基于狀態空間平均法的反激變換器DCM小信號建模

楊 可，蘇尚流

（1.西安石油大學 電子工程學院，陜西 西安 710065；2.國網泉州供電公司，福建 泉州 362000）

0 引 言

由于高集成化、高可靠性以及高效等諸多優點，DC/DC變換器被廣泛應用于消費電子產品、電動汽車和新能源發電等領域[1]。良好的穩定性是DC/DC變換器應用的基礎，反饋控制系統可以有效抑制輸入網壓和負荷引入的擾動，實現輸出穩定，因此控制回路是開關電源設計的重點，而小信號模型是控制回路的基礎[2]。

論文在研究不連續導電模式（Discontinuous Conduction Mode，DCM）下反激變換器工作原理的基礎上，使用狀態空間平均法建立了反激變換器的DCM小信號模型，并推導了各類傳遞函數，為其他拓撲的DCM建模提供了良好參考[3-10]。

1 反激變換器的工作原理

反激變換器的拓撲結構如圖1所示。反激變換器的變壓器可以等效為一個勵磁電感Lm并聯一個理想變壓器，變壓器的變比為n=Ns/Np（Np、Ns分別為原邊和副邊繞組的匝數）。Vin為輸入電壓，Vout為輸出電壓，Q為開關管，D為整流二極管，C為濾波電容，R為負載電阻，Vm和im分別為勵磁電感上的電壓和電流，VC和iC分別為電容C上的電壓和電流，負載通常等效為電阻R和電流源idyn的并聯。

圖1 反激變換器電路結構

反激變換器的勵磁電感電流在一個周期內必衰減為零的這種工作模式稱為DCM。開關變換器的建模思想（求平均、分離擾動以及線性化）仍適用于DCM，但需根據DCM的新情況對建模過程做相應調整。DCM反激變換器根據開關管Q和整流二極管D的導通和截止，將一個開關周期T分為3個階段，相應階段的勵磁電感電流波形im(t)如圖2所示。

圖2 反激變換器DCM模式電感電流波形圖

在Ton期間，Q導通、D關斷，電源對原邊繞組充電儲能，電容對負載充電；在Toff期間，Q關斷、D導通，原邊儲存的能量經變壓器釋放，通過二極管D對電容和負載充電；在Tdeath期間，Q、D都關斷，由于勵磁電感電流為零，稱為死區時間，此時僅電容對負載充電。

針對處于以上3個階段中的變換器，基于狀態空間平均法進行建模，首先引入了狀態變量x(t)、輸入變量u(t)以及輸出變量y(t)，分別為：

其次對3個階段的變換器分別列寫相應的時域狀態方程。

當Q導通、D關斷時，則有：

已知3組狀態方程如上式（4）、式（5）及式（6），可以對一個周期內的3組狀態方程的進行求平均。需要注意的是，用狀態空間平均法分析DCM變換器時，斷續量（一般指勵磁電感電流im(t)的平均值）是在其瞬時值不為零的區間內進行平均的，即不包含死區時間的平均值。對以上狀態方程組求平均為：

假定一個周期內輸入電壓恒定，則可以求出勵磁電感電流im(t)的上升斜率為Vin/Lm，則有勵磁電感電流峰值為：

代入式（9），可以推出d'(t)為：

將式（4）～式（6）中的參數以及（11）代入式（7）和（8）可得：

2 反激變換器的DCM小信號模型

變換器達到穩態時，根據式（1）～（3）及占空比d(t)有：

為了構建小信號模型，需要對狀態變量施加并分離擾動，所有信號可以看作是穩態分量和擾動分量之和，則有：

將式（15）代入式（7）和（8）中，忽略直流分量和二階小信號量可得：

則DCM反激變換器的小信號模型為：

時域小信號模型在變換器控制回路的設計和穩定性評估中不宜采用，因此下面將針對上述推導的時域小信號模型使用拉普拉斯變換公式，轉化為頻域小信號模型，則上述公式（20）和（21）在頻域中的表達式為：

最后可以求得反激變換器在DCM模式下的各類傳遞函數為：

式中，Yin(s)、Gidyn(s)、Gid(s)、Gvin(s)、Zout(s)和 Gvd(s)分別為勵磁電感電流到輸入電壓、勵磁電感電流到輸出電流源、勵磁電感電流到占空比、輸出電壓到輸入電壓、輸出電壓到輸出電流源以及輸出電壓到占空比的傳遞函數。

3 結 論

反激變換器在中小功率開關電源中具有廣泛應用，而良好性能是變換器的工作基礎。小信號模型為控制回路的設計提供了依據，論文采用狀態空間平均法對DCM反激變換器進行了小信號模型推導，這種建模方法具有很高的普及性，可以推廣至多類變換器的DCM模式。論文通過確立反激變換器DCM模式下的3組狀態方程，并遵循求平均、施加與分離擾動和線性化的建模思想，最終推出了DCM反激變換器的6個傳遞函數，具有導納型傳遞函數和阻抗型傳遞函數等，拓展了傳統的變換器傳遞函數類型，對于其他變換器的DCM建模具有較高參考價值。