推理題中的冪運(yùn)算

莊嚴(yán)

學(xué)習(xí)了“冪的運(yùn)算”之后，同學(xué)們對(duì)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則已經(jīng)掌握，并能很好地運(yùn)用。但當(dāng)遇到和算理相關(guān)的計(jì)算推理題時(shí)，有些同學(xué)還是會(huì)不知所措。針對(duì)“冪的運(yùn)算”中的代數(shù)推理題，我們結(jié)合例題進(jìn)行分析，希望可以幫助同學(xué)們加深理解。

一、演繹推理題

例1 課堂上，我們發(fā)現(xiàn)am·an=[a·a…·am個(gè)]·[a·a…·an個(gè)]=[a·a…·am+n個(gè)]=am+n，從而得到同底數(shù)冪的乘法法則。請(qǐng)用兩種方法計(jì)算am·an·ap（m、n、p是正整數(shù)）。

【分析】（1）觀察算式am·an·ap（m、n、p是正整數(shù)），我們不難看出，此題屬于同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，和算式am·an的不同之處在于多了個(gè)因式ap，但并不影響法則的運(yùn)用，計(jì)算可以依據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行。（2）此題要求用兩種方法計(jì)算，那么除了運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算外，我們還可以回到乘方的定義進(jìn)行計(jì)算。乘方是特殊的乘法運(yùn)算，所謂特殊，是指每一個(gè)因式都相同。如果我們將am·an·ap還原成乘法運(yùn)算，再根據(jù)乘方的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換也是可以的。（3）此題還可以嘗試用符號(hào)表示若干個(gè)同底數(shù)冪相乘的法則。

解：（方法1） am·an·ap=am+n·ap=am+n+p。

（方法2） am·an·ap=[a·a…·am個(gè)]·[a·a…·an個(gè)]·[a·a…·ap個(gè)]=[a·a…·am+n+p個(gè)]=am+n+p。

二、合情推理題

例2 在“8.2冪的乘方與積的乘方”中，我們探索得到了積的乘方的法則：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）。請(qǐng)類比該法則的推導(dǎo)過程，解決下列問題：（1）計(jì)算（[ab]）n（n是正整數(shù)）;（2）嘗試用文字表述第（1）小題中得到的結(jié)論。

【分析】（1）回顧探索積的乘方法則的過程，利用乘方的定義和乘法的交換律、結(jié)合律得出（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）的結(jié)論。根據(jù)已有的事實(shí)，我們進(jìn)行觀察、比較、聯(lián)想、歸納、類比，最終提出（[ab]）n=[anbn]的猜想。根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，我們嘗試將[ab]改成a·[1b]，即將除法化歸成乘法，然后用積的乘方法則、乘方的定義和乘法結(jié)合律解決問題。（2）有了積的乘方法則的文字語言表述的經(jīng)驗(yàn)，類比它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，嘗試用文字語言表述商的乘方的法則。

解：（1）（[ab]）n=（a·[1b]）n=an·（[1b]）n=an·（[1b·1b…·1bn個(gè)]）=an·[1bn]=[anbn]。

（2）文字語言表述：商的乘方等于把被除數(shù)和除數(shù)分別乘方，再把所得的冪相除。

（作者單位：江蘇省南京市文樞初級(jí)中學(xué)）