降低GFDM 峰均功率比的低復(fù)雜度算法

蔡建輝，李光球，沈靜潔

（杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

1 引言

廣義頻分復(fù)用（generalize2 frequency 2ivision multiplexing，GFDM）是一種靈活的多載波調(diào)制方案，具有較小的帶外輻射、較低的時延、較高的頻譜效率以及無須嚴(yán)格時間同步等優(yōu)點，非常適用于物聯(lián)網(wǎng)、觸覺互聯(lián)網(wǎng)和工業(yè)自動化等領(lǐng)域應(yīng)用[1-4]。但是，GFDM 存在峰均功率比（peak to average power ratio，PAPR）較高的問題[5]，需要采取措施加以解決。

降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的方法大致可分為信號預(yù)畸變和信號非畸變兩類。信號預(yù)畸變類包括限幅法[6]、分段非線性壓縮技術(shù)[7]、改進型壓擴技術(shù)[8]、多項式壓擴技術(shù)[9]等。非畸變類包括預(yù)編碼算法[10-12]、選擇映射（selecte2 mapping，SLM）法[13]、部分序列傳輸法[14]、隨機分配濾波器算法[15]等，其中預(yù)編碼算法和SLM 算法較為常用。

預(yù)編碼算法是通過降低信號的非周期相關(guān)性來降低系統(tǒng)的PAPR[12]，參考文獻(xiàn)[10-12]分別提出用沃爾什－哈達(dá)瑪變換（Walsh-Ha2amar2 transform，WHT）、加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換、離散哈特萊變換等來降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR。SLM算法是將隨機產(chǎn)生的多個相位序列與經(jīng)過星座映射的頻域信號進行點乘，之后經(jīng)GFDM 調(diào)制，選擇時域信號中PAPR 最小的GFDM 信號進行傳輸[13]。參考文獻(xiàn)[13]通過引入相位旋轉(zhuǎn)矩陣提出了修正的SLM 算法，其設(shè)計思想是要獲得更多的GFDM 時域備選信號以降低GFDM 的PAPR。受上述設(shè)計思想的啟發(fā)，若將預(yù)編碼和SLM 算法聯(lián)合應(yīng)用于GFDM 系統(tǒng)，則預(yù)期可降低GFDM 的PAPR，為此需要求解串聯(lián)的WHT 和離散傅里葉逆變換（inverse 2iscrete Fourier transform，IDFT）。參考文獻(xiàn)[16]提出了正交頻分復(fù)用（orthogonal frequency 2ivision multiplexing，OFDM）系統(tǒng)中可用T 變換實現(xiàn)串聯(lián)的WHT 和IDFT 以降低其PAPR 和實現(xiàn)復(fù)雜度，本文將之推廣應(yīng)用于GFDM系統(tǒng)，于是提出了降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 和實現(xiàn)復(fù)雜度的TSLM 算法。

參考文獻(xiàn)[17]提出在OFDM 系統(tǒng)中引入基于轉(zhuǎn)換向量（conversion vector，CV）的SLM 算法，其中轉(zhuǎn)換向量由兩個基向量及其循環(huán)移位構(gòu)成，該算法可有效降低OFDM 系統(tǒng)的PAPR 和實現(xiàn)復(fù)雜度。本文擬將CV 向量引入TSLM 算法，提出了TCSLM 算法，該算法利用CV 向量與GFDM時域信號循環(huán)卷積以產(chǎn)生更多的時域備選信號，從而降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR。下面擬從實現(xiàn)復(fù)雜度和仿真結(jié)果兩個方面證明 TSLM 算法和TCSLM 算法的有效性。

2 GFDM 收發(fā)信機及SLM 算法

2.1 GFDM 收發(fā)信機

GFDM 收發(fā)信機框架如圖1 所示。輸入比特流先經(jīng)正交幅度調(diào)制（qua2rature amplitu2e mo2-ulation，QAM）得到長度為N=KM的QAM 調(diào)制信號矢量d，經(jīng)串并變換形成M個子符號、K個子載波的數(shù)據(jù)塊結(jié)構(gòu)，其中，dk,m表示第m個子符號中第k個子載波上傳輸?shù)臄?shù)據(jù)符號，k=0,1, …,K?1,m=0,1, …,M?1。然后經(jīng)過由IDFT 和上采樣、濾波、循環(huán)移位、求和操作（簡稱UFCS 模塊）等組成的GFDM 調(diào)制器得到N×1維的輸出向量x，最后添加循環(huán)前綴（cyclic prefix,CP）并發(fā)送出去。輸出向量x可表示為[12]：

