開發數學應用素材的路徑探究

廣州市第九十七中學510260徐進勇

【摘 要】好的數學應用素材能體現歷史、情境、人文、思想與現實，能有效提高學生數學抽象、邏輯推理、數學建模素養.教學實踐中總結應用素材開發的多條路徑，以求創設良好的數學應用素材，實現抽象數學與生動現實間的溝通，突破數學因高度抽象概括產生的理解障礙，為改善數學的教與學提供極大可能.

【關鍵詞】 應用素材;路徑;案例

中國數學經典《九章算術》匯集了246個數學問題及其解法，問題解決過程帶動數學知識的學習與理解;《數術九章》作者秦九韶，主張“數術之傳，以實為本”，就是在強調數學的應用.1993年4月北京師范大學召開“在中學數學教學中貫徹應用性原則的研討會”，嚴士鍵、張奠宙兩位教授率先提出要在高考試題中增加數學應用內容.2003年，《普通高中數學課程標準（實驗）》將“發展學生的數學應用意識”作為課程的十大理念之一.2018年《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下稱為《新課標》）提出教育要“立德樹人”，并把數學建模作為數學學科六大核心素養之一，將數學建模活動與數學探究活動作為課程內容的四條主線之一.教育部考試中心命題專家總結說：“新的高考數學試題注重考查數學應用素養，試卷設置的情境真實、貼近生活，同時具有深厚的文化底蘊，體現數學原理和方法在解決問題中的價值和作用.”

數學應用包括兩個方面：一是在數學內部的應用，即運用已有的數學知識和思想方法解決新的數學問題，這類問題多歸結為“數學結構的邏輯化”;二是在數學外部的應用，即運用數學理論解決有關實際問題，可分為把含有實際背景和非數學學科背景的問題變成數學問題即建立數學模型，這類問題可歸結為“現實問題數學化”;另一方面是怎樣把數學理論廣泛地應用于各種具體情境，這類問題可歸結為“數學理論應用化”.分類如下：

數學應用內部應用：數學結構邏輯化外部應用現實問題數學化數學理論應用化

數學應用的研究包含：激發學生數學應用學習興趣、提高學習動機;從知識的情境性、邏輯性、文化性、綜合性開展數學應用;在課堂教學中滲透數學應用思想，開展數學建模教學;增加數學課外實踐活動，進行有效的知識應用拓展等，這其中體現歷史、情境、人文、思想、現實.數學應用素材的開發就是創設具有上述特征的教學材料，為教學服務.教學中，學習他人經驗的同時，自己也創設了很多有意義的應用素材，總結了素材開發的8條路徑，實現了抽象的數學與生動的現實間的溝通，突破數學因高度抽象概括產生的“難以意會、無法言傳”的障礙，為改善數學的教與學提供極大可能.

1 創設邏輯建構素材

數學內容結構嚴謹、邏輯縝密，數學知識的發展相互聯系，前后一致.教師備課的主要任務是要站在系統的高度為學生構建前后一致、邏輯連貫的思維鏈，并提供恰當材料，引領學生經歷感知、抽象、概括它們的共同本質屬性的過程.

案例 在學習“零指數冪、負指數冪”時，學生已有知識：an表示n個a相乘的積，am÷an=am-n（a≠0，m，n∈Z*，m>n）.之所以規定m>n，是因為0個a相乘、-1個a相乘是沒有意義的.隨著數集學習范圍的擴大，如何突破認識負指數冪含義這道“坎”呢？

首先確定當m≤n時，am÷an是有意義的，如23÷23=1，23÷24=12.那么它又為何可以寫成20和2-1呢？20和2-1又有何含義呢？

為此，石志群老師創設素材：有1個細胞分裂1次變成2個，分裂2次變為22個，分裂3次變為23個，分裂4次變為24個，…….當這個細胞沒有分裂（即分裂次數為0）時，細胞個數是多少？

生：20=1.

師：可見，20還是有道理的！于是我們可以規定a0=1，從而同底數冪的除法運算法則在m=n時就可以成立了.

