妙用數形結合 讓初中生數學解題思路更清晰

張新溪

（福建省詔安縣官陂中學，福建詔安 363509）

引 言

數形結合是一種比較有效的解題方式，也是當下初中生應該具備的一種思維能力。具備良好的數形結合思維后，學生就能借助“以形助數、以數輔形”，將抽象的數學問題具體化，從而有效解決問題。因此，本文將重點分析數形結合思想在初中數學解題中的應用，以培養學生良好的數形結合解題思想。

一、數形結合思想在初中數學解題中的應用意義

（一）促使學生解題思路更為優化

教師將數形結合思想應用于初中數學解題教學中，有利于幫助學生發現數量與圖形之間的關系，使其懂得運用圖形的直觀性去理解題目中涉及的數量，優化解題思路，從而提升學生的解題效率。

（二）有助于鍛煉學生的邏輯和空間思維

學生利用數形結合解題思想分析和探究實際的數學問題，可以逐漸培養自己的邏輯和空間想象思維。比如，在分析數量與圖形相結合的問題時，學生既要分析其中的數量關系，又要探究圖形的規律，而在將二者有機結合的過程中，他們的邏輯和空間思維也能得到很好的鍛煉，這對提升學生的邏輯思維和空間想象思維都有一定的促進作用[1]。

（三）能有效激發學生對數學解題的興趣

數形結合既有數量關系又有圖形分析，能夠豐富學生的學習內容。而且在分析數量與圖形關系時，學生能夠感覺到數學知識的神奇，并且也會從分析中體會到數學圖形的美。

二、數形結合思想在初中數學解題中的應用分析

（一）將數形結合思想應用于初中數學函數問題的解答中

初中數學涉及很多知識點，因而數學問題也千變萬化。其中，函數問題是初中數學問題中的一個重要類型，也是許多學生比較頭疼和害怕的數學問題。從以往數學函數問題的解題情況來看，有些學生拿到數學題目之后，往往不知從何入手。究其原因，主要還是學生缺乏良好的數學函數解題思路，無法找到解題的突破口。那么，在講解數學函數問題時，教師就可以引導學生應用數形結合思想，尋找函數問題中的數量與圖形關系，從而將復雜的函數問題簡單化，進而幫助學生順利解答問題。下面以一道初中數學函數問題為例進行說明。

例題：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求證α+β=45°.

案例分析：在講解這道初中數學正切函數問題時，教師應讓學生學會利用數形結合思想，用題目中的數量關系來構造滿足條件的角α、β，并思考如何將其中的數量關系與實際構造出來的圖形相結合，從而促使學生逐步養成良好的數形結合思想，進而增強學生的數學思維運用能力。其中，教師可以先讓學生根據題目已知條件，將角α、β畫出來，如圖1所示。

圖1

那么，當下學生需要求證的是α+β=45°，所以，教師應進一步引導學生想辦法對上述角α、β進行構造，即構造角α+β，從而將題目中的數量問題轉化為圖形構造問題，進而將抽象的數量關系轉化為形象的圖形解析，最終促使學生得出函數問題的答案。

案例結果：根據角α+β，學生可以畫出如圖2所示的圖形。

圖2

那么在上述圖形中，學生通過連接BC，就可以得出ΔABD≌ΔCBE，即ΔABC是等腰三角形，所以α+β=45°。通過借助直觀圖形的分析，學生可以快速得出實際問題的答案，有效提升解題效率。由此可見，數形結合思想不僅能提升學生的實際解題能力，還能激發學生的數學學習思維。

（二）將數形結合思想應用于初中數學幾何問題的解答中

在實際學習過程中，許多學生只會利用以數代形的方式來解答數學問題，而忽略了以形代數的數學解題思維，這是學生未能形成良好的數形結合思想的體現。所以，學生只有既掌握以數代形，又理解以形代數的過程，才能真正形成良好的數形結合思想。在初中數學幾何問題中，教師可以應用數形結合思想來引導學生思考和解決幾何問題。而數形結合思想可以使部分平面幾何問題簡單化，同時有助于學生產生豐富的聯想，從而將抽象的幾何問題進行一一拆解，促使學生盡快找到幾何問題的解題思路。下面以初中數學中的一道幾何題為例進行說明。

例題：如圖3所示，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一個長方形，請根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，驗證a2-b2=(a+b)(a-b).

圖3

案例分析：根據題目意思，教師可以將陰影部分面積等于邊長為a的正方形面積與邊長為b的正方形面積的差表示為a2-b2，那么陰影部分是長方形，其中長為a+b，寬為a-b，其面積為(a+b)(a-b)，所以就有a2-b2=(a+b)(a-b).

案例結果：將題目中的幾何問題轉化為數量關系，能實現以形代數，這能促使學生懂得靈活運用數形結合思想對實際問題進行解答，而不僅局限于以數代形的思維。

（三）將數形結合思想應用于初中數學不等式問題的解答中

不等式也是初中數學教學中的一項重要內容，也是經常出現的數學考點。在解答中，教師同樣可以引導學生利用數形結合思想，解答實際的數學問題。以初中數學不等式問題為例，首先，學生需要明確討論的對象及討論對象的取值范圍；其次，選擇正確的分類標準，并進行合理分類；再次，逐類討論問題，并提出解決的方案；最后，將討論的結果進行歸納并得出結論。

案例分析：根據例題內容，教師可以讓學生利用數形結合思想，將其中的不等式數量關系表現在形象的數軸上，如圖4所示。

圖4

案例結果：教師通過引導學生利用直觀的數軸來解答實際的不等式問題，能夠讓學生掌握數形結合思想。這樣，學生就能快速地求出答案，并體會到應用數形結合思想的益處。

結 語

綜上所述，對于初中生而言，數形結合思想的形成需要經歷長期的訓練和學習積累。所以，教師應結合實際的數學問題，引導學生挖掘題目中的數量與圖形關系，從而促使學生主動利用數形結合思想來解答實際的數學問題，進而讓學生真正體會到應用數形結合思想的益處，并不斷提升自身的數學解題能力和技巧。