拱形-線形非線性磁力耦合壓電俘能器建模與特性分析

陳孝玉，張旭輝，左 萌，樊紅衛，汪 林

(1.西安科技大學 機械工程學院，西安 710054；2.陜西省礦山機電裝備智能監測重點實驗室，西安 710054;3.遵義師范學院 工學院，貴州 遵義 563006)

近十年來，能量收集技術受到了學術界與工程界廣泛的關注[1]。基于壓電效應的振動能量收集技術具有能量密度高、體積小、便于與電路集成等優點，有望解決便攜式設備、無線傳感節點等微電子設備自供電問題，已成為當前研究熱點[2]。

為實現能量轉換，懸臂直梁式壓電俘能器由于結構簡單、制造方便等優點被廣泛應用于能量收集。為提高能量收集性能，大量研究對直梁結構進行了優化與設計。Erturk等[3]設計了一種L型梁，研究表明這種L型梁具有2階接近的諧振頻率，相對于傳統直梁，可以拓寬工作頻帶；Yang等[4]提出了一種拱形結構梁，仿真表明拱形結構具有更大、均勻的應力分布，相對于直梁，拱形結構梁有更高的電壓輸出和能量轉換效率，且雙拱形結構梁能量轉換效率最高；Cao等[5]設計了一種具有2種不同厚度截面的梁，研究結果表明其峰值輸出電壓與功率分別是傳統直梁的1.69和1.8倍，尤其適用于低頻環境；Wang等[6]設計了一種截面厚度變化的懸臂梁，通過有限元仿真表明，受力時梁表面應變較傳統直梁更大、更均勻，均勻的應變有利于減小壓電材料電荷流動能量的耗散，實驗表明這種梁可以較直梁提高78%能量收集效率。

以上研究表明通過結構優化可以改善俘能器俘能性能。為拓寬俘能器工作頻帶，進一步提高能量收集效率，在懸臂梁結構中引入磁力非線性以拓頻受到廣泛研究。Erturk等[7]通過實驗證明了磁力耦合非線性可以引起雙穩態高能阱間振動，從而提高能量收集器收集性能；在簡諧激勵條件下，Zhou等[8]驗證了雙穩態壓電俘能器的多解范圍與寬頻特性；張旭輝等[9]設計了一種復合梁式雙穩態振動能量收集器，實驗表明磁力耦合作用下俘能器有效帶寬是無磁力作用下帶寬的3.1倍；Zhao等[10]在隨機激勵條件下，通過比較分析證明了雙穩態能量收集器性能優于單穩態收集器；Fang等[11]在脈沖激勵條件下，證明具有磁力耦合雙穩態特性的能量收集裝置較線性結構可以提高22.9%的功率輸出。

以上研究表明改善懸臂梁結構與構建雙穩態俘能器均有助于提高壓電俘能器能量收集性能，而當前的雙穩態壓電俘能器研究仍多采用直梁結構，為此，設計了基于拱形-線形梁結構磁力耦合雙穩態能量采集器。利用廣義擴展Hamilton原理建立了其動力學模型,揭示不同磁距、激勵條件等對能量采集器振動特性影響關系并進行驗證，最后通過實驗驗證了拱形-線形結構較直梁結構俘能器的優越性。

1 結構模型

1.1 拱形-線形壓電俘能器結構

拱形-線形壓電俘能器總體結構如圖1所示，其主要由基座、拱形-線形懸臂梁、磁塊A與磁塊B、壓電材料(PVDF)所構成。不同于傳統直梁式壓電懸臂梁，拱形-線形壓電俘能器采用半徑R的圓弧狀曲梁與直梁組合結構。壓電俘能器總體呈拱形-線形狀，壓電材料粘貼于懸臂梁拱形部分表面，懸臂梁自由端磁塊B與固定于基座磁塊A保持磁力相斥關系。懸臂梁在上下振動過程中，受曲梁結構曲率變化的影響，會產生非線性恢復力，同時，磁塊A與磁塊B適當間距會使系統呈雙穩態特性，這將有利于拓寬壓電俘能器有效工作頻帶，提高俘能性能。

