“新中學三角體系”概述及其進一步思考

李鋒雷 胡恩良

【摘 要】 “幾何先行，三角跟進”，中學數學教學中，先對三角形做定性研究，引入相似三角形后，注重定量研究，先定性后定量的研究模式符合人們認知事物的一般規律.但正如張院士所說，這樣的安排有三個遺憾：幾何孤軍奮戰，三角壯志未酬，代數無人問津（具體可以參閱文獻[1]）.張院士提出的“重構中學三角體系”對中學數學教育具有重要的意義.基于此，對其又進一步的思考——以正弦定理為工具，通過代數驗證三角形全等判定法則.即在幾何與三角的關系中，充分發揮代數的作用，使三角壯志得酬.

【關鍵詞】 張景中;中學三角體系;代數;幾何;三角

1 研究背景及其意義

幾何與三角研究的對象都是圖形，首先是最簡單但內容依然豐富的三角形，幾何側重定性的研究，三角則側重定量的研究，代數研究的對象是更為抽象的數與式的運算規律和方法，是解決數學問題的基本工具，也是幾何和三角的工具[Symbolq@@].中學數學教學中，先對三角形做定性研究，為三角奠定基礎，引進相似三角形后，便注重定量研究.先定性后定量，符合人們認知事物的一般規律，似乎是十分順理成章的安排.但對比傳統的三角教學，張景中院士提出的“新中學三角體系”認為：學生一旦掌握正弦定理，學習幾何知識就如高屋建瓴，更能激發其主動性.現階段課程中，正弦定理在高中階段學習，從而正弦定理對幾何內容的展現幾乎沒有[Symbolr@@].

該體系在中學教學實踐中取得了不錯的成果（在我國著名數學教育家張奠宙先生推動下， 寧波教育學院的崔雪芳老師在初一學生中做實驗，得到很好的效果[Symbols@@]， 隨后，華東師范大學李俊副教授指導的教育碩士王文俊老師對高中學生和老師做了更詳細的實驗與調查， 結果表明大部分學生和老師是比較欣賞和認可三角函數新定義體系的[Symbolt@@]，進一步研究該體系對中學數學教學具有重要的研究意義.基于此，在張景中院士的研究基礎上，進一步思考，得到“新定義體系”下正弦定理對三角形判定法則的重新審視.即從代數的角度通過證明方程解的唯一性來證明分析三角形全等判定法則.

2 張景中院士提出的“新中學三角體系”概述

在傳統的數學教材中，三角函數的教學從“比值”引入以“數”為邏輯線索展開，推理嚴密、層次分明、數學抽象性強.張景中院士以“用面積方法建立三角學，用單位菱形面積引入正弦”，并由此得出定義：“有一內角為α的單位小菱形的面積為角α的正弦，記作Sα=sinα ”.

由新定義容易得到正弦的幾個基本性質，例如：sinA=sinπ-A，在正弦新定義的基礎上，得到平行四邊形面積公式：SABCD=AB·ADsinA=absinα，進一步得到三角形面積公式：S△ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB，各項同時除以12abc，得到正弦定理

sinAa=sinBb=sinCc=2S△ABCabc.基于此，可得到一系列公式和定理：正弦和（差）角公式、勾股定理、余弦定義、正弦的勾股關系、余弦定理、相似（全等）三角形判定定理等等.有如下體系：

3 “新中學三角體系”的進一步思考——從正弦定理看“三角形有關定理”

在初中時，已經對三角形勾股定理、中位線定理、兩邊之和大于第三邊、大角對大邊等命題進行過證明，主要是從幾何的角度進行推導證明.事實上，從數學的角度來講這些定理的證明過程是多樣的，體現了用數學進行分析的不同視角.下述證明均以方程的視角通過正弦定理加以分析.

3.1 勾股定理：a2+b2=c2

假設a2+b2≠c2.

由正弦定理可知，在Rt△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，則有a2sin2A=b2sin2B=c2sin2C.由合分比定理可知a2+b2sin2A+sin2B=c2sin2C=c2，又因為a2+b2≠c2，故sin2A+sin2B≠1，又1=sin2B+cos2B，cos2B=sin2A即1=sin2B+sin2A，矛盾，故假設不成立，原命題成立.

3.2 中位線定理：DE∥BC，DE=12BC（或DE與BC不平行，DE≠12BC）

如圖1所示△ABC，D、E分別為AB、AC的中點.假設DE∥BC，DE≠12BC（或DE與BC不平行，DE=12BC）.

由正弦定理，△ADE中：AEsin∠2=DEsin∠1，△ABC中：BCsin∠1=ACsin∠3=2AEsin∠3，故sin∠1=DE·sin∠2AE=BC·sin∠32AE，即DE·sin∠2=12BC·sin∠3.當DE∥BC時，∠2=∠3，即sin∠2=sin∠3，從而有DE=12BC，與已知矛盾，假設不成立，原命題成立;當DE與BC不平行時，∠2≠∠3，即sin∠2≠sin∠3，從而有DE≠12BC，與已知矛盾，假設不成立，原命題成立.

3.3 兩邊之和大于第三邊：a+b>c

如圖2所示，△ABC三邊a，b，c，假設a+b≤c.

由正弦定理，asinA=bsinB=csinC，由合分比定理可知a+bsinA+sinB=csinC，已知a+b≤c，從而sinA+sinB≤sinC，sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，即有sinA+sinB≤sinAcosB+sinBcosA，又cosB、cosA<1，故sinAcosB+sinBcosA

3.4 大角對大邊，小角對小邊

如圖3所示，假設當aB.

