T型裂紋梁的自振特性分析

張 姍，周 叮，韓慧璇，張建東，胡朝斌

(1. 南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816；2. 江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，鎮(zhèn)江 212000)

工程實際中，結(jié)構(gòu)長期承受不規(guī)則荷載作用，導(dǎo)致梁式構(gòu)件帶裂紋工作。裂紋的存在成為結(jié)構(gòu)安全的一大隱患，裂紋會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度的降低，不僅會影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，甚至可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體性破壞(如梁板開裂、橋面斷裂等)。T型梁作為實際工程一種常見的結(jié)構(gòu)，分析裂紋對其動力學(xué)特性的影響，對結(jié)構(gòu)的安全性具有重要意義。

國內(nèi)外一些學(xué)者對裂紋梁的損傷展開了研究。Chondros等[1]基于一維裂紋梁理論，提出一種求解裂紋梁動力特性的雙線性方法，對含呼吸裂紋簡支梁的橫向振動進行了分析。Chondros等[2]進一步基于斷裂力學(xué)理論，將裂紋影響等效為連續(xù)變化的梁柔度，提出了一種求解裂紋梁振動的方法。Kim等[3]利用彈簧模擬梁的任意邊界條件，用柔度系數(shù)的逆表示裂紋處的連續(xù)剛度。吳寧祥等[4]建立集中柔度模型，利用無質(zhì)量彈性鉸模擬裂紋引起的局部柔度變化，分析了Eluer梁的裂紋無效位置點。張煒等[5]采用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧，結(jié)合遞推法求解了各種邊界條件下含任意條裂紋的梁的振動特性。Ricci等[6]使用線彈簧代替裂紋，利用裂紋尖端奇異應(yīng)力分布計算裂紋的強度因子，采用動剛度矩陣法研究了含裂紋T型梁的彎扭耦合振動。Zeng等[7]利用有限元法，對含不同類型裂紋的懸臂梁進行了動力特性分析。馬輝等[8]進一步基于有限元法，分析了含斜裂紋懸臂梁的非線性振動特性。蔣杰等[9-10]基于能量法，利用Ritz法研究了端部含裂紋懸臂梁的振動特性。楊鄂川等[11]基于等效剛度法建立裂紋梁分析模型，用求解變截面梁振動的半解析法分析了含裂紋Timoshenko梁的振動特性。Lee等[12]采用邊界元法求解了裂紋梁的固有頻率，利用牛頓迭代法分析了裂紋位置、裂紋深度的影響。Zhang等[13]采用修正傅里葉級數(shù)法對含多個橫向裂紋的Timoshenko梁進行了研究，將求解裂紋梁的固有頻率轉(zhuǎn)化為一標(biāo)準(zhǔn)的線性特征方程問題。上述研究大多是基于Euler梁理論或Timoshenko梁理論對矩形截面梁進行分析，尚未見有對含裂紋的T型截面梁進行研究。

為獲取精確的動力學(xué)解，本文基于彈性力學(xué)理論分析T型梁的自振特性。利用轉(zhuǎn)化截面法，將T型梁等效為具有不同材料性能的兩層矩形截面梁，并將等效后的裂紋矩形梁劃分為四個子域，通過Chebyshev-Ritz[14]法分別求得各子域的特征方程，再由各子域?qū)娱g交界處的位移連續(xù)條件得到等效后的T型裂紋梁的總體特征方程。

1 T型裂紋梁模型

1.1 簡化T型梁模型

如圖1所示，利用轉(zhuǎn)換截面法，根據(jù)應(yīng)變相同且總內(nèi)力不變原則，將T型梁翼緣折算成與腹板寬度一致的矩形截面。即等效前后翼緣的拉壓剛度EA和彎曲剛度EI均保持不變，翼緣等效前后彈性模量關(guān)系滿足

(1)

(1) 原截面

式中：E為等效前T型梁的彈性模量;E1為翼緣等效后的彈性模量;b、b1分別為腹板和翼緣的寬度。

在對結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)分析時，考慮慣性力的因素，需對T型梁翼緣的材料密度也進行等效，保證等效前后翼緣質(zhì)量不變，即：

(2)

式中：ρ為等效前T型梁的材料密度;ρ1為等效后T型梁翼緣的材料密度。

1.2 T型裂紋梁的分析模型

考慮開口型裂紋，即在荷載作用下梁底部的裂紋不閉合。等效的T型裂紋梁被離散為四個子域，如圖2所示。建立直角坐標(biāo)系，分別對每段子域進行獨立分析。假設(shè)含單裂紋T型梁長l，高h，腹板寬b，T型梁翼緣厚度為h1,寬為b1，梁底端l3處有一開口裂紋，深度為h3，梁腹板上表面至裂紋尖端距離為h2。梁的材料屬性分別為：泊松比為μ，子域q(q=1,2,3,4)的彈性模量為Eq，子域q的材料密度為ρq。