其中，dm=(d0,m,d1,m, …,dK?1,m)T表示第m個子符號，(· )T表示轉(zhuǎn)置，F(xiàn)是K×K維的IDFT 矩陣；Q(M)由M個K×K維的單位矩陣IK串聯(lián)而成，即Q(M)=[IK, …,IK]T，該操作可等效于對每個子符號進行M倍的上采樣處理；D(M)是N×N維的濾波器矩陣，其對角線元素由升余弦（raise2 cosine filter，RC）濾波器g[n]組成，其余元素為0，g[n]的時域形式為g[n] =sinc(n)cos(παn)/(1 ?4α2n)，其中，n=0,1, …,N?1，α為RC 濾波器的滾降系數(shù)；P(m)是N×N維矩陣，定義為P(m)=ψ(p(m))?IK，每個子符號通過P(m)變換到其對應(yīng)位置，其中，?表示克羅內(nèi)克積，ψ(p(m))是M×M維的循環(huán)矩陣，p(m)表示第m個位置的元素為1 而其余為0 的M× 1維向量，p(m)是ψ(p(m))矩陣的第一列，其余M? 1列是p(m)的循環(huán)移位。

圖1 GFDM 收發(fā)信機框架

其中，2iag( · )為對角矩陣，其對角線元素為β[n]=1/g[n]，是迫零接收濾波器的脈沖響應(yīng)；FH表示K×K維的離散傅里葉變換（2iscrete Fourier transform，DFT）矩陣。最后，經(jīng)GFDM 解調(diào)的輸出信號y通過并串變換和QAM 解調(diào)得到原始輸入比特流的估值。本文GFDM 系統(tǒng)的參數(shù)、數(shù)學(xué)符號和矩陣函數(shù)的定義見表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)、數(shù)學(xué)符號和矩陣函數(shù)的定義

2.2 SLM 算法

圖2 降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的SLM 算法原理

3 改進的SLM 算法

3.1 TSLM 算法

WHT 變換能夠有效降低 GFDM 系統(tǒng)的PAPR[10]，因此，本文將WHT 變換和SLM 算法相結(jié)合提出了一種改進的低復(fù)雜度TSLM 算法，如圖3 所示，但在該算法中需要完成串聯(lián)的WHT變換和IDFT 變換，計算相對復(fù)雜。經(jīng)分析可知，參考文獻(xiàn)[16]中用于OFDM 系統(tǒng)的T 變換可以實現(xiàn)本文中串聯(lián)的WHT 變換和IDFT 變換，因此本文提出利用T 變換降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR，同時利用T 變換的稀疏特性降低其實現(xiàn)復(fù)雜度。

低復(fù)雜度TSLM 算法的實現(xiàn)步驟如下：

（1）將QAM 調(diào)制信號與U個不同的隨機相位序列UR進行點乘；

（2）將點乘后的U個信號進行串并變換；

（3）將串并變換后的信號依次通過T 變換和UFCS 模塊完成T-GFDM 調(diào)制；

（4）從U個GFDM 時域備選信號中選擇PAPR 最小的信號進行傳輸。

由參考文獻(xiàn)[16]的式（9）可得以上步驟中T變換矩陣為：

3.2 TCSLM 算法

增加備選GFDM 信號可以降低系統(tǒng)的PAPR，本文在TSLM 算法的基礎(chǔ)上引入CV 向量，提出了TCSLM 算法，其基本原理是將經(jīng)過T-GFDM調(diào)制后的信號與CV 向量進行循環(huán)卷積，該操作增加了T-GFDM 時域備選信號數(shù)目，但沒有增加系統(tǒng)的復(fù)數(shù)乘運算次數(shù)，原理如圖4 所示。

TCSLM 算法的實現(xiàn)步驟如下：

（1）將QAM 調(diào)制信號與U個不同的隨機相位序列UR點乘；

（2）將點乘后的U個信號進行串并變換；

（3）對串并變換后的信號進行T-GFDM 調(diào)制；

（4）T-GFDM 調(diào)制后的信號通過CV 向量，此時時域備選信號的個數(shù)為2U；

（5）從2U個時域備選信號中選擇PAPR 最小的信號傳輸。

圖3 降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的TSLM 算法原理

圖4 降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的TCSLM 算法原理

根據(jù)循環(huán)卷積的線性性質(zhì)，經(jīng)過CV 向量而生成的GFDM 時域備選信號可表示為：

4 性能分析

4.1 實現(xiàn)復(fù)雜度分析

本節(jié)對采用SLM、WHT-SLM、TSLM 和TCSLM 算法的各GFDM 系統(tǒng)進行發(fā)射端復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法的復(fù)雜度分析。參考文獻(xiàn)[12, 15,18-19]對GFDM 系統(tǒng)的實現(xiàn)復(fù)雜度分析均以復(fù)數(shù)乘法作為性能指標(biāo)，故本文將復(fù)數(shù)乘法作為實現(xiàn)復(fù)雜度分析的性能指標(biāo)。

