教室中視角“最佳”的位置問題

周賽龍 儲炳南

利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從現(xiàn)實情景出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并提出問題，分析問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，并最終解決實際問題，是高中數(shù)學(xué)建模的主要過程，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的必要手段[1].本文，筆者將數(shù)學(xué)中的抽象知識與生活中的實際問題結(jié)合起來，采用數(shù)學(xué)建模的思想方法，對教室中視角“最佳”的位置問題進行了分析探討，旨在增強數(shù)學(xué)知識的趣味性和實用性，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

1 提出問題

我們知道，在教室里坐在不同位座上，看黑板感受是不一樣，這主要是由于在不同位置觀看黑板時視角不同引起的. 一般情況下，當你觀看一個物體時，視角越大，看得就越清晰.根據(jù)以上依據(jù)， 你能找出教室中視角“最佳”的位置嗎？

2 建立模型

如圖1所示， 在豎直墻面α上有一矩形黑板ABCD，黑板兩豎直邊與墻邊距離相同.其中，AB=a，AD=b，（a>b）. E、F分別為黑板兩豎直邊上的兩點，且滿足：EF∥AB∥CD∥β，G、H分別為黑板兩水平邊上的兩點，且滿足：GH⊥β，AD⊥β ，BC⊥β.延長GH交面β于點I.點P（眼睛）在水平平面β內(nèi)，邊CD在β上方且與β的距離HI為定值c.

實際上，當我們在點P處看黑板時，視角會分為水平和豎直兩個方向，結(jié)合觀看物體時，視角越大看得越清晰的理論前提，教室中看黑板最清晰的位置，應(yīng)該同時滿足如下兩個條件：①水平方向上，點P到黑板的距離PJ和EF到β面的距離KJ一定時， ∠EPF度數(shù)最大;②豎直方向上，GH與黑板兩豎直邊的距離一定時，∠GPH度數(shù)最大.

3 求解模型

3.1 水平方向上最大視角的求解

如圖1所示，連接線段PE、PF.當點P到黑板的距離PJ和EF到β面的距離KJ一定時， 點P到線段EF的距離PK也固定，記：PK=h.則問題可轉(zhuǎn)化為如下模型：

如圖2、3所示，在△PEF中，邊EF上的高為線段PK，且PK=h，EF=a均為定值，求∠EPF度數(shù)最大時點P的位置.

解 設(shè)EK=x，記∠EPF=θ，∠KPE=α，∠KPF=β.

（1）如圖2所示，高PK的垂足K在線段EF上時，0≤x≤a，則：

tanα=EKPK=xh，tanβ=FKPK=a-xh

所以cotθ=cot（α+β）=1-tanαtanβtanα+tanβ=1-xh·a-xhxh+a-xh=x-a22+h2-a24ah .

當x=a2時，（cotθ）min=4h2-a24ah，即∠EPF=θ取最大值.此時，點P在邊EF的垂直平分線上.

（2）如圖3所示，高PK的垂足K在線段EF延長線上時，x>a，則：

tanα=EKPK=xh，tanβ=FKPK=x-ah.

所以cotθ=cot（α-β）=1+tanαtanβtanα-tanβ=1+xh·x-ahxh-x-ah=（x-a2）2+h2-a24ah.

所以此時，（cotθ）min>4h24ah>4h2-a24ah.

綜上可知：當x=a2時，cotθ取最小值;即點P在邊EF的垂直平分線上時，即∠EPF=θ取最大值.

3.2 豎直方向上最大視角的求解

如圖1所示，線段GH垂直平分黑板兩水平邊時，延長GH交面β與點I，連接線段PI、PH、PG.則問題可轉(zhuǎn)化為如下模型：

如圖4所示，在Rt△PGI中，點H為邊GI上一點，且滿足GH=b，HI=c，求：當線段PI的長度取何值時，∠GPH度數(shù)最大.

解 設(shè)PI=x，記∠GPH=θ，∠GPI=α，∠HPI=β，則：

tanα=GIPI=b+cx，tanβ=HIPI=cx.

所以tanθ=tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=b+cx-cx1+b+cx·cx=bx+（b+c）cx .

所以當x=（b+c）c時，tanθ取最大值，角θ度數(shù)最大.即：PI=（b+c）c時，∠GPH最大.

綜合以上水平和豎直兩個方向上的最大視角的求解結(jié)果可知：教室里，黑板的正中央且距離黑板的距離為（b+c）c處的位置為教室中視角“最佳”的位置.

4 檢驗結(jié)果

以上求解結(jié)果中，水平方向上，教室中的每一排的最中間位置是看黑板的“最佳”位置與現(xiàn)實情況相符合，因為中間位置不僅可以保障水平視角達到最大，而且不用斜視，且不易出現(xiàn)黑板“反光”情況;而對于豎直方向上，教室中最中間列距離黑板（b+c）c處的位置為視角“最佳”的位置卻可以有不同的闡釋：一方面，此處所說的位置“最佳”僅代表在該位置處恰好同一水平方向和同一豎直方向上的視角同時達到最大，但在其他水平方向上，此位置所處的水平視角卻不是最大的，因為對于教室中的最中間列而言，顯然，距離黑板越近，水平視角會越大;另一方面，此處所說的視角 “最佳”位置不一定是教室中觀看黑板“最舒服、最健康”的位置，

如圖5所示，當豎直視角為角θ時，人體需要抬頭后仰或向上眼動一個φ=2β+θ2角度，長時間觀看黑板時易造成人體一定程度上的頸部或眼部疲勞.但考慮到一般教室的空間不大，一節(jié)課時間不長且學(xué)生課間可以適當休息，所以角度φ對學(xué)生觀看黑板的舒適度及身體健康的影響不會太大.但若在空間大、觀看時間長的電影場中，最佳觀影位置的選擇就應(yīng)該著重考慮角度φ對觀眾觀影體驗的影響了，畢竟大多人看電影是奔著放松娛樂去的.

5 模型應(yīng)用案例

如圖6所示， 一矩形足球場在平面α上，矩形ABCD是一方球門所在位置，其中AB=a，AD=b，（a>b）.在平面α上，除矩形ABCD外，現(xiàn)將矩形足球場分為如圖所示的Ⅰ、Ⅱ兩個位置區(qū)域，點P（射球點）在平面α內(nèi)，過點P作PE⊥CD于點E，討論點P的最佳射門位置.