追問：請學生在數軸上依次標出20，21，22，23，24，…所表示的點，并研究這些點有何關系？

生：它們與原點的距離分別是1，2，4，8，16，…，后一段距離是前一段距離的2倍.

師：反向觀之，有何發現？（如圖1）

生：指數每減少1，冪所對應的點為原點與前一個點的中點.

師：按這個趨勢，因為20=1，如果2-1有意義的話，那么它所對應的點應該在哪里？對應的實數是哪個？

生：2-1=12.

師：你能理解2-2=？ 2-n=？

通過構建這樣的素材，在學生已有知識“正整數指數冪”的基礎上，抓住對于2n當指數增加1時（正向變化），冪變為原來的2倍，并借以數軸直觀，提出逆向思考與觀察：指數減少1時（負向變化），冪所對應的點與前一個點有何聯系，從而產生新結果，實現認識上質的飛躍，拓展了乘方運算的意義.正如石志群老師所說：數學的“規定”不是那么隨意的，它需要有數學賦于的權利，也要有現實的合理性，還要符合數學內部的和諧一致[1].

事實上，教材內容的編排是很重視知識的邏輯結構的.如選修23回歸分析的基本思想是在明確了如何研究線性回歸的基礎上，將非線性回歸方程問題通過換元轉化為線性回歸方程，形成“作散點圖→選模→換元確定線性方程→得到曲線回歸方程→利用回歸方程進行預報”的回歸分析思路.獨立性檢驗的基本思想是類比反證法原理：將“在一個已知假設下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設不成立.”類比為“在一個已知假設下，如果推出一個與該假設矛盾的小概率事件發生，就推斷這個假設不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率.”揭示了確定性關系與相關關系的聯系與區別，打通知識間的聯系.這些教學內容的安排順水推舟，也順理成章，突出了知識間的內部聯系與結構打通，為我們的教學提供研究“套路”的示范.

2 創設數形結合素材

數學是研究數量關系和空間形式的科學，“數”讓“形”更精確，“形”讓“數”更直觀，二者“比翼雙飛”，共同促進數學發展.

直觀想象素養就是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.

案例 在學習數列一章中，常會遇到12+22+32+…+n2=？教材只是給出公式，并沒有推導與證明，在學生已有的知識基礎上，如何推導這個公式呢？

創設素材 高斯根據“三角形數”（如圖2）解決了1+2+3+…+n=n（n+1）2，你知道他是怎么

計算的嗎？同樣，畢達哥拉斯從“正方形數”中也得到了一個結論（如圖3），你能寫出這個結論嗎？

學生可以寫出結論：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

師：如果我們把三角形數中的點擴大到一個小圓圈，再在每個小圓圈按規律填上數字：第1行填1，第2行都填2，…，第n行都填n（如圖4（a）），這個三角形所有小圓圈的數字和怎樣表示？

生：1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

師：將這個三角形按順時針方向旋轉120°，得到第二個三角形（如圖4（b））;再將這第二個三角形按順時針方向旋轉120°，得到第三個三角形（如圖4（c）），將這三個三角形對應位置的小圓圈里的數相加，得到第四個三角形（如圖4（d）），則第四個三角形中所有數字之和是多少呢？

生：算出第4個三角形各小圓圈數字和為（1+2+3+…+n）（2n+1）=12n（n+1）（2n+1），結合上面結論，可得：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）.

素材的創建，使學生正確認識課本“傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在海灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數”的含義，揭示科學家們在研究時，不是簡單地數一下就完事，而是把小石子擺成某些形狀來研究，這在數學史上稱為“數形理論”.材料也是對“數形理論”的創新與拓展，彰顯數學文化內涵，拓寬學生視野，培養學生創新精神，饒有興趣中解決了公式的推導，提高學生的數學直觀與數學計算能力.

3 創設情境導引素材

《新課標》強調：“數學核心素養是在學生與情境、問題的有效互動中得到提升的”.如何幫助學生學會“用數學的眼睛看，用數學的思維想，用數學語言說”，離不開數學情境的默化和增潤.

案例 在講兩角和差的正切函數公式時，結合廣州市學生可以創設如下情境素材.

