非交換無色散 Gelfand-Dickey 方程族的附加對稱

胡美艷,李傳忠

（寧波大學 數學與統計學院,浙江 寧波 315211）

無色散可積系統(KP、Toda 等)是低維可積場中的重要系統,主要應用于數學、物理、拓撲場、矩陣模型等領域[1-2].無色散可積系統的構造是將經典可積系統中的算子和李括號替換為相位函數和泊松括號,可以看成是經典可積系統的一種形變或類似.類似經典的可積系統,無色散可積系統具有許多優良的性質,如Lax 對、無窮守恒量和對稱性[3-4]等.近年來,附加流顯式形式的附加對稱性[5-7]引起了廣泛關注.20 世紀80 年代,Orlov 等[5]給出了構造無窮多可積非線性演化方程附加對稱性的一般方法.20 世紀90 年代,Leur[8]研究了KdV型方程族的弦方程和W1+∞約束,Takasaki 等[1-4]研究了無色散的可積方程族(KP、Toda).21 世紀以來,Wang[9]和Li[7]分別對非交換KP 和GD 方程族的附加對稱做了研究,Wang 等[10]也研究了無色散非交換KP 方程族的多哈密頓結構.本文利用類似的方法研究非交換無色散GD 方程族的附加對稱.

1 預備知識

在非交換可積系統的研究中,瑪雅代數[11-13]發揮著極其重要的作用,其中瑪雅乘積?的定義為:

式中:P表示一組有限整數;t2i-1,t2i(i∈P)是非交換坐標;θi表示非交換參數;?(θ2)表示高階項.當θi→0時,非交換系統將被簡化為交換系統.

非交換無色散GD方程族的Lax函數L 定義為:

其中u=u(x,t1,t2,…).非交換無色散GD 方程族的Lax 方程為:

N=2時,L=k2+u2是非交換無色散KdV方程族的Lax 函數,其中包含非交換無色散KdV方程

N=3時,非交換無色散Boussinesq 方程族的Lax 函數是 L=k3+u2k+u3,相應的非交換無色散Boussinesq 方程為:

非交換無色散GD 方程族的Lax 函數也可以表示為:

其中dressing 函數φ滿足

另外,式(3)等價于下述Sato 方程:

為了方便研究非交換無色散GD 方程族的附加對稱,引入Orlov-Schulman 函數Μ,假定函數

同時將Orlov-Schulman 函數Μ 定義為:

進一步計算,函數Μ 也可以用Lax 函數L 表示:

性質1函數Μ 滿足下列等式:

證明先證明第二個結論,

根據 ?(eadY?X)=eadY?(?X)+{?YY,eadY?(X)}?,對方程(6)進行計算,

即為所求,證畢.

2 附加對稱

首先給出非交換無色散GD方程族的附加對稱.

定義1微分方程

有了上述準備,現在來定義附加流,并且證明這些流是對稱的.類似于無色散KP 方程族的情形,引入附加變量并且定義作用在函數L 和Μ 上的附加流為:

定理1在非交換無色散GD 方程族中,只有滿足條件的附加流存活.

證明對于非交換無色散GD 方程族的Lax 函數(2)而言,它的負部等于0.根據式(10)有

經過一系列計算,上述等式還可以寫為:

另外,非交換無色散GD 方程族中存活的附加流也有一些很重要的性質.

性質2在非交換無色散GD 方程族中,附加流和原始流交換,即,n≠0(modN).

證明將上式兩邊作用在Lax函數L 上,運用方程(3)和(10)有

性質3非交換無色散GD 方程族的附加流可以形成無中心的 W1+∞代數.

證明直接計算可以得到

這意味著

也就是說

3 弦方程

本節在非交換無色散GD 方程族附加對稱的基礎上,給出它的弦方程.

就是非交換無色散GD 方程族的弦方程.從上述推導中可以看出弦方程是指函數與附加變量無關的條件,即.

4 總結

本文主要研究非交換無色散GD 方程族的附加對稱及存活的附加流的性質.由于該方程族Lax函數的特殊性,只有滿足條件的附加流存活,這是與非交換無色散KP 方程族的一大不同.通過特殊附加流作用,得到弦方程.