分數階微分方程解的存在性

張艷輝 郭瑞

摘? 要：基于Banach不動點定理，通過構造積分算子和GREEN函數，研究了如下兩點分數階微分方程邊值問題

解的存在性。當函數滿足不同的條件時，通過證明積分算子的有關性質，結合Banach不動點定理，能夠證明出該分數階微分方程至少存在一個解的充分條件。在這里f是一個連續的函數，λ是實數。

關鍵詞：分數階微分方程? 分數階導數? 解的存在性? 不動點定理

中圖分類號：O177? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）02（b）-0242-04

The Existence of Solution for Fractional Differential Equation

ZHANG Yanhui*? GUO Rui

（College of Science， Shihezi University， Shihezi， Xinjiang Uygur Autonomous Region， 832003? China）

Abstract： Based on Banach fixed point theorem， by constructing integral operator and GREEN function， the following two-point fractional differential equation boundary value problems are studied， The existence of solutions.When the function satisfies different conditions， the sufficient conditions for the existence of at least one solution of the fractional differential equation can be proved by proving some properties of the integral operator and combining with the Banach fixed point theorem. Here f is a continuous function， λ is a real number.

Key Words： Fractional differential equation; Fractional derivative; Existence of solution; Fixed point theorem

分數階微積分是一種經典的微積分，在聲學、熱力系統和力學中起著重要的作用。此外，在其他科學領域，比如光學、流變學、材料、信號處理和控制理論等方面也扮演著重要的角色，關于分數階邊值問題已經有許多研究成果[1-6]，受文獻[7]的啟發，該文研究下面的分數階微分方程的邊值問題解的存在性。

（1）

式中是Riemann-Liouville型α階導數。

1? 預備知識

定義1[8]：令，那么Riemann-Liouville分數階積分定義如下：

該積分右端在上逐點有定義，這里的*表示卷積，表示Gamma函數并且

定義2：令，，那么Riemann-Liouville分數階導數定義如下：

注釋：

是包含了上所有的連續函數的Banach空間，空間上函數f的范數定義為：

是包含了上所有的連續函數的Lebesgue可積空間。

如果，則存在，并且

，是正數集合。

引理3[9]：假設且，

則：

引理4：令，則是的唯一解，其中C∈R。

引理5[10]：E是Banach空間，是E的非空有界閉凸子集，是緊的且連續，則T在C中至少有一個不動點。

引理6：假設是連續的，方程（1）的等價積分方程為：

貫穿整篇文章，我們會用到以下假設。

（H1）關于t是有界函數，也就是說，存在，使得有成立。

（H2）存在，使得

有成立。

2? 主要結果

在這一部分中，我們將證明方程（1）的解是存在的。如果是方程（1）的解，則：

其中是Green函數，定義為：

這里。

另外，我們還須考慮序列：

其中

接下來，定義算子，即：

。

定理2.1：算子T是連續的。

證明：由假設（H2），有：

則

另外，

對于（j=0，1，2，…有

由Euler積分，，特別的，

。通過變量替換，令，則? ? 可得：

所以：

因此，可得：

即，T是連續的。

定理2.2 T是緊的。

證明： （1）T是等度連續的。

令，則：

當，所以，T是等度連續的。

T是一致有界的，即是有界集。

所以，

因此，T是一致有界的。

綜上所述，由Arzela-Ascoli定理可知，T是緊的。

定理2.3 是一致緊序列。

證明：當時，。因此是基序列。假設，是的子序列，則：

當。當所以是收斂的，即是收斂的。

綜上所述，是一致緊序列。

另外，當時，有，即是方程（1）的解。

定理4 假設（H1）和（H2）都成立，則方程（1）至少有一個解。

證明：由定理1和2、引理5可知，方程（1）有不動點，換句話說，方程（1）至少有一個解。

3? 結語

該文運用不動點定理解決了微分方程兩點邊值問題，筆者也會去考慮如果把邊界條件換成積分邊界條件能否解決該問題。

參考文獻

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