廣州塔身是由兩個向上旋轉的橢圓形鋼外殼變化生成，兩個橢圓扭轉在腰部收縮變細，俗稱“小蠻腰”，是中國第一高電視塔.周日學校數學興趣小組到戶外測量廣州塔高度，如圖5，他們實地測量在A處到塔尖C處仰角為15°，步行1200米到達B地，又測得塔尖C處仰角為30°，據此，你能測算出電視塔高度嗎？

學生獨立思考：可先設塔的高度為h，列等式：htan15°-htan30°=1200.如能求出tan15°的值，就能計算出塔的高度了.

教師提出問題：如何求tan15°？

從而引發學生尋求已有知識tan60°，tan45°，tan30°及兩角和差的正余弦公式，利用三角函數間結構聯系推導出tan（α±β）公式.圖6

公式推導后可提供2010年全國高考江蘇卷17題作為變式訓練：某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖6，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值.

（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度.若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

情境材料引導學生發現問題、提出問題，從知識結構聯系中分析問題、解決問題，變式材料提升學生數學應用能力（可用基本不等式或方程根的判別式等）.教學過程通過“情境化”“去情境化”“再情境化”形成了研究一般性概念、公式的基本“套路”.同時也能讓學生通過查找有關“小蠻腰”資料感受兩個橢圓是如何扭轉在腰部收縮變細的，感悟數學應用價值和數學藝術，學會數學欣賞，讓學生喜歡數學.理想的數學情境應該包括“境”與“情”兩個不可分割的部分，講究“以境啟知，由知怡情”[2].情境素材的創設需要將學生學習的興趣、情緒、體驗、美感等方面擺放在應有位置.

4 創設實驗操作素材

數學最大的特點是“抽象”.數學來源于現實世界，現實世界中的數量關系和圖形關系通過抽象進入數學內部并通過推理得以發展.

案例 學習“方程的根與函數的零點”時，由于函數的零點定理敘述的是“存在性”問題，較為抽象，高一學生剛接觸，理解困難，可安排如下操作：

學生準備一支筆芯和一條細線，放在桌面上，保持筆芯固定不動，并當成x軸，細線當成函數圖象，活動細線的兩個端點A，B，觀察細線與筆芯的交點的個數.并思考以下問題：

問題1 如果A，B在筆芯的兩端，則細線與筆芯所在的直線有幾個交點？交點會在何處？

待學生獨立思考有結論時，提出下面問題：

（1）如圖7（a），算不算一種情況？（復習函數概念）;（2）如圖7（b），算不算一種情況？

問題2 如果A，B在筆芯的同側，則細線與筆芯所在的直線有幾個交點？

問題3 什么條件下，細線和筆芯所在直線一定有交點？

問題4 如果細線斷了，還能保證一定有交點嗎？

《易經》中說：“形而上者謂之道，形而下者謂之器.”史寧中教授說：“形是一種抽象的存在.”素材的創設從“器”入手，讓學生感悟“形”的存在，進而抽象一般規律.數學實驗是學生動手動腦以“做”為支架的數學教與學的活動方式，借助數學實驗工具，可以改變學生學習的數學知識形態，改善學生的數學學習方式，促進學生數學核心素養的全面發展.

5 創設技術支持素材

現代技術應用于教學能促使數學知識的發生、發展過程與結果的教育得到更好的結合，使數學興趣、情感與數學的理性思維教育得到有機的融合.《新課標》要求“注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性.”信息技術能發揮人工操作無法達到的效果.

案例 多種版本的教材在圓錐曲線一章中都有讓學生折紙的實驗來體會拋物線、橢圓、雙曲線定義.（1）如圖8（a）將一張長方形紙片ABCD的一只角斜折，使D點總是落在對邊AB上，然后展開紙片，就得到一條折痕L（為了看清楚，可把直線L畫出來）.這樣繼續下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？為什么？（2）將長方形紙片改為圓形紙片，如圖8（b），在圓內任取不同于圓心的一點F，將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕L，這樣繼續下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？（3）如果在圓外任取一定點F，如圖8（c），同樣操作觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？

在實際操作中學生很難畫出這些折痕，也就無法“勾勒”出三條曲線.但如果我們借助通過幾何畫板，就很容易得到無數條折痕圍成輪廓所形成的圖形，而且圖形形成過程所保留的痕跡也容易讓學生發現等量關系，進而形成對定義的理解（如圖9）.