圖1 拱形-線形壓電俘能器結構圖Fig.1 Structural diagram of the ALEH

1.2 數學建模

為建立拱形-線形壓電俘能器力-電-磁耦合動力學模型，本文采用廣義Hamilton變分原理

(1)

式中:δ為變分符號;Tk為壓電俘能器系統動能;U為系統勢能;We為壓電材料(PVDF)電能;Wnc為系統非保守力虛功;Um為兩磁鐵間磁力勢能。

系統動能Tk可以表示為

Tk=T1+T2+T3

(2)

式中：T1表示拱形-線性壓電俘能器金屬基體層動能;T2表示壓電片動能;T3表示自由端磁鐵質量塊B動能。故相應表達式如下

(3)

式中:u(x,t)為懸臂梁橫向位移;Vp、Vs分別為壓電層體積與金屬基體層體積;m0為磁鐵質量塊B質量。根據壓電材料能量轉換方式及本構方程，壓電材料電能We可表示為

(4)

系統非保守力虛功Wnc的變分δWnc可表示為

(5)

式中:m(x)為單位長度懸臂梁質量;z(t)為基座位移;Q為壓電元件表面電荷;v為有效電壓。

為建立拱形-線形壓電懸臂梁振動微分方程，應用Rayleigh-Ritz法將梁的橫向相對位移u(x,t)展開為離散形式

(6)

式中:i表示壓電懸臂梁的振動模態階數;φi(x)表示拱形-線形梁第i階彎曲模態振型函數;ri(t)表示第i個廣義模態坐標。由于拱形-線形壓電俘能器主要低頻、低幅環境振動能量的收集，其結構響應主要為一階模態，二階及以上模態的影響可以忽略。故僅考慮組合梁一階模態變形，這里，采用一端夾緊，一端自由懸臂梁容許函數近似拱形-線形梁一階振型函數[12]，故有：

(7)

結合以上等式，根據Euler-Bernoulli梁理論，Kirchhoff’s定律，拱形-線形壓電懸臂梁振動微分方程可表示為

(8)

(9)

式中：M為模態質量;C為模態阻尼;θ為機電耦合系數;Cp為壓電元件電容。其可以分別表示為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中,Frr、Fmr分別表示模態坐標下拱形-線形壓電懸臂梁自身結構非線性恢復力及由磁力引入產生的非線性磁力，將在下節討論確定。

1.2.1 磁力計算

準確的計算拱形-線形壓電俘能器中非線性磁力大小對于分析其振動特性尤為關鍵，當前對于非線性磁力的計算多采用磁偶極子法。磁偶極子法忽略磁塊尺寸對位姿的影響，將其看作一對磁偶點進行建模，該方法在兩磁塊間距相對于磁塊自身尺寸較大的場合可以獲得較好的建模精度，而當間距較小時，其計算結果與實際有較大誤差，Wang等[13]以實驗證明了該結論。介于文中兩磁塊磁距間隔較小、且需要調節距離。為獲得準確磁力模型，考慮磁塊尺寸對偏轉位置關系的影響，采用磁化電流法計算磁塊間磁力大小。磁化電流法理論依據為經典的電磁理論，其認為導磁材料在磁場中受到的力可歸結為分子電流所受的力，但由于磁場在導磁材料中分布復雜，直接采用該理論計算磁力比較困難，這里假定磁場在導磁材料區域中分布均勻，磁塊A、B空間位置示意圖如圖2所示。

圖2 磁力模型Fig.2 Magnetic field model

設磁塊A、B磁化強度大小分別為Ma,Mb,其長、寬、高分別為la、wa、ha及lb、wb、hb，懸臂梁長度為，以磁塊A中心為坐標原點建立坐標系，其磁化強度沿y方向，根據磁化電流理論，則其在空間中任意坐標點(x,y,z)處沿y軸產生的磁場強度可表示為[14]