圖2 含單裂紋T型梁子域模型Fig.2 T-beam sub-domains model with single crack

2 子域分析

2.1 子域能量表達式

基于精確的二維彈性力學(xué)理論，對于平面應(yīng)力問題，子域q的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足

(3)

相應(yīng)地，由幾何方程，子域q的應(yīng)變-位移關(guān)系滿足

(4)

各子域的應(yīng)變能Vq、動能Tq可表示為

(5)

(6)

式中：t為時間；lq和hq分別為子域q的長度與高度。

2.2 子域自由振動方程

為簡化計算，對笛卡爾坐標(biāo)進行無量綱化處理，即令：

(7)

根據(jù)分離變量法，子域q的自由振動位移方程可表達為振型函數(shù)與時間函數(shù)乘積的形式，即：

uq(x,z,t)=Uq(ξq,ζq)ejωt,

wq(x,z,t)=Wq(ξq,ζq)ejωt

(8)

將式(8)代入式(5)、(6)中，可分別得到子域q的最大彈性應(yīng)變能Vmax,q和最大動能Tmax,q，分別為：

(9)

(10)

式中，λq=hq/lq。

在Ritz法中，構(gòu)造Uq、Vq合適的試函數(shù)是非常重要的，不同形式的試函數(shù)，其準(zhǔn)確性和收斂性是不同的。Chebyshev多項式的正交完備性可保證構(gòu)造的試函數(shù)獲得高收斂性的Ritz解[9-10]，故本文將各子域的試函數(shù)表示為幾何邊界特征函數(shù)與第一類Chebyshev多項式乘積的形式，利用邊界特征函數(shù)分量來滿足邊界約束條件。即子域q的位移函數(shù)可表示為

Uq(ξq,ζq)=

Wq(ξq,ζq)=

(11)

Ps(χ)=cos[(s-1)arccos(χ)]

(s=1,2,3…)

(12)

為確保位移函數(shù)式(8)滿足結(jié)構(gòu)的幾何邊界條件，需尋找相應(yīng)的邊界特征函數(shù)。表1給出了幾種經(jīng)典邊界條件下邊界特征函數(shù)分量的表達式。

表1 經(jīng)典邊界條件下邊界特征函數(shù)分量Tab.1 The characteristic boundary function components of various classical boundary conditions

2.3 子域振動特征方程

利用Ritz法建立子域q的振動特征方程。由最小勢能原理，滿足位移邊界條件的各種狀態(tài)中，真實位移需使結(jié)構(gòu)的總勢能取極小值。因此，對未知系數(shù)Aij,q、Bmn,q求極值，導(dǎo)出子域q的振動特征方程。

子域q的能量泛函Πq為

Πq=Vmax,q-Tmax,q

(13)

要求最小泛函有

(14)

將式(9)、(10)代入式(13)、(14)中，得子域q的振動特征方程

([Kq]-Ω2[Mq]){Xq}=0

(15)

式中：Ω為無量綱固有頻率；[Kq]和[Mq]分別為子域q的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；{Xq}為Aij,q、Bmn,q構(gòu)成的列向量。式(15)中

(16)

(17)

(18)

(19)

{Aq}=

{A11,qA12,q…A21,qA22,q…Ai1,q…Aij,q}T

(20)

{Bq}=

{B11,qB12,q…B21,qB22,q…Bi1,q…Bij,q}T

(21)

矩陣元素為

(22)

其中，

γq=hqlq/hl

(23)

3 T型裂紋梁的自振特征方程

將各子域剛度矩陣、質(zhì)量矩陣進行總合得到整個梁的振動特征方程，其表達式為

([K]-Ω2[M]){X}=0

(24)

其中，

(25)

(26)

(27)

由切比雪夫多項式性質(zhì)，可知：

Pn(1)=1,Pn(-1)=(-1)n-1

(28)

(29)

考慮相鄰子域界面處的位移相等，故子域1與子域2，子域2與子域3、4在界面上有如下關(guān)系式

U1(ξ1,-1)=U2(ξ2,1),W1(ξ1,-1)=W2(ξ2,1),

U2(ξ2,-1)=U3(ξ3,1),W2(ξ2,-1)=W3(ξ3,1),

U2(ξ2,-1)=U4(ξ4,1),U2(ξ2,-1)=U4(ξ4,1),

ξ2=ξ1,-1≤ξ1≤1

(30)

將位移函數(shù)式(11)代入式(30)，作切比雪夫多項式展開，得到：

(31)

其中，

(32)

(33)

將式(33)代入式(24)，消去因位移連續(xù)性導(dǎo)致的未知系數(shù)線性組合后，T型裂紋梁特征方程轉(zhuǎn)化為

(34)

4 算例分析

對兩端固支含裂紋T型梁的振動特性進行分析。梁材料性能參數(shù)取值為：彈性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.3，翼緣寬度與梁高b1=h=0.5 m，腹板寬b=0.25 m，翼緣厚度與梁高比h1/h=0.2。

