不同空泡動(dòng)力學(xué)模型在空泡振蕩預(yù)測(cè)中的應(yīng)用探討

杜煜心，蘆洪鐘，姚志峰，3，耿思遠(yuǎn)，王福軍，3

［1.中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，北京市 100083；2.上海凱泉泵業(yè)（集團(tuán)）有限公司，上海市 201804；3.北京市供水管網(wǎng)系統(tǒng)安全與節(jié)能工程技術(shù)研究中心，北京市 100083］

0 引言

空蝕會(huì)造成水力機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)性能下降，降低工作壽命及安全性能，造成巨大經(jīng)濟(jì)損失[1]，嚴(yán)重影響水電站或水泵站經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定運(yùn)行。目前普遍認(rèn)為空蝕主要是由“空泡潰滅—回彈—再潰滅”振蕩過(guò)程中產(chǎn)生的高壓沖擊材料表面導(dǎo)致[2]。

為了理論解析空泡振蕩行為，最早由Rayleigh[3]提出了理論模型，建立了理想不可壓縮流體中球形空泡的運(yùn)動(dòng)模型。之后，Plesset[4]在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列完善，引入泡內(nèi)氣體、考慮表面張力和液體黏性，建立了Rayleigh-Plesset（R-P）模型。為了進(jìn)一步考慮液體可壓縮性的影響，Herring、Gilmore和Keller[5]等學(xué)者進(jìn)一步修正了R-P模型，提出了Gilmore和Keller-Miksis（K-M）模型。各種空泡動(dòng)力學(xué)模型考慮因素有所側(cè)重，都被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)在的空泡動(dòng)力學(xué)研究。然而，空泡動(dòng)力學(xué)研究中仍有許多問(wèn)題值得探討，目前還難以給出一個(gè)綜合考慮各種因素的普適性模型。

本文針對(duì)不同空泡動(dòng)力學(xué)模型在空泡振蕩過(guò)程中的應(yīng)用展開(kāi)探討，將三種主流空泡動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)空泡的半徑值對(duì)比，從空泡生長(zhǎng)和回彈兩個(gè)角度，對(duì)比各個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度，分析各個(gè)模型的應(yīng)用特點(diǎn)，綜合分析不同模型在預(yù)測(cè)空泡運(yùn)動(dòng)不同階段的適用性。

1 空泡動(dòng)力學(xué)理論模型

1.1 Rayleigh模型

Rayleigh模型為單空泡動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)模型，該模型假定球形空泡內(nèi)部不存在任何物質(zhì)，且置于均勻無(wú)限流體中，忽略液體壓縮性和黏性，空泡徑向運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中：ρ——液相密度；

R——空泡半徑；

pi——?dú)馀萁缑嫣幍膲簭?qiáng)，本文取2330Pa；

pe——環(huán)境壓強(qiáng)，本文取1×105Pa。

需要指出的是，Rayleigh模型在計(jì)算空泡潰滅時(shí)在潰滅點(diǎn)將得到無(wú)窮大的速度，且不發(fā)生回彈，這顯然背離實(shí)際情況。

1.2 Rayleigh-Plesset（R-P）模型

Plesset[4]對(duì)Rayleigh模型進(jìn)行了一系列完善，建立R-P模型，如下：

其中：

式中：t——時(shí)間；

σ——表面張力系數(shù)；

μ——液相動(dòng)力黏度系數(shù)；

pgn——靜止時(shí)氣泡內(nèi)的壓力；

pstat——靜壓；

pv——恒定氣壓；

κ——惰性氣體多變指數(shù)；

Rn——平衡半徑；

pa——驅(qū)動(dòng)壓力振幅；

va——驅(qū)動(dòng)頻率。

相比Rayleigh模型，R-P模型的假定條件更為復(fù)雜，不僅考慮了空泡表面張力和液體黏性，使水體情況更接近實(shí)際，而且考慮了泡內(nèi)的永久氣體，因此，R-P模型解決了空泡回彈問(wèn)題，即空泡潰滅到最小半徑后再次生長(zhǎng)，在忽略流體可壓縮性和氣泡表面的變形運(yùn)動(dòng)時(shí)，它能夠較好地預(yù)測(cè)空泡的運(yùn)動(dòng)。然而，R-P模型的推導(dǎo)過(guò)程中依然采用了較多簡(jiǎn)化和假設(shè)約束，如空泡始終保持為球形、空泡內(nèi)均勻、流體不可壓縮和不計(jì)熱傳導(dǎo)等。