(15)

其中：

(16)

(17)

則磁塊B受磁塊A產生沿x方向的磁力大小可表示為[15]

Fx=μ0MbS(Hy1-Hy2)

(18)

式中:μ0表示真空磁導率;S表示磁塊B的上(或下)表面面積;Hy1和Hy2分別表示磁塊A在磁塊B下表面和上表面中心處產生沿x軸方向上的磁場強度。

拱形-線形壓電俘能器在振動過程中，磁塊B沿x軸位置會不斷發生改變，且角度會發生偏轉，為確定磁塊B的坐標，記磁塊B下、上表面中心點分別為O1和O2，發生與水平方向呈φ角度的偏轉，由于懸臂梁剛度較大，通常偏轉角度較小，可認為∠φ=∠BOC，故可采用以下關系式確定O1和O2相應坐標，其分別為

(19)

(20)

則Fx可以表示為

(21)

由于磁化電流法磁力表達式較復雜，為便于動力學方程求解計算，采用多項式擬合方法將磁力Fm表示為關于位移u(L,t)的三次多項式，可得

Fm=c1u3(L,t)+c3u(L,t)

(22)

1.2.2 結構非線性恢復力的確定

拱形-線形壓電俘能器采用了拱形與直梁組合結構，振動過程中，不同于直梁結構呈線性恢復力，其在振動時曲梁部分曲率半徑會隨著振動方向的改變而發生變化，繼而產生自身結構非線性恢復力。

為確定拱形-線形壓電俘能器結構非線性恢復力，采用實驗測量后數據擬合方式獲取。將拱形-線形壓電俘能器曲梁端固定于基座，測力計(型號YLK-10)緩慢推動自由端，并記錄位移-恢復力數據，反復幾次測定后取其平均值，然后采用多項式擬合位移-恢復力關系，可得如下拱形-線形壓電俘能器結構非線性恢復力Fr與位移u(L,t)關系式

Fr=k1u3(L,t)+k2u2(L,t)+k3u(L,t)

(23)

式(23)中系數k1、k2、k3分別為29 186，-238，16。圖3是實驗數據擬合后拱形-線形壓電俘能器結構非線性恢復力Fr與位移u(L,t)的關系曲線。從圖3中可以看出，由于拱形-線形壓電俘能器曲梁結構的存在，使得結構自身恢復力與位移不再是線性關系，而是非線性關系，同時，位移-恢復力曲線并不是對稱曲線，說明俘能器在振動過程中正、反方向恢復力大小并不相同，這主要是由于振動方向改變導致曲梁曲率半徑變化不對稱所致。

圖3 拱形-線形壓電俘能器非線性恢復力曲線Fig.3 The nonlinear restoring force curve of arc-linear beam

1.3 勢能特性分析

結合以上分析，系統總勢能可表示為

U=Ur-Um

(24)

式中:U為系統總勢能;Ur為拱形-線形梁恢復力勢能;Um為磁力勢能。改變磁間距會影響磁力，從而影響拱形-線形壓電俘能器特性，不同磁距下系統總勢能圖如圖4所示，由圖可知，隨著磁距的減小，會形成2個明顯的勢阱，構成雙穩態壓電俘能器。而隨著距離的增大，勢阱深度變淺，當磁距大于16 mm后系統接近于單穩態系統。繼續增大磁距，超過18 mm后，磁力減弱，雙穩態消失，拱形-線形壓電俘能器退化非線性單穩態系統。故磁距d=16 mm時，系統呈雙穩態特性，且具有低的勢壘與勢阱，這意味相對于其它磁力位置，這一磁距條件下系統大幅阱間振動所需能量更小。同時，從勢能圖可以看出，拱形-線形壓電俘能器勢能與傳統雙穩態壓電俘能器形狀并不相同，勢能圖呈左高右低非對稱形狀，這主要是由于拱形-線形結構梁非對稱恢復力導致。

