用聯系的觀點看“冪的運算”

黃秀旺

一、為什么要學冪的運算？

回顧研究有理數運算的過程，我們經歷了有理數的加法、減法，然后是乘法、除法，最后是乘方的學習。因此類似的，在學習了整式的加減運算后，也應當學習整式的乘法、除法，乃至乘方。

整式是單項式與多項式的統稱，我們可以設想整式的乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式。其中，多項式乘多項式較為復雜，比如（3x+2y）（2x-3y），我們可以把（3x+2y）看成一個字母A，則（3x+2y）（2x-3y）=A·（2x-3y）=A·2x-A·3y=（3x+2y）·2x-（3x+2y）·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y（還需繼續計算）。這其實就是利用分配律將多項式乘多項式轉化為單項式的乘積之和，再利用乘法交換律、結合律進行單項式乘單項式的運算。所以，上述三種基本類型的乘法，是以單項式乘單項式為基礎的。而單項式的乘積有三種基本類型：同底數冪的乘法am·an，冪的乘方（am）n，積的乘方（ab）n。只要我們知道了它們的運算法則，就可以用乘法的交換律、結合律以及這些法則進行單項式的乘法運算了。

因此，學冪的運算就是為了進一步學習整式的乘法運算。

二、如何理解冪的運算與有理數運算之間的關系？

我們知道有理數的運算涉及的是具體的數，而冪的運算涉及的既可以是具體的數，也可以是字母。當字母取一個確定的數時，其形式就是數的運算，因此，它們在運算的順序上是一致的，舉例如下。

例1 計算：-1+25÷22×（[-25]）-2。

解：原式=-1+25÷4×（[-25]）-2（先算乘方）

=-1+25×[14]×（[-25]）-2（化除法為乘法）

=-1-[52]-2（做乘法運算）

=[-112]。（最后做加減法）

有理數混合運算的運算順序為：先乘方，再乘除，最后加減。如果有括號，先進行括號內的運算。

例2 計算：（-2x3）2·x3-（3x3）3。

解：原式=4x6·x3-27x9（先算乘方）

=4x9-27x9（然后做同底數冪的乘法）

=-23x9。（最后做減法）

觀察以上兩例，例1是有理數的混合運算，例2是冪的運算，它們都遵循了基本的運算順序：先算乘方，后乘除，最后加減。也就是說，代數式的運算與數的運算在運算順序以及運算律的應用上是一致的。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區教學研究室）