核心素養(yǎng)下高中生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)
——以概率和統(tǒng)計的教學(xué)為契機

林 婷 張麗英

(福建省泉州市第七中學(xué) 福建 泉州 362000)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言與有效工具。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》明確提出了包括數(shù)學(xué)運算在內(nèi)的核心素養(yǎng)，指出數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果。

在數(shù)學(xué)運算能力的考察中，概率統(tǒng)計是一個常見的載體，這里以此為例，談?wù)勗诟怕式y(tǒng)計教學(xué)中，核心素養(yǎng)理念下數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)。

1.重視概念教學(xué)

對數(shù)學(xué)對象的研究，大多是從概念的入手加以引導(dǎo)的，高中生很多運算錯誤的出現(xiàn)也是由于概念的理解偏差或者不全面造成的。在概率統(tǒng)計教學(xué)中，要從課本中的概念理解入手，輔以實例，重視公式和定理的推導(dǎo)過程;，注重讓學(xué)生經(jīng)歷以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并通過數(shù)學(xué)的推理、論證證明結(jié)論(定理、性質(zhì)等)的過程，從而提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)。

2.有意識進行計算能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)需要長時間的計算訓(xùn)練的積累，在概率統(tǒng)計的教學(xué)中，要在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性、運算的正確性和算法的有效性上有要求，并及時歸納總結(jié)在運算中出現(xiàn)的問題，這樣才能使學(xué)生的運算能力得到逐步發(fā)展。

2.1 引導(dǎo)學(xué)生選取合適的計算方法與運算策略。概率統(tǒng)計試題給人的印象往往是冗長復(fù)雜的題目和計算，合適的運算方法能夠快速解答問題，減少運算量，提高運算效率和準(zhǔn)確率，所以數(shù)學(xué)運算方法的教學(xué)是教師進行數(shù)學(xué)運算教學(xué)的一個基礎(chǔ)性環(huán)節(jié)。

例1、面對疫情，全國人民上下一心，在較短的時間內(nèi)有效控制疫情，其中志愿者們的無私奉獻成為抗疫畫卷一道美麗的風(fēng)景線。某市為了解志愿者的年齡構(gòu)成情況，隨機抽取部分志愿者的年齡數(shù)據(jù)，整理得到年齡頻率分布直方圖如下，估計該市志愿者年齡的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別是( )

A、35，34，34.5 B、32.5，34.5，35

C、32.5，34，35 D、32.5，34，34.5

本題中，平均數(shù)的計算是難點。

=22.5×0.1+27.5×0.2+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1

如果直接計算過程繁瑣并且容易出錯，可以利用對稱性進行計算的簡化。

=(22.5×0.1+47.5×0.1)+(27.5×0.2+37.5×0.2)+32.5×(0.2+0.05)+42.5×(0.2-0.05)

=70×0.1+65×0.2+(32.5+42.5)×0.2+(37.5-42.5)×0.05

=7+13+15-0.5=34.5

作為選擇題，只需要估算到小數(shù)是0.5，配合眾數(shù)是32.5，就可以選擇答案D。本題中，估算或者進行對稱性計算就是一種合理的運算策略，可以減少運算量，也更不容易出現(xiàn)計算的失誤。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生思考和對比不同運算方法的優(yōu)劣，進而培養(yǎng)運算能力。

2.2 重視數(shù)學(xué)思想方法的使用。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是對知識的獲取和積累，更要突出數(shù)學(xué)思想方法的使用，促進學(xué)生運算思想的形成，使學(xué)生能夠綜合運用文字、數(shù)字、圖像、圖形、表格等各種形式整理和描述數(shù)據(jù)、反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)運算水平的不斷提升。

例2、(2011 年高考廣東卷·理 13)某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm．因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為______cm。

解析：先把已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為如下表格：

父親身高x173170176兒子身高y170176182

直接進行運算，運算量很大，可以把x和y通過平均數(shù)的調(diào)整把運算量減小。

父親身高x'0-33兒子身高y'-606

代入公式得

x′與y′的線性回歸方程為y′=x′，所以當(dāng)x′=182-173=9時，y′=9，

則y=y′+176=9+176=185，所以預(yù)測他孫子的身高為185cm。

2.3 對運算結(jié)果的檢驗。對運算的過程和結(jié)果進行評估和研判，也是學(xué)生運算能力的一種。數(shù)學(xué)運算中的檢驗通常可以分為邏輯性檢驗與正確性檢驗。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生強化檢驗意識，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.4 重視解題后的反思。教師要引導(dǎo)學(xué)生做解題后的反思，不僅是反思出現(xiàn)錯誤的原因，也可以是對題目進一步分析，從多角度探索解題細(xì)節(jié)。這也是學(xué)生對自己思維再認(rèn)識的過程，可以糾正運算過程中的不良習(xí)慣，并找到更好的解題方法，拓寬思維的廣度。

例3、袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同外，其它方面沒有差別，現(xiàn)把球隨機地一只只摸出來，求第k(1≤k≤a+b)次摸出的是黑色球的概率。

分析：顯然，每個球第k次被摸出的可能性是相等的，所以這是一個古典概型問題，

對于數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)還可以從以下幾個方面入手：加強審題指導(dǎo)；做好解題示范,規(guī)范答題；重視方法的總結(jié)與對比等等。總之，良好的數(shù)學(xué)運算能力為學(xué)生高質(zhì)高效地開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供著強力支撐，教師可以以概率和統(tǒng)計的教學(xué)為契機，促進學(xué)生運算思想的形成，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。