圖4 不同磁距條件下系統勢能曲線Fig.4 The potential curves of the system at different distances

2 靜力學對比分析

目前壓電俘能器研究中較多采用直梁為基體結構，直梁結構簡單，易于制造，但存在剛度大，應力、應變分布不均等缺點，這將影響壓電材料發電性能。為對比拱形-線形梁與直梁結構對壓電材料力學性能的影響，分別選取長度為40 mm，寬度8 mm拱形-線形梁與直梁，材料為鈹青銅，其中拱形-線形梁曲梁部分半徑為10 mm，其余參數均與直梁保持一致。長度32 mm，寬8 mm壓電材料(PVDF)，分別粘貼于拱形-線形梁曲梁部分與傳統直梁固定側表面。在其自由端施加0.5 N作用力，利用有限元軟件ANSYS分別對其進行靜力學分析，以對比同等作用力條件下，兩種懸臂梁上壓電材料(PVDF)表面應變關系。應變有限元計算結果如圖5所示，對比圖5(a)、(b)應變云圖可以發現，拱形結構中PVDF總能在較多的區域保持高的應變值。兩者應變值沿長度方向變化對比圖如圖6所示。

(a) 直梁結構PVDF應變分布圖

從圖6可以看出:壓電材料最大應變均出現在固定端，直梁壓電材料最大應變稍高于曲梁壓電材料應變，前者沿長度方向呈線性急劇下降，這符合材料力學理論結果，最小值低于后者；由于拱形結構的影響，后者沿長度方向下降較為平緩，平均應變高于前者。這表明貼于拱形-線形梁上壓電片平均應變更大，更加均勻。而大的平均應變有利于產生大的電壓輸出，均勻的應變可以減少壓電材料電荷從高應變區向低應變區流動所需的能量消耗，有利于提高壓電材料電壓輸出和能量轉換效率[16]。故利用拱形-線形結構梁拱形特殊的應變分布有利于獲得高的電壓，提高俘能效率。

圖6 拱形-線形梁與直梁上PVDF沿長度方向應變分布對比圖Fig.6 Comparison of strain distribution of PVDF along length for the arc-linear beam and the straight beam

3 系統動力學分析

結合式(6)、(7)，可以由非線性磁力Fm與結構非線性恢復力Fr表達式，推導出模態坐標下壓電俘能器末端磁力Fmr與非線性恢復力Frr表達式，代入動力學方程(8)中，即可得到拱形-線形非線性磁力耦合壓電俘能器動力學方程，故動力學方程可表示為

(25)

(26)

r(t)=r0(t)+r1(t)sin(ωt)+r2(t)cos(ωt)

(27)

v(t)=v1(t)sin(ωt)+v2(t)cos(ωt)

(28)

式中，r0(t)表示系統的穩態平衡位置，r表示穩態位移幅值，其可以由下式確定

(29)

將式(27)、(28)代入系統動力學方程，令方程兩邊常數項、cos(ωt)及sin(ωt)系數相同，并忽略高次諧波項，可得以下等式

(30)

(k3-c3)r1-θv1=0

(31)

(k3-c3)r2-θv2=-HsA

(32)

(33)

(34)

在穩態響應時，以上式中所有關于時間導數項均為零，由此，穩態位移與電壓響應可分別由式(35)、(36)計算確定。

(35)

(36)