1.3 Gilmore模型

Gilmore模型考慮了聲音輻射，將空泡的表面看作一個(gè)球形揚(yáng)聲器的膜，聲音輻射從振蕩的氣泡中吸收到液體中[6]，同時(shí)也考慮了空泡表面張力、液體黏性、腔內(nèi)氣體和液相壓縮性，其中聲速和液相密度均是變量，適用于振幅較大的空泡振蕩[7]，其模型式為：

式中：H——焓；

C——與時(shí)間相關(guān)的聲速，其表達(dá)式如下：

1.4 Keller-Miksis模型（K-M模型）

K-M模型[6]也考慮了振蕩氣泡的聲輻射，但是同時(shí)添加了輻射延遲時(shí)間的因素，即存在t-R/c的延遲時(shí)間，K-M模型同樣是在假定聲速恒定的情況下考慮液體的可壓縮性，其方程式為：

其中：

以上是空泡動(dòng)力學(xué)發(fā)展過(guò)程中較為典型的四種模型。Rayleigh對(duì)早期空泡模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了空泡動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)模型。Plesset等在空泡問(wèn)題中分別發(fā)展了這個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，使空泡動(dòng)力學(xué)的理論研究達(dá)到了一個(gè)里程碑，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出多種類型的空泡動(dòng)力學(xué)模型，如考慮壓縮性的Gilmore模型和K-M模型等。選取其中的R-P模型、Gilmore模型和K-M模型開(kāi)展后續(xù)研究，三種模型的基本信息見(jiàn)表1。

表1 三種空泡動(dòng)力學(xué)模型信息匯總表Table 1 Information summary of three kinds of cavitation dynamics equations

2 計(jì)算結(jié)果與對(duì)比

2.1 空泡生長(zhǎng)過(guò)程

空泡生長(zhǎng)過(guò)程選用耿思遠(yuǎn)[7]等人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)為激光誘導(dǎo)空泡，采用雙腔激光照明拍攝空泡生長(zhǎng)過(guò)程的雙曝光圖片，可達(dá)到納秒量級(jí)的時(shí)間分辨率。本文理論公式計(jì)算采用與實(shí)驗(yàn)值相同的初始時(shí)間、半徑和速度，生長(zhǎng)過(guò)程初始半徑為0.1352mm，初始速度為165.6m/s，計(jì)算時(shí)間范圍為0.209～170μs。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與三種空泡動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析，半徑值如圖1（a）所示，速度值如圖1（b）所示。各模型在空泡生長(zhǎng)過(guò)程計(jì)算中使用參數(shù)見(jiàn)表2。由圖1（a）可以看出，R-P模型在空泡發(fā)展初期吻合度較差，后期吻合度較好；Gilmore模型和K-M模型與實(shí)驗(yàn)值整體吻合度很高。由圖1（b）可以看出，三種模型的速度值與實(shí)驗(yàn)值均有較好的吻合。由此可見(jiàn)，在空泡的生長(zhǎng)過(guò)程中，相對(duì)其他兩種模型，假定條件相對(duì)簡(jiǎn)單的R-P模型與實(shí)驗(yàn)值的擬合度更差，而考慮壓縮性的Gilmore模型和K-M模型能與實(shí)驗(yàn)值有較好的吻合度。

圖1 生長(zhǎng)過(guò)程空泡壁實(shí)驗(yàn)值與理論模型對(duì)比圖Figure 1 Comparison of experimental results and theoretical model of cavity wall in growth process