由正弦定理可知，asinA=bsinB，當△ABC為銳角三角形或直角三角形時，又函數y=sinx在0，π2上單調，又A>B，即sinA>sinB，故a>b，與已知矛盾，故假設不成立，原命題成立;當△ABC為鈍角三角形時，由圖三可知，sinC=sinC′，同理推出矛盾，故假設不成立，原命題成立.

4 “新中學三角體系”的進一步思考——從正弦定理看“三角形全等判定”

在“新體系”中，以三角為主線將初等數學的大量知識串起來，基于三角知識用代數展開幾何.故基于正弦定理用代數展開全等三角形判定就是“新體系”下的一種探索，這在之前是沒有的，對進一步研究該體系具有重要意義.

4.1 兩邊一角：SAS

如圖4所示，已知B，a，c，求證△ABC唯一.

證明 由正弦定理asinA=csinC ，C=π-A+B，故asinA=csinA+B，又sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，整理得tanA=sinBca-cosB ，已知B，a，c，故tanA的值唯一確定，又y=tanx在0，π2，π2，π上均單調（當A=π2，在HL處討論），故A值唯一確定，從而C值一定，再由正弦定理bsinB=csinC，即b=csinBsinC可知b唯一確定，故三邊確定，三角形唯一.

4.2 兩角一邊：ASA、AAS

如圖4所示，已知a，B，C（或b，B，C），求證△ABC唯一.

證明 已知B，C，故A值唯一確定，從而由正弦定理asinA=bsinB=csinC可知，b、c唯一確定，故三邊確定，三角形唯一.

4.3 直角三角形：HL

如圖5所示，已知B=90°，b，c，求證△ABC唯一.

證明 由正弦定理bsinB=csinC ，整理得sinC=csinBb ，已知B=90°，b，c故sinC的值唯一確定，又因為C必定為銳角，y=sinx在0，π2上單調，故C值唯一確定，從而A值一定，再由正弦定理asinA=csinC，即a=csinAsinC可知a唯一確定，故三邊確定，三角形唯一.

4.4 特殊情況的SSA

如圖6所示，在△ABC中， 點D，E分別在BC，AB上，BD=BE.如果AD=CE， 那么△ADB與△CEB全等嗎？寫出結論， 并說明理由.

如上圖所示做兩條輔助線，通過兩次證明全等，最后可以得到所求兩三角形全等.最后得出結論：當兩個三角形有兩邊和其中一邊的對角對應相等時， 如果相等的角是直角或鈍角的時候， 這兩個三角形全等， 這就是滿足SSA的兩個三角形全等的特殊條件[Symbolu@@].即當B為鈍角或直角時，即可滿足特殊情況下的SSA.

由正弦定理asinA=bsinB，整理得sinA=asinBb，已知a、b、B，故sinA值唯一確定，又由正弦函數在0，π的單調性可知，此時A值不唯一確定，且有兩個解，故一般情況下，SSA不能判定三角形全等.若此時，已知角B為直角或者鈍角（或已知A的范圍），則所求角A一定為銳角，故就不存在多解的情況.

5 結語

可以發現文中用到了正弦函數的單調性，當然也可以“去函數化”，結合單位圓對正弦的定義，跳過函數單調性的運用直接得到正弦的多解性.在教學中，也可以帶領學生初步接觸正弦函數的單調性，幫助他們初步了解方程的解的個數與函數單調性之間的關系.故在“新體系”下，對三角學的研究有很多可能，也有很多創新，需要進一步的完善.

以上以一種不同的視角分析了“三角形判定法則”與有關定理的證明，說明在教學中，數學教師應對同一數學知識進行多角度的思考，增強對知識的融匯貫通和深刻理解，這樣才能看到“不一樣的風景[Symbolv@@]”.作為“研究型”中學數學教師應該時時跳出以往的數學教學范疇，從不同的角度來看待所教的數學知識雖然不一定要把這些“異樣”的方法教授給學生[Symbolw@@]，但可以站在更高的角度去設計中學數學知識的教學.

參考文獻

[1] 張景中.一線串通的初等數學[M].北京：科學出版社，2009.

[2] 張景中，彭翕成.一線串通的初等數學[J].數學通報，2010，49（02）：15.

[3] 崔雪芳.數學中用“菱形面積”定義正弦的教學實驗[J].寧波大學學報（理工版），2011，24（02）：128132.

[4] 王文俊.高中階段“用面積定義正弦”教學初探[D] .上海：華東師范大學，2008.

[5] 彭象華.“失誤”豈能錯過探究走出“迷惑”——“滿足‘SSA的兩個三角形何時全等”拓展課教學設計與分析[J].中國數學教育，2018（Z3）：6568.

[6] 王佩，趙思林.對人教A版高中數學教材中幾個問題的商榷[J].教學與管理，2018（04）：4244.

[7] 溫建紅，王列.從不同視角解析數學教科書中的習題——以“漏壺”問題為例[J].數學通報，2016，55（04）：3336.

作者簡介 李鋒雷，云南師范大學數學學院碩士研究生;研究方向：數學史與數學教育.

胡恩良（1975—），男，博士，教授，碩士生導師，主要研究離散數學與數學教育;研究方向：數學史與數學教育.