廣義二型模糊邏輯系統降型及其采樣離散Nie-Tan算法*

陳 陽，王 濤

(遼寧工業大學理學院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

由于區間二型模糊邏輯系統[1 - 4]的計算復雜度相對較低，已成為當前應用最廣泛的一類二型模糊邏輯系統。自從廣義二型模糊集的α-平面(或z切片)表達理論[5,6]被提出，廣義二型模糊邏輯系統的計算量減少了，學術界對于區間二型模糊邏輯系統的眾多關注逐漸轉向了廣義二型模糊邏輯系統[7 - 10]。區間二型模糊集的次隸屬度值恒等于1，而廣義二型模糊集的次隸屬度值介于0和1 之間，即廣義二型模糊集以非均勻方式度量隸屬函數不確定性。因此，廣義二型模糊集可看成是比區間二型模糊集更高階的不確定模型。隨著設計自由度增加，基于廣義二型模糊集的廣義二型模糊邏輯系統設計在處理某些不確定性問題時具有更大的潛力。

一般來說，二型模糊邏輯系統由模糊器、推理機、規則庫、降型器和解模糊器5個模塊組成。首先，二型模糊輸入集在推理機的指導下被轉變成二型模糊輸出集。接著，降型核心模塊把二型模糊集轉化成一型模糊集。最后解模糊化把一型模糊集映射成明確輸出。當前，計算密集的KM(Karnik-Mendel)類算法[11 - 15]仍是最流行的降型算法。為了改進計算效率，一些非迭代類算法被陸續提出，如NT(Nie-Tan)算法[16]、BMM(Begian-Melek-Mendel)算法[17]、NB(Nagar-Bardini)算法[18,19]、CJ(Coupland-John)算法[20]和GCCD(Greenfield-Chiclana Collapsing Defuzzifier)算法[21]]等。其中NT算法具有簡單的閉環形式，且連續NT算法CNT(Continuous NT)在最新的研究中被證明為準確的計算區間二型模糊集質心的方法。

本文以CNT算法為計算基準，提出基于采樣的離散NT算法來實現廣義二型模糊邏輯系統質心降型和解模糊化。證明了當適當選取質心輸出廣義二型模糊集的主變量采樣點個數時，離散NT算法的計算結果可以精確地逼近CNT算法的計算結果。 本文的余下部分組織如下：第2節簡要介紹廣義二型模糊邏輯系統；第3節給出NT和CNT算法，以及如何用它們來實現廣義二型模糊邏輯系統質心降型和解模糊化；第4節采用數值仿真例子比較和分析采樣離散NT算法的表現；最后給出結論與展望。

2 廣義二型模糊邏輯系統

從推理結構的角度看，廣義二型模糊邏輯系統一般可分為Mamdani型[4,8,13]和TSK(Takagi-Sugeno-Kang)型[1,9]。本文只關注Mamdani型的質心降型研究。不失一般性，考慮一個有n個輸入x1∈X1,…,xn∈Xn和1個輸出y∈Y的Mamdani型廣義二型模糊邏輯系統，該系統由M條模糊規則描述，且其中第s條規則形式為：

(1)

(2)

對于每條模糊規則，在指定α水平下的激發區間為：

(3)

其中,T表示取小或乘積t-范[6],p為前件個數。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

最后聚合所有的α-平面YC,α來構成一型模糊集YC,即:

(9)

3 NT和CNT算法

(10)

聚合所有的YNT,α得出一型模糊集YNT,即:

(11)

在實際計算中,假設有效α-平面的個數為m,即把α值均勻分解成α1,α2,…,αm,那么廣義二型模糊邏輯系統的輸出為:

(12)

最新的研究證明了CNT算法[16]是計算區間二型模糊集質心的準確方法。這里給出解釋并將其推廣成計算廣義二型模糊邏輯系統質心。

定理1[16]當采樣點個數趨于無窮時，隨機采樣方法可準確地完成廣義二型模糊邏輯系統質心降型。

(13)

其中，yj是y的離散切片。

所以，

(14)

(15)

所以，

(16)

(17)

□

(18)

(19)

(20)

其中ωi是一個均勻分布在[0，1]上的隨機數,所以可得：

(21)

(22)

當前流行的解模糊化一型模糊集方法是計算其質心，即：

(23)

既然yj是任意一塊垂直切片，式(22)對所有的y都成立,因此可得:

(24)

□

(25)

廣義二型模糊邏輯系統的降型集和解模糊化值可分別由式(11)和式(12)計算得出。

最后對于CNT和采樣離散NT算法實現廣義二型模糊邏輯系統質心降型作出如下總結：

(1) 離散NT算法是基于采樣點的求和運算完成質心降型，而CNT算法以求積分運算完成質心降型。從理論上說，當采樣點個數N→∞時，NT算法的計算結果會趨于CNT算法的計算結果。