諧波平衡解既包括穩定解，也含有不穩定解，穩定解可以在實驗或數字仿真中實現，而不穩定解無法通過實驗獲取，穩定解判斷可以通過系統動力學方程雅克比矩陣進行判斷。

根據勢能分析結果與上述求解分析，取磁間距d=16 mm，選擇加速度幅值A=[0.5g,1.0g,1.5g]，分析不同激勵條件對系統響應特性的影響關系。系統頻響曲線如圖7所示，其中圖7(a)為不同激勵強度下末端位移-頻率響應曲線，圖7(b)為不同激勵強度下穩態電壓(開路)-頻率響應曲線。由于非線性動力學方程在一定頻帶范圍，系統會出現多解特征，圖中實線表示穩定解，虛線表示不穩定解。實現大幅阱間振蕩最有利于提升發電性能，故主要針對系統大幅響應進行分析，圖7(a)中位移r>8 mm時，系統作大幅阱間振動，相應地圖7(b)中電壓v>20 V時，系統作高能輸出狀態。對比圖7(a)、7(b)可知，在同等激勵強度下，系統大幅阱間振動位移與高能輸出電壓均隨頻率的增大而增大，系統大幅阱間振動與高能電壓輸出幅值與帶寬變化規律具有一致性，即系統大幅阱間振動頻帶也即高能電壓輸出頻帶。這是由于系統大幅阱間振動時位移增大，致使拱形-線形懸臂梁變形增大，相應的壓電材料形變變大，則產生大的電壓輸出。

由圖7(a)不同激勵強度下末端位移-頻率響應曲線可知，當加速度幅值A=0.5g時，系統大幅阱間振動響應頻率在7.2 Hz以下，其大幅響應位移最大值為11.3 mm，由圖7(b)可知，相應的電壓幅值約為29.4 V；當激勵幅值為1.0g時，系統大幅阱間響應頻率增至11.1 Hz，其大幅響應位移最大值增至15.4 mm，由圖7(b)可知，相應的電壓幅值約為37.8 V；進一步增大激勵幅值至1.5g,系統大幅阱間響應頻率增至14.2 Hz，其大幅響應位移最大值增至17.3 mm，由圖7(b)可知，相應的開路電壓幅值約為44.8 V；

A=0.5g

從圖7(a)中還可以看出，激勵幅值不僅影響大幅阱間振動帶寬與幅值，同時還影響小幅阱內振動帶寬與幅值，當激勵增至1.0g后，小幅阱內振動帶寬變短，系統在低頻出現穩定高能解；繼續增大激勵幅值至1.5g，小幅阱內振動帶寬則進一步變窄，穩定高能解帶寬由3.0 Hz增至5.8 Hz。隨著激勵頻率增大，由于需要更大能量維持穩定高能解，在不增加激勵幅值條件下，系統又處于高、低能量共存狀態，直至無高能解。

從以上分析可知，外界激勵水平是影響雙穩態壓電俘能器大幅響應帶寬與幅值的重要因素。同時，由于磁距d的變化將影響非線性磁力的大小，會對系統響應特性構成影響。且磁距d便于調節，故掌握磁距變化對系統響應特性的影響關系具有重要工程價值。

取激勵水平A=1.5g，選取不同磁距d=[12 mm,16 mm],研究同一激勵水平下磁距變化對壓電俘能器響應特性影響關系。不同磁距條件系統頻率響應曲線圖8所示，圖8(a)為不同磁距條件位移-頻率響應曲線；圖8(b)為不同磁距條件穩態電壓(開路)-頻率響應曲線。由圖8(a)可知，當磁距d=12 mm時，系統大幅響應帶寬為15.2 Hz，位移幅值為16.4 mm，如圖8(b)所示，此時相應電壓輸出幅值為42.1 V；當磁距增至16 mm后，由圖8(a)可知，系統大幅響應帶寬降至14.2 Hz，位移幅值為17.3 mm，如圖8(b)所示，此時相應電壓輸出幅值為44.8 V；這表明系統磁距增加后，減小了拱形-線形雙穩態壓電俘能器大幅阱間振動帶寬，但大幅振動位移幅值和穩態電壓幅值有所增加。這主要是由于磁距增加后，磁力減弱，勢阱變淺，在同一激勵條件下，系統可能突破勢阱限制，形成更大的振幅所致；而在小磁距作用下，系統難以突破兩側深的勢阱形成更大的振幅。對比圖8(a)、(b)不同磁距系統頻率響應曲線還可以看出，磁距變化對大幅阱間振動軌道高度有著顯著影響，磁距由12 mm增至16 mm后，大幅阱間振動軌道高度從13.5 mm降至10.6 mm，這是由于小的磁鐵間距會產生大的非線性磁斥力，使勢阱距離平衡點距離變遠，拱形-線形雙穩態壓電俘能器勢阱寬度變寬所致。