4.1 收斂性分析

考慮裂紋深度為h3/h=0.2，裂紋位于跨中(l3/l=0.5)，研究不同高跨比(h/l=0.1、0.25、0.5)和不同級數(shù)項下T型裂紋梁前8階無量綱頻率參數(shù)Ω的收斂性。為簡便起見，各子域位移函數(shù)Uq,Wq(q=1,2,3,4)選取相同數(shù)量的級數(shù)項，計算結(jié)果如表2所示。

表2 不同級數(shù)項下兩端固支T型梁無量綱頻率參數(shù)Ω的收斂性Tab.2 Convergence of non-dimensional frequency parameters Ω of fixed at two ends T-beam in term of different series terms

由表2可見，結(jié)構(gòu)無量綱頻率參數(shù)隨著級數(shù)項的增加而減小，級數(shù)項在坐標(biāo)x方向?qū)︻l率參數(shù)的影響遠大于z方向上的級數(shù)項，這說明梁在厚度方向的級數(shù)項對結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)的影響相對較小。當(dāng)項數(shù)級達到50×10時，頻率參數(shù)的精度可達到三位有效位數(shù)。

從表2可以看出，隨著結(jié)構(gòu)高跨比的增大，梁各階無量綱頻率參數(shù)隨之增加。

4.2 有限元解比較

為驗證本文方法的正確性，將本文解與等效前后兩模型的有限元ANSYS解進行比較。等效前原裂紋梁選用8節(jié)點SOLID185單元進行模擬，共計97 890個單元；等效后的裂紋梁選用PLANE183單元進行模擬，劃分為6 250個單元。對比分析高跨比為h/l=0.1，裂紋位于跨中(l3/l=0.5)，不同裂紋深度(h3/h=0.2、0.4、0.6、0.8)下，裂紋梁的前3階無量綱頻率參數(shù)值，如表3所示。從表3可知，本文解與有限元解之間的相對誤差具有良好的吻合性，與等效前比，最大誤差為5.64%(0.165 5對0.175 4)；與等效后比，最大誤差僅為0.71%(0.493 1對0.496 6)，證明轉(zhuǎn)換截面模型保持了較好的準(zhǔn)確性。

表3 固支裂紋梁本文解與等效前后有限元解的對比 (h/l=0.1,l3/l=0.5)Tab.3 Comparison of present solutions and FE solutions equivalent for fixed cracked beam

4.3 裂紋深度及裂紋位置對振動模態(tài)的影響

4.3.1 裂紋深度及裂紋位置對固有頻率的影響

計算高跨比為0.1的T型裂紋梁在不同裂紋參數(shù)下的無量綱頻率，分析裂紋參數(shù)對固有頻率的影響。

從圖3可知，裂紋梁固有頻率隨裂紋深度的增加而下降。當(dāng)裂紋位于跨中(l3/l=0.5)時，一階固有頻率隨裂紋深度增加下降明顯，二階固有頻率隨裂紋深度變化較小；當(dāng)裂紋位于0.2l及0.8l時，裂紋對一階固有頻率的影響較小；裂紋位于0.3l及0.7l時，二階固有頻率隨裂紋深度增加下降明顯。

4.3.2 裂紋深度及裂紋位置對振型的影響

計算高跨比為0.1時，不同裂紋參數(shù)下T型裂紋梁與無裂紋梁上下表面的豎向位移(W)，圖4給出了裂紋位于跨中時，不同裂紋深度(h3/h=0、0.2、0.5、0.8)下梁的前兩階振型，圖5給出了裂紋深度為h3/h=0.5，不同裂紋位置(l3/l=0.1、0.3、0.5)下梁的前兩階振型，其中，TS表示裂紋梁上表面的振型；LS表示裂紋梁下表面的振型。

(a) 一階頻率

(a) 一階振型

(a) 一階振型

由圖4可知，裂紋會增大梁上下表面振型的差異；裂紋梁的振幅隨裂紋加深而增大，當(dāng)裂紋位于跨中時對二階振型的影響很小。由圖5可知，裂紋位置對振型有影響，在其裂紋附近，振型會發(fā)生較為明顯的改變。

5 結(jié) 論

本文基于二維彈性力學(xué)理論，利用Chebyshev-Ritz法研究含裂紋T型梁的自振特性，分析了裂紋參數(shù)(裂紋深度、裂紋位置)對T型裂紋梁振動特性的影響。與有限元計算結(jié)果對比吻合良好。研究數(shù)據(jù)表明：

(1) 裂縫的出現(xiàn)會導(dǎo)致梁各階自振頻率降低和各階振型增大。

(2) 不同位置裂紋對T型梁振動特性的影響不相同，當(dāng)裂紋位于跨中時，裂紋深度對一階頻率的影響最大，對二階頻率的影響不明顯。

(3) 梁的振型在裂紋附近變化較為明顯。