(2) 隨著采樣點個數的增加,NT算法可能會取得更準確的計算結果。

(3) 離散NT算法是以求和運算完成數值計算的,而CNT算法是以求積分運算象征性地完成計算。

4 仿真實驗

本節給出3個計算機仿真示例。通過模糊推理，設廣義二型模糊邏輯系統的質心輸出二型模糊集的足跡不確定性FOU(Footprint Of Uncertainty)和相關次隸屬函數(或稱垂直切片)為已知量。這里取二型學術研究中常見的3個廣義二型模糊集。在例1中，FOU是由分段線性函數[13 - 16]限定，相關垂直切片為梯形隸屬函數。在例2中,FOU是由線性函數和高斯函數混合[17-21]限定,相關次隸屬函數仍為梯形函數。在例3中，FOU由高斯函數[13 - 16]限定，相關垂直切片為三角形隸屬函數。實驗中α被均勻分解成Δ個有效值，即α=0,1/Δ,…,(Δ-1)/Δ,1。取Δ以1為步長從1到100變化。

圖1和表1給出了所定義的FOU,圖2和表2給出了所定義的次隸屬函數。

Figure 1 Graphs of FOU圖1 FOU圖

Table 1 Membership function expressions for FOU

Figure 2 Shape of vertical slices圖2 垂直切片形狀

Table 2 Expressions for secondary membership functions

Figure 3 Centroid type-reduced sets computed by CNT algorithm圖3 CNT算法計算出的質心降型集

Figure 4 Defuzzified values computed by CNT algorithm圖4 CNT算法計算出的解模糊化值

實驗中研究離散NT算法與基準的CNT算法之間的關系，當取前者的主變量采樣個數為20，50，100，200和2 000時，CNT算法和離散NT算法計算出的質心降型集絕對誤差如圖5所示。

CNT算法和NT算法計算出的解模糊化值絕對誤差在圖6中給出。

Figure 5 Absolute errors of cancroids type-reduced sets between CNT and NT algorithms圖5 CNT和NT算法計算出的質心降型集絕對誤差

Figure 6 Absolute errors of defuzzified values between CNT and NT algorithms圖6 CNT和NT算法計算出的解模糊化值絕對誤差

接著定量研究絕對誤差的平均值，這里取計算精度為10-4。當有效α-平面個數Δ=100時，表3給出了基準CNT算法和離散NT算法計算出的質心降型集絕對誤差平均值。

當Δ=1∶1∶100時，CNT算法和離散NT算法計算出的降型集絕對誤差在表4中給出。

接下來研究CNT算法和采樣離散NT算法的具體計算時間。仿真平臺為有E5300@2.60 GHz，2.00 GB內存的雙核戴爾臺式機，操作系統為Windows XP。所有算法均由Matlab 2013a編程。計算質心降型集和解模糊化時的時間如表5和表6所示。

Table 3 Averages of absolute errors of centroid type-reduced sets表3 質心降型集絕對誤差平均數

Table 4 Averages of absolute errors of defuzzified values表4 解模糊化值絕對誤差平均數

觀察圖5、圖6和表3～表6，可以得出以下結論：

(1) 隨著主變量采樣點個數增加，無論是計算廣義二型模糊邏輯系統質心降型集或還是解模糊化值，離散NT算法的結果都會越來越接近基準CNT算法的結果。

(2) 在例1中，只需取采樣點個數為100和20,離散NT算法的計算結果就同CNT算法一樣(見圖5a和圖6a)；而在例2和例3中，需要增加采樣點個數到2 000才能使離散NT算法的計算結果與CNT算法的結果相同 (見圖5b、圖5c、圖6b和圖6c)。

Table 5 Computation time of centroid type-reduced sets表5 質心降型集計算時間 s

Table 6 Computation time of defuzzified values表6 解模糊化值計算時間 s

(3) 當考慮計算質心降型集和解模糊化值絕對誤差平均數時，則需要把采樣點個數增加到35 000才能使這3個例子下的離散NT算法計算時精確逼近CNT算法。

(4) 對于質心降型集和解模糊化值的具體計算時間，本文所提出的采樣離散NT算法的計算用時遠遠少于CNT算法的。其中采樣數最多的離散NT算法所需計算時間最長。盡管如此，計算用時最長的離散NT算法僅僅需要1.617 1%的CNT算法的計算時間。

(5) 綜合以上4條分析，可知采樣離散NT算法是優秀的CNT算法的估計方法。此外，采樣離散NT算法的計算效率遠高于CNT算法的。

5 結束語

本文揭示了離散NT算法和連續NT(CNT)算法的內在聯系，證明了CNT算法可實現準確的廣義二型模糊邏輯系統質心降型。對于3個具有不同FOU的系統輸出廣義二型模糊集，仿真實驗表明，當適當選取推理輸出廣義二型模糊集主變量采樣點個數時，離散NT算法得出的質心降型集和解模糊化值結果可精確地逼近CNT算法，且前者計算效率遠高于后者。

在后續工作中，將研究離散降型算法和連續降型算法的關系、采樣離散非迭代算法及合理初始化改進Karnik-Mendel迭代算法以實現二型模糊邏輯系統中心集降型。此外，還將深入研究基于優化算法的Begian-Melek-Mendel、Nie-Tan和Nagar-Bardini等框架結構下二型模糊邏輯系統的設計與應用。