d=12 mm

以上表明磁間距對于拱形-線形雙穩態壓電俘能器響應特性有顯著影響，適當減小磁距可以拓寬系統大幅響應頻帶，有利于增大系統平均輸出電壓。但過低的磁距會形成大的勢壘高度，克服勢壘則需要大的系統能量或外部作用力，從而在實際中難以實現雙穩態大幅阱間振動。故磁距的選擇需與外部激勵水平及條件綜合考慮確定。

進一步增大磁距，磁力減小，此時系統接近于無磁力狀態，由于拱形-線形雙穩態壓電俘能器不同于線形直梁，由前述分析可知，其自身結構呈非線性恢復力，令動力學方程中c1、c3系數為零，改變不同激勵條件，以分析拱形-線形壓電俘能器結構非線性恢復力對頻率響應曲線影響關系。無磁力條件下位移-頻率響應曲線如圖9所示，由圖9可知，隨著激勵頻率的增加，無磁力狀態下的拱形-線形壓電俘能器頻響曲線向右傾斜，呈現硬特性，且隨著激勵強度增加，硬特性越明顯。

圖9 無磁力條件下系統頻率響應曲線Fig.9 The frequency response curve of the system at nonmagnet condition

4 實驗驗證

為驗證拱形-線形雙穩態壓電俘能器理論分析的正確性，搭建拱形-線形雙穩態壓電俘能器實驗平臺進行實驗驗證，實驗裝置如圖10(a)所示，主要包括：計算機、主控制器、功率放大器、振動臺、示波器、基座、拱形-線形壓電能量采集器等組成。拱形-線形壓電能量采集器由拱形-線形梁、壓電薄膜PVDF及磁鐵質量塊(尺寸10 mm×10 mm×5 mm)組成。拱形半徑10 mm，線形梁長度20 mm，寬度8 mm，厚度0.2 mm，梁材質為鈹青銅，單層PVDF壓電薄膜沿拱形-線形梁拱形部分貼合，PVDF長度為32 mm，寬度8 mm，厚度0.11 mm。為便于與傳統直梁對比，制作長度40 mm直梁壓電俘能器，其余參數值與拱形-線形壓電能量采集器保持一致，兩者結構如圖10(b)所示。拱形-線形壓電能量采集器一端固定于基座，另一端保持自由，自由端磁鐵塊與固定于基座永磁鐵形成斥力關系，計算機與主控制相連用于信號控制與數據處理，信號發生器產生正弦信號，通過功率放大器激勵振動臺作正弦運動，能量采集器輸出電壓通過示波器采集獲取，實驗過程中，可以通過調節基座螺栓以改變兩磁鐵塊間距離。

(a) 實驗裝置

首先調節磁鐵間距d=16 mm，選取激勵頻率范圍為10～20 Hz，分別選取激勵水平為0.5g、1.0g、1.5g進行掃頻實驗，以驗證不同激勵條件對拱形-線形壓電能量采集器響應特性的影響關系，拱形-線形壓電能量采集器掃頻輸出電壓如圖11所示。