現代信息技術是人類頭腦的延伸，除了計算、作圖、統計、證明，還可以模擬實驗，拓展想象，促進理解.信息技術的運用，無疑增大了課堂的容量，使很多探究性教學成為可能，使學生從靜態和動態、局部和整體、圖形和數值、具體和抽象、理論和應用的各個側面去研究和探索數學中的各種問題.充分開發信息技術“抽象問題具體化”“隱性問題顯性化”“靜態問題動態化”功能，可以讓學生真實體驗數學的探索過程，真切體驗到數變化對形變化的影響以及形變化帶來的規律揭示，能較好地培養數學直覺和洞察力，開拓和發展學生的想象力與創造力.6 創設數學文化素材

化學家傅鷹指出：“一門科學的歷史是那門科學最寶貴的一部分，因學科學只能給我們知識，而歷史卻給我們智慧”.在數學課堂教學中，并存著三種思維活動，即數學家的思維活動、教師的思維活動、學生的思維活動.教學中應將三種思維過程盡量開放，使它們水乳交融、相應成輝，形成一個和諧互補的有機整體，從而有效促進學生的思維發展.

案例 高中數學“基本不等式”一節，為引出算術平均數與幾何平均數及其關系，在原有的學生認知基礎上可以創設如下問題素材：中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明.最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽.趙爽創制了一幅“勾股弦方圖”（后稱趙爽弦圖，如圖10），用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明.

問題1 你了解趙爽對勾股定理的“弦圖”證明嗎？

問題2 你能從中找出不等關系嗎？

問題3 當中間小正方形面積逐漸縮小為零時，說明什么？

以我國科學家的偉大發現與創造性證明為材料創設學習素材，激發了學生很大興趣，在此基礎上引導學生變換視角再發現，完成從等量到不等量及從不等量再到等量的自然轉換，體現了等與不等的辯證的統一.素材既能喚起學生原有認知結構中的知識和生活體驗，又能自覺發現新問題，建立起新舊知識之間的聯系，使新知識學習水到渠成.

胡浩老師在“平面”教學中引用數學家傅里葉對平面定義“平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成.”（教師用幾何畫板動態展示如圖11）成功地利用直線的無限延伸來突破學生對平面無限延展理解上的難點[3]，是一個很好的案例.

融歷史于教育，使數學史材料不再是冷冰冰的陳列品，數學歷史和教育現實不再是兩個彼此隔離的世界，數學史對學生和教師的價值不再是蒼白無力.數學史回答了“為何”和“如何”的問題，揭示了數學知識產生的動因，呈現了前人概念理解的困難或概念發展過程中的認識障礙，溝通了不同數學主題之間的聯系.數學史本身就是一種課程資源.

7 創設學科融通素材

對新概念獲得，一般有概念同化和概念形成兩種方法.學生學習新概念時，用定義的方式向學生直接揭示，學生利用認知結構中已有的概念與新概念建立起的聯系，從而理解和掌握新概念的本質屬性，這種獲得新概念的方法稱為概念的同化[4].新舊概念的聯系可以是數學內部概念的聯系，也可以是跨學科概念間的聯系.

案例 “充要條件”一節概念較多，邏輯關系容易混淆，我們可以借助物理中的電路圖來理解.

請同學們看這兩張電路圖（如圖12）有什么特點？

問題1 如果把“p開關閉合”作為條件，“q燈亮”作為結論，條件p對結論q有何影響？

圖12（a），p開關閉合保證了q燈亮，也就是條件p充分保證了結論q成立，稱p是q的充分條件;圖12（b），要使q燈亮，p開關必須閉合，條件p是保證結論q成立的一個必不可少條件，稱p是q的必要條件.

問題2 如圖13，A開關閉合是B燈亮的什么條件？試從“充分性”和“必要性”兩個方面考慮.

