的小擾動分量;由于

渦旋/環流對湍流、波動的輸運、剪切生成作用及波動對湍流的輸運、剪切生成作用可以統一用Uu′和u U′形式表示,其中u和u′為低層級集合基本變量,U和U′為高層級集合基本變量。該類相互作用表示結構簡單,機制清楚,不再贅述。

3 一種實用的集合平均方法及應用分析

Yuan等[5]在湍流、波動、渦旋及環流四類運動集上定義的Reynolds平均可以寫成

式中,f a,f b,f c分別為集合A*,B*,C*內的函數變量,t為時間;q am,q bm,q m分別為對應函數變量的Fourier系數;m為級數項序號,且m1＜m2≤m3＜m4≤m5＜m6;ω0為常數。時間緩變Fourier系數表示為

集合B*和A*上的集合平均定義為

我們將該平均處理方法應用于簡單單波運動個例,討論波生湍流及波動輸運通量剩余量的變化性態。取具有天氣尺度變化(周期T C=12 h)的海流過程u C=a1sin(m1ω0t),其中a1=1.0 m·s-1。取周期T B=8 s,波長λB=60 m的波動運動過程u B=c2u Csin(m3ω0t),其中c2=5.0。取特征時間尺度T A=1 s,特征長度λA=1 m的湍流運動過程u A=c3u Bsin(m5ω0t),其中c3=0.01。式中常數ω0設為s-1,則m1=1,m3=5 400,m5=12×3 600。

其中,ν0=1.5×10-6m2·s-1。

圖1 a為一個波動周期內湍動能變化過程,周期性波動特征明顯,實際上其蘊含著顯著的天氣尺度緩變趨勢,可用其諸周期上的上包絡反映(圖1b)。在本文第2部分,我們對此進行了分解,以便揭示各分量的貢獻效應。

圖1 集合平均下的湍動能及其包絡的變化Fig.1 The temporal variation of ensemble averaged turbulence kinetic energy and its upper envelope

利用式(16)和式(17),根據Yuan等[8],湍運動集合平均下的混合系數為

圖2 a為其中一個波周期內湍流混合系數變化過程,同樣其蘊含顯著的天氣尺度緩變趨勢,其上包絡如圖2b所示。平均約為0.8 m2·s-1的混合強度對海洋垂向結構分布起著關鍵性作用,這為以往數值試驗研究與現場觀測所證實[13-17]。

圖2 集合平均下的波生湍流混合系數及其包絡的變化Fig.2 The temporal variation of ensemble averaged turbulence mixing coefficient and its upper envelope

我們進一步估算波動輸運通量剩余量的作用,依據Yang等[30],其可簡化為

式中,u′B=c20a1k Bcos(m1ω0t)sin(m3ω0t);c20=0.001。波動輸運通量剩余量(Tr)的變化過程如圖3所示,量值上具有6 h的天氣尺度周期變化特征。實際海洋是復雜的多波非線性疊加運動,Tr的分布呈現多樣的大尺度空間結構,比如臺風路徑兩側的正負值變化增強了物理意義下的層化或混合均勻性效應[30]。

圖3 集合平均下的波動輸運通量剩余量變化Fig.3 The temporal variation of ensemble averaged wave transport flux residue

4 結 語

海洋動力系統非線性相互作用決定著系統內部的分布結構與外觀表征,其研究已成為海洋耦合數值模式與數值預報發展的關鍵科學問題。本研究針對集合平均概念進行了其屬性分析,通過引入代數學上的線性空間、代數域等表示方法,揭示了其基本性質和運動集合的層級特征。

通過緩變Fourier系數的特殊積分處理,提出了一種實用的集合平均方法。分析了不同海洋動力過程之間的相互作用機理,重點揭示了湍流、波動對渦旋/環流的輸運通量剩余量主要分量所起的作用,探討了波動強剪切生成湍流的能量貢獻效應等性質,為海浪-海流耦合實用模塊的研發及數據資料處理提供了一種設計方法。