從圖11可以看出，當激勵水平A=0.5g時，系統未出現大幅響應輸出；當激勵水平A=1.0g時，系統高能電壓輸出幅值為34.3 V，大幅響應最大頻率為13.2 Hz，相應仿真結果電壓幅值為37.8 V，頻率為11.1 Hz；當激勵水平A=1.5g時，高能電壓輸出幅值為39.5 V，大幅響應最大頻率為13.8 Hz，相應仿真結果電壓幅值為44.8 V，頻率為14.2 Hz。

圖11 不同激勵強度下掃頻電壓輸出圖Fig.11 The sweep voltage diagram with different excitation intensity

實驗結果表明：同一激勵水平下，大幅響應電壓輸出隨頻率增大而增大；激勵幅值增大，拱形-線形壓電能量采集器高能輸出電壓帶寬變寬，電壓幅值隨之增大,實驗結果與理論分析結果定性吻合。

為驗證不同磁間距對系統響應性能的影響，取激勵水平A=1.5g，分別調節磁距d=12 mm與d=16 mm進行掃頻(頻率范圍10～20 Hz)實驗，不同磁距下能量采集器掃頻電壓輸出如圖12所示。

從圖12中可以看出，電壓輸出隨著激勵頻率的增大而逐漸增大。當磁距d=12 mm時，其電壓輸出幅值為35.2 V，相應仿真值為42.1 V；磁距增加至16 mm后，電壓輸出幅值為39.5 V，相應仿真值為44.8 V。實驗表明：磁距增大后，電壓輸出幅值增大；同時，系統大幅響應的帶寬有所減少。

圖12 不同磁距條件掃頻電壓輸出圖Fig.12 The sweep voltage diagram at different magnetic distance

以上實驗結果與理論定性吻合，但定量上存在誤差。誤差主要由于拱形-線形梁振動過程中存在軸向變形，且相對于傳統直梁軸向變形位移較大，這會影響磁鐵間水平間距，使磁力理論計算與實際值間構成誤差，從而影響模型預測精度；其次，壓電材料與拱形部分間貼合材料與貼合狀況也會對系統發電性能產生影響。

調節控制器輸出信號，改變激勵水平A=1.0g,對移除基座磁鐵與有磁鐵(d=16 mm)拱形-線形壓電能量采集器進行掃頻實驗，以比較有、無磁鐵對壓電俘能器響應特性影響關系，系統掃頻電壓輸出對比如圖13所示，從圖中可以看出，無磁鐵時拱形-線形壓電能量采集器大幅響應頻帶較窄，約為1 Hz，而施加磁力后壓電俘能器大幅響應帶寬變寬，約為3 Hz，這表明磁力耦合壓電俘能器具有拓頻作用。同時可以看出，無磁鐵時拱形-線形壓電俘能器峰值(諧振)電壓曲線與傳統直梁不一致，兩側明顯不對稱。左側隨著激勵頻率增大，電壓輸出逐漸增大，增至最大值約41.6 V后，急劇下降為10 V以下，這主要是由于拱形-線形壓電俘能器非線性恢復力導致的硬特性所致。實驗結果與無磁力條件下拱形-線形梁頻率響應特性理論分析定性吻合。

圖13 磁力耦合與無磁鐵系統掃頻電壓比較Fig.13 Comparison of frequency-swept output voltage between the ALEH and the non-magnetic system

為比較拱形-線形壓電俘能器與傳統直梁壓電俘能器發電性能，選用直梁長度40 mm，PVDF長度32 mm，自由端質量塊相同，在A=1.0g激勵水平下執行掃頻(10～20 Hz)實驗。兩者電壓輸出響應如圖14所示，從圖中可以看出，同等激勵條件下，兩者峰值電壓分別為41.6 V、24.1 V，拱形-線形壓電俘能器幅值電壓約為直梁輸出電壓1.7倍，拱形-線形壓電俘能器諧振頻率約11.6 Hz，直梁約為17 Hz，這表明拱形-線形梁壓電俘能器具有更低的諧振頻率。