通過學生熟悉的電路圖，為學生提供“可視性”情境，以形象直觀為手段，強調應用豐富多樣的視覺表征手段呈現數學對象的本質屬性，為學生從事數學活動、產生數學行為創建易于同化的境脈場域，促進學生對新概念的理解.數學中的向量、數量積概念也可以從物理中的矢量、力的做功同化而來.其他學科的知識、方法和手段可以為數學學習提供資源供給和智力支持，并能豐富和拓展學生的學習資源和認知視野.圖13如中學對極限的學習，可以借助我國的詩詞加以理解：《莊子》中的一段話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”;數學名家徐利治先生在課堂上講極限的時候，總要引用李白的《送孟浩然之廣陵》詩：故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州.孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流.“孤帆遠影碧空盡”一句，讓大家體會一個變量趨向于0的動態意境，煞是傳神.在講函數的性質時，為說明學習函數奇偶性、周期性的意義，我常吟誦戰國時期呂不韋《察今》中“有道之士，貴以近知遠，以今知古，以益所見，知所不見.故審堂下之陰，而知日月之行、陰陽之變;見瓶水之冰，而知天下之寒、魚鱉之藏也;嘗一脟肉，而知一鑊之味、一鼎之調.”

8 創設應用探究素材

《新課標》指出數學建模過程包括：在實際情境中從數學視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式，也是推動數學發展的動力.

案例 等差、等比數列在現實中有著廣泛的應用，在學習完數列知識后，我們可以引導學生作研究性學習：貸款問題與我們的生活密切相關，貸款有單利和復利之分，還款也有等額本金還款法和等額本息還款法.請同學調查一下銀行存款相關信息并搞清楚兩種還款法有何區別？具體操作中如何作出選擇？并具體解決：現有某人從銀行購房貸款100萬元，貸款期限10年，兩種還款法的利息有何差別？并完成調查評估報告.

開展此次研究性學習，學生可以通過訪談銀行工作人員了解存款、貸款、還款相關信息，經歷較為完整的數學研究、數學建模活動：調查現實情況，搜集數據信息，提出數學問題，抽象數學理論，探求內在規律，得出數學結論，給出合理解釋，完成評估報告，使學生切身感受“做數學”的樂趣.可見，要更好地提高學生的數學建模能力，尋找一個好的數學建模問題是關鍵.徐青華老師撰文《基于線性回歸的行為預測研究》，用線性規劃模型分析教學樓學生撤離所需時間，并根據建立的模型選擇最佳撤離方案，還引導學生如何書寫建模論文[5].生活中處處充滿著數據，數學建模正是通過大量數據的匯總處理，把數據轉化為模型，并通過嚴謹的的數學方法定量分析、解決實際問題.數學本質是模式的建構與研究，數學模式包括量化模式與思維模式，量化模式是人類關于客觀世界的認識結果，思維模式是人類關于客觀世界的認識過程[6].

新課程的實施關注教師和學生的生命體驗，呼喚創新研究型素材的啟示.好的數學應用素材能啟迪思維，形成技能，感受數學思想，體悟理性精神，欣賞數學之美，讓學生覺得學數學有意思、有智慧、有價值.讓我們一起努力，用智、情、美創建數學應用素材點亮課堂，為學生成長而教！

參考文獻

[1] 石志群.合理設計教學過程 發展學生核心素養[J].數學通報，2019，58（01）：1315.

[2] 李三平，郭夢敏.數學情境教學中啟“知”策略探討[J].當代教師教育，2016，9（03）：5659.

[3] 胡浩.“平面”教學設計的理性突圍[J].數學通報，2019，58（01）：1618.

[4] 孔企平，張維忠，黃榮金.數學新課程與數學學習[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 徐青華.基于線性回歸的行為預測研究[J].中學數學教學參考，2019（12）：3436.

[6] 徐利治，鄭毓信. 數學模式論[M] .南寧： 廣西教育出版社，1993.

作者簡介 徐進勇（1970—），男，江蘇連云港人，正高級教師，高中數學特級教師;主要研究方向：課堂教學研究.