根據(jù)式（1），圖1 的GFDM 調(diào)制需要以下步驟：（1）M次K點的IFFT 變換，一次K點的IFFT 變換需要執(zhí)行KlbK/2次復(fù)數(shù)乘和KlbK次復(fù)數(shù)加；（2）M次濾波，一次濾波需要執(zhí)行KM/2次復(fù)數(shù)乘。因此，GFDM 調(diào)制的復(fù)數(shù)加次數(shù)J=MKlbK，復(fù)數(shù)乘次數(shù)C為[12]：

根據(jù)參考文獻(xiàn)[16]，一次K點的T 變換需要執(zhí)行的復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加次數(shù)分別為(KlbK)/2 ?(K? 1)和(3KlbK)/2 ?3(K? 1)。圖3中的T-GFDM 調(diào)制需要以下步驟：（1）M次K點的T 變換；（2）M次濾波。因此，T-GFDM調(diào)制的復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加次數(shù)分別為C?M(K?1)和3J/2 ?3M(K? 1)。

SLM 算法是利用U個隨機相位序列產(chǎn)生U個頻域備選信號，然后進行U次的GFDM 調(diào)制得到U個時域備選信號。因此，SLM 算法的復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加次數(shù)分別為UC和UJ。

根據(jù)圖2 和圖3，TSLM 算法是在SLM 算法的基礎(chǔ)上利用T 變換實現(xiàn)串聯(lián)的WHT 變換和IDFT變換，而WHT 變換由于其元素由1 和?1 構(gòu)成不會增加WHT-SLM 算法的復(fù)雜度，故WHT-SLM 算法的復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加次數(shù)分別為UC和UJ。TSLM 算法需要進行U次的T-GFDM 調(diào)制，因此，TSLM 算法的復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加次數(shù)分別為U[C?M(K? 1)]和3U[J/2?M(K? 1)]。4 種降低GFDM 系統(tǒng)PAPR算法的發(fā)射端實現(xiàn)復(fù)雜度比較見表2。

表2 4 種降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 算法的發(fā)射端實現(xiàn)復(fù)雜度比較

根據(jù)圖3 和圖4，TCSLM 算法是在TSLM算法的基礎(chǔ)上利用CV 向量得到了2U個時域備選信號，需要以下步驟：（1）U次的T-GFDM；（2）U個T-GFDM 調(diào)制信號與CV 向量循環(huán)卷積得到2U個時域備選信號，需要執(zhí)行3UKM次復(fù)數(shù)加[17]。因此，TCSLM 算法的復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加次數(shù)分別為U[C?M(K? 1)]和3U(M+J/2)，產(chǎn)生相同數(shù)量的備選信號，TCSLM 算法的復(fù)數(shù)乘次數(shù)是TSLM 的1/2。

4.2 仿真結(jié)果

本文通過計算機仿真比較采用上述4 種降低PAPR 算法的GFDM 系統(tǒng)性能。仿真參數(shù)設(shè)置如下：圖5 中子載波數(shù)K取值為64～1 024，相位序列數(shù)U= 2 8、；圖6 中取K=64，U= 2 8、；圖7 中取K=64，U=2 ；其余參數(shù)均為子符號數(shù)M=3 ，RC 濾波器的滾降系數(shù)取0.1，調(diào)制方式采用16QAM，CP 長度取16。

圖5 為GFDM 系統(tǒng)的實現(xiàn)復(fù)雜度（即復(fù)數(shù)乘法次數(shù)）隨子載波數(shù)K的變化曲線，其中考慮了SLM、WHT-SLM、TSLM、TCSLM 4 種降低PAPR算法。由圖5 可知：

（1）隨著相位序列數(shù)增加，不同算法的復(fù)雜度隨之增加；

（2）當(dāng)不同算法的GFDM 系統(tǒng)的隨機相位序列U取相同值時，算法復(fù)雜度排序由高到低依次是SLM（或WHT-SLM）、TSLM、TCSLM 算法，當(dāng)K=64 、U=2 時，SLM（或WHT-SLM）算法、TSLM 算法和TCSLM 算法的復(fù)數(shù)乘次數(shù)依次為1 728、1 350 和675 次，與SLM（或WHT-SLM）算法相比，TSLM 和TCSLM 算法實現(xiàn)復(fù)雜度分別降低約21.9%和60.9%。