(a) 拱形-線形俘能器掃頻電壓

保持激勵條件1.0g不改變，拱形-線形梁、直梁俘能器不同阻值條件下，在各自諧振頻率處進行定頻實驗，其電壓輸出比較圖如圖15所示。從圖中可以看出，在不同阻值條件下，拱形-線形壓電俘能器電壓輸出曲線總位于傳統直梁電壓曲線上方，這表明同等外界條件下，拱形-線形壓電俘能器輸出電壓總高于直梁。

圖15 不同阻值條件下拱形-線形梁、直梁俘能器電壓輸出比較圖Fig.15 Comparison of output voltage versus different resistance obtained from the arc-linear harvester and the straight beam harvester

為進一步比較磁力耦合作用下拱形-線形雙穩態壓電俘能器與傳統直梁壓電俘能器發電性能，保持激勵水平不變，在各自雙穩態臨界磁距條件下(拱形-線形梁磁距為16 mm，直梁磁距為14 mm)，作掃頻(10～20 Hz)電壓(開路條件)發電性能實驗，對比結果如圖16所示。

由于目前暫無評價壓電俘能器輸出性能統一標準，從圖16中可以看出，在同等激勵條件下，若取10 V為有效輸出電壓，拱形-線形壓電俘能器與直梁結構俘能器有效工作頻帶均約為3.2 Hz；但前者峰值電壓為34.3 V，而后者峰值輸出電壓為25.1 V，前者峰值電壓約是后者1.3倍；且拱形-線形壓電俘能器超出20 V電壓帶寬為1 Hz，而直梁結構僅為0.3 Hz，實驗表明拱形-線形壓電俘能器特殊的結構對俘能特性有顯著影響，相對于傳統直梁雙穩態壓電俘能器，拱形-線形壓電俘能器在不減少大幅響應帶寬情況下，可以獲得更大的平均輸出電壓，提升了俘能性能。同時，雙穩態拱形-線形壓電俘能器大幅響應頻率帶更靠近低頻區域，也更適合于低頻環境應用。

圖16 雙穩態拱形-線形壓電俘能器與雙穩態直梁壓電俘能器掃頻電壓輸出比較圖Fig.16 Comparison of frequency-swept output voltage between the ALEH and the bistable straight harvester

5 結 論

本文設計了基于拱形-線形結構梁磁力耦合雙穩態壓電俘能器，基于Hamilton變分原理建立了系統的動力學方程，利用諧波平衡法對動力學方程進行求解，分析了不同磁距、不同激勵條件等對拱形-線形磁力耦合雙穩態壓電俘能器俘能特性的影響關系，通過實驗驗證了理論分析結果的正確性，對比了拱形-線形結構梁與傳統直梁式俘能器發電性能，主要有以下結論：

(1) 磁力引入可以構建拱形-線形結構梁雙穩態壓電俘能器，減小磁距將增加大幅響應帶寬，有利于系統在更寬頻帶俘能，但大幅響應幅值有所減少。同時，小的磁距會產生大的勢壘高度，需要足夠的激勵水平或外部作用力以實現大幅響應，故磁距選擇應充分結合激勵水平與外部條件。

(2) 拱形-線形磁力耦合雙穩態壓電俘能器在磁距一定條件下，激勵水平對俘能性能的影響規律總體保持一致，即隨著激勵水平的增加，俘能器大幅位移響應帶寬與響應幅值均增大，這將使系統在更寬的頻帶獲得大的電壓輸出。

(3) 拱形-線形結構梁較傳統直梁有更低的諧振頻率，應變分布較直梁更大、均勻。同等激勵，在不減小大幅響應帶寬條件下，拱形-線形磁力耦合雙穩態俘能器可獲得較直梁結構俘能器更高的平均輸出電壓；故將拱形-線形梁結構引入非線性壓電俘能器有助于提高傳統直梁俘能性能。同時，還可將該結構應用于其它多穩態或多方向能量收集裝置，以提高傳統收集裝置性能。