表2 三種模型生長(zhǎng)過(guò)程計(jì)算參數(shù)表Table 2 Table of growth process parameters for three models

2.2 空泡回彈過(guò)程

回彈過(guò)程三種模型計(jì)算空泡半徑與兩組不同實(shí)驗(yàn)值對(duì)比結(jié)果如圖2所示。圖2（a）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于Kroninger[8]等人，實(shí)驗(yàn)值為粒子追蹤測(cè)速方法（PTV）所得；圖2（b）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于Ohl[9]等人，實(shí)驗(yàn)值為高速攝像所得。圖2（a）初始半徑為0.747mm，初始速度為0m/s，計(jì)算時(shí)間范圍為70.6～176μs，圖2（b）初始半徑為0.1794mm，初始速度為-96.2m/s，計(jì)算時(shí)間范圍為0～2μs，各模型在空泡回彈過(guò)程計(jì)算中使用參數(shù)見(jiàn)表3。由圖2（a）可以看出，三種模型在空泡收縮階段與實(shí)驗(yàn)值基本一致，但在隨后的回彈過(guò)程R-P模型與實(shí)驗(yàn)值相差甚遠(yuǎn)；Gilmore模型和K-M模型與實(shí)驗(yàn)值整體吻合度很高。由圖2（b）可以看出，三種模型在0.3μs內(nèi)與實(shí)驗(yàn)值基本一致，但隨后R-P模型值與實(shí)驗(yàn)值相差甚遠(yuǎn)；Gilmore模型和K-M模型與實(shí)驗(yàn)值整體吻合度很高；相對(duì)K-M模型，Gilmore模型計(jì)算所得潰滅空泡最小半徑更小。由此可見(jiàn)，在空泡的收縮回彈過(guò)程中，考慮壓縮性的Gilmore模型和K-M模型更貼近較小空泡的回彈過(guò)程，對(duì)于較小空泡的回彈，Gilmore模型對(duì)潰滅點(diǎn)的計(jì)算更為準(zhǔn)確。

圖2 回彈過(guò)程空泡壁實(shí)驗(yàn)值與理論模型對(duì)比圖Figure 2 Comparison of experimental values and theoretical model of cavity wall in rebound process

表3 三種模型潰滅過(guò)程計(jì)算參數(shù)表Table 3 Table of collapse process parameters for three models

2.3 討論

探討了三種不同空泡動(dòng)力學(xué)模型在空泡振蕩過(guò)程中的應(yīng)用，從空泡生長(zhǎng)和收縮回彈兩個(gè)角度出發(fā)，分析各模型的運(yùn)用。在Rayleigh模型的基礎(chǔ)上，R-P模型突破性地解決了空泡回彈問(wèn)題，但其未考慮壓縮性和聲輻射，因此與實(shí)驗(yàn)有偏差。K-M模型在假定聲速恒定的情況下考慮了泡壁處的壓縮性，Gilmore模型將聲速和液相密度作為變量，兩種模型均可以相對(duì)準(zhǔn)確地描述各種空泡運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Gilmore模型對(duì)微米尺度回彈空泡潰滅點(diǎn)的預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

本文針對(duì)空泡生長(zhǎng)和回彈過(guò)程的理論預(yù)測(cè)問(wèn)題，以空泡半徑值為對(duì)比參數(shù)，分析了三種空泡動(dòng)力學(xué)模型和實(shí)驗(yàn)值之間的差異，發(fā)現(xiàn)Gilmore模型和K-M模型預(yù)測(cè)結(jié)果與兩個(gè)空泡振蕩參照實(shí)驗(yàn)結(jié)果均吻合較好。分析后認(rèn)為，這兩種模型可以更準(zhǔn)確地描述毫米尺度空泡生長(zhǎng)和空泡的回彈潰滅過(guò)程，其中，Gilmore模型對(duì)微米尺度回彈空泡潰滅點(diǎn)的預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確。