圖5 不同算法的GFDM 系統(tǒng)復(fù)雜度對比

圖6 不同算法的GFDM 系統(tǒng)PAPR 降低效果對比

采用不同算法降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的CCDF 性能曲線如圖6 所示。由圖6 可知：

（1）隨機相位序列數(shù)U越大，SLM、TSLM和 TCSLM 算法降低 PAPR 的效果越好，當(dāng)CCDF =10?3，相位序列數(shù)U=8時，采用SLM、TSLM 和TCSLM 算法的GFDM 系統(tǒng)PAPR 值比U=2時分別降低約1.6 2B、1.4 2B、1.2 2B；

（2）采用WHT 和T 變換的CCDF 曲線基本重合，結(jié)合表2 可知T 變換能夠保持降低PAPR的效果并且降低復(fù)雜度；

（3）降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 效果排序由強到弱排序依次是TCSLM、TSLM 和SLM 算法，如當(dāng)CCDF =10?3，相位序列數(shù)U=2時，采用TCSLM算法的GFDM 系統(tǒng)PAPR 值比采用TSLM、SLM算法降低約0.4 2B、1 2B。

在頻率選擇性信道下采用不同算法的GFDM系統(tǒng)的誤比特率（bit error rate，BER）性能曲線見圖7，與參考文獻(xiàn)[2]中一樣，在仿真中設(shè)置L=16，由圖7 可知以下結(jié)論。

（1）SLM 算法與原始GFDM 系統(tǒng)的BER 性能基本相同，這是因為SLM 算法將選定的相位序列作為邊帶信息進行傳輸[20]，接收機能夠根據(jù)邊帶信息正確恢復(fù)出原始信號。如當(dāng)SNR=12 2B 時，SLM 算法與原始GFDM 系統(tǒng)的BER 分別約為0.059 78 和0.059 72。

圖7 不同算法的GFDM 系統(tǒng)BER 性能對比

（2）采用WHT 變換、T 變換、TSLM、TCSLM等算法的各GFDM 系統(tǒng)的BER 性能基本相同，這是因為T 變換實現(xiàn)了串聯(lián)的WHT 變換和IDFT變換，可保持與WHT 變換基本相同的BER 性能[16]；TSLM 算法是在SLM 算法的基礎(chǔ)上引入T 變換，接收機能夠根據(jù)T 反變換和邊帶信息恢復(fù)出原始信號，因而TSLM 算法保持了與T 變換基本相同的BER 性能；TCSLM 算法是在TSLM 算法的基礎(chǔ)上引入CV 向量，由于CV 向量的周期性自相關(guān)函數(shù)是沖激函數(shù)，其所有元素具有相同的大小，不會造成系統(tǒng)BER 性能的損失[21]，因此，TCSLM和 TSLM 算法的 BER 曲線基本相同。如當(dāng)SNR=12 2B 時，WHT 變換、T 變換、TSLM 和TCSLM 算法的BER 分別約為0.062 72、0.062 60、0.062 68 和0.062 81。

（3）包含WHT 預(yù)編碼算法的GFDM 系統(tǒng)能夠有效對抗頻率選擇性衰落，但在低信噪比（SNR＜12 2B）下系統(tǒng)的BER 性能要劣于GFDM系統(tǒng)，這是因為ZF 解調(diào)引入的噪聲分量在解碼操作過程中對其他子載波造成了干擾[10]，低信噪比下該干擾對系統(tǒng)BER 性能的影響大于預(yù)編碼方法改善效果。

綜合圖6 和圖7 可知，TSLM 算法、TCSLM算法均能夠有效降低GFDM 系統(tǒng)的實現(xiàn)復(fù)雜度和PAPR 值，同時基本不會造成其BER 性能的損失。

5 結(jié)束語

本文提出了TSLM 算法、TCSLM 算法降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR，TSLM 算法的特點是利用T變換實現(xiàn)串聯(lián)的WHT 變換與IDFT 變換，達(dá)到同時降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 和實現(xiàn)復(fù)雜度的目的；TCSLM 算法是在TSLM 算法的基礎(chǔ)上使用轉(zhuǎn)換向量進一步擴充時域備選GFDM 信號的數(shù)目，從而進一步降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR。計算機仿真結(jié)果驗證了TSLM 算法和TCSLM 算法的有效性；在高信噪比下還能夠改善GFDM 系統(tǒng)的BER 性能；增加隨機相位序列U，可進一步改善GFDM系統(tǒng)的PAPR 性能，其代價是實現(xiàn)復(fù)雜度會略微增加。