車輛非線性懸架系統時滯瞬時最優控制

閆 蓋， 方明霞

(1.上海第二工業大學工學部， 上海 201209； 2.同濟大學航空航天與力學學院， 上海 200092)

隨著科技的發展，車輛懸架進入了電子控制時代，主動/半主動懸架得到越來越多的應用，而由于信號采集傳輸、控制運算及作動延遲，時滯在控制回路中不可避免。已有研究表明即使很小的時滯也可能導致系統控制效率降低，甚至導致系統失穩。因此，近年來考慮時滯的汽車主動/半主動懸架系統成為學者的研究熱點，取得了一些研究成果。文獻[1]以含時滯的1/4車輛懸架為對象，分析了時滯天棚開關控制半主動懸架控制系統的時滯漸進穩定性機理；文獻[2]提出采用基于自適應模糊邏輯的滑模控制策略，針對磁流變懸架系統執行器件非線性和時滯的不確定性具有良好的控制效果；文獻[3]利用平均法對含時滯的半主動汽車懸架進行了解析研究，得到了時滯和穩定性的關系；文獻[4]采用多項式判別定理和全時滯穩定性定理繪制了懸架阻尼與控制增益參數平面內的全時滯穩定性區域圖，并通過遺傳算法優化了參數，獲得了更好的減振效果；文獻[5]通過多項式判別定理和常微分理論分析了車輛懸架系統的時滯穩定性，并通過狀態變換設計時滯反饋最優控制律，保證了系統的穩定性，改善了減振性能；文獻[6]采用隨機預瞄控制策略對存在控制時滯的車輛主動懸架進行研究，并指出了如果不考慮時滯的影響，懸架系統可能發生不穩定現象；文獻[7]采用理論與實驗相結合，通過H∞控制理論設計了在一定時滯量下的H∞控制律，并分析了系統的時滯穩定性，最后仿真和實驗結果說明了理論推導的正確性和有效性。

雖然目前研究給出了一些卓有成效的時滯消除、補償和利用方法，但多數將懸架系統簡化為線性振動控制系統，而主動/半主動車輛懸架系統結構復雜，且懸架與車架之間的連接多使用橡膠襯套元件，致使懸架系統具有較強的結構非線性。因此，綜合考慮懸架系統非線性、控制回路時滯的影響，研究系統的減振特性，是當前研究的熱點和難點。現通過理論與仿真方法對含時滯車輛非線性懸架系統動力學特性進行研究，分析非線性參數和控制回路時滯對系統性能的影響，采用最優控制理論和龍格庫塔法設計時滯瞬時最優控制律，最后通過仿真驗證設計的有效性。

1 含時滯車輛非線性懸架系統動力學模型

因為橡膠襯套具有遲滯非線性特性，目前應用較為廣泛的遲滯非線性模型有雙線性滯后非線性模型、Bouc-Wen模型、多項式模型、Davidenkov模型和非對稱滯后非線性模型等。采用立方非線性多項式模型，即利用系統位移和速度的多項式函數擬合遲滯非線性力。另外，車身的垂直振動是影響車輛平順性的主要因素，而且車輛的結構復雜，現忽略車身的俯仰和側傾運動，采用磁流變阻尼器作為執行器，建立了1/4車輛二自由度含時滯非線性懸架模型，如圖1所示。

ms為簧載質量，kg；mw為非簧載質量，kg；Fd為懸架系統非線性力，N；k1、k3分別為非線性懸架的線性剛度和非線性剛度，N/m；c1、c3分別為非線性懸架的線性阻尼和非線性阻尼，N·s/m；kt、ct分別為輪胎剛度(N/m)和阻尼(N·s/m)；xs、xw分別為簧載質量位移和非簧載質量位移，m； u(t)為控制器計算輸出的控制力，N；τ為懸架控制系統控制回路中的時滯，s；u(t-τ)為系統實際控制力，N；xg為路面不平度，m

利用牛頓運動定律，得到非線性懸架系統的動力學方程為

(1)

(2)

(3)

2 非線性懸架系統時滯瞬時最優控制律設計

采用狀態變換方法[8-10]對含時滯的非線性懸架系統時滯瞬時最優控制律進行設計，以保證系統的穩定性。且文獻[5]中通過狀態變換法設計了時滯反饋控制律，通過理論和實驗研究了線性車輛懸架系統主動控制，基于此，將該方法推廣應用到非線性懸架系統。針對含時滯的狀態方程(2)，進行如下狀態變換，即

(4)

則

Bu(τ+η)+Be-Aτu(t)

(5)

根據式(3)～式(5)可將狀態方程轉換為不顯含時滯的非線性狀態方程，即

(6)

(7)

式(7)中：Δt為數值計算的步長；A0、A1、A2、A3為t-2Δt、t-Δt和t的函數。

f(t)+EW(t)}。

為了簡化式子，令

(8)

(9)

取時滯反饋最優控制器性能指標為

J(t)=ZT(t)QZ(t)+uT(t)Ru(t)

(10)

式(10)中：Q為非負定對稱矩陣；R為正定增益矩陣。非線性系統時滯反饋最優控制是在式(9)的約束下使得系統性能指標J(t)取得最小值。現定義Hamilton函數為

(11)

(12)

將式(11)代入式(12)，可以獲得非線性系統時滯反饋最優控制律：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：G(t)可通過式(17)進行迭代計算：

(17)

當t給定時，G(t)將于有限步趨于常數矩陣[11]。

3 車輛非線性懸架系統時滯瞬時最優控制仿真分析

3.1 確定性激勵下系統控制特性

以某汽車懸架系統參數為參考，仿真分析中取懸架系統參數為ms=843 kg，mw=98 kg，k1=45 482 N/m，c1=2 546.5 N·s/m，k3=111 324 N/m，c3=4 102 N·s/m，kt=604 685 N/m，ct=370 N·s/m，路面不平度取正弦激勵xg=A0sin(2πft)，激勵幅值分別取A0=0.004 m，激勵頻率取f=5 Hz，并令Q=diag([1×108,1×108,1×108,1×108])，R=1。由于時滯在控制中不可避免，在文獻[4]也證明了即使很小的時滯也會導致系統失穩發散，因此為了證明非線性懸架時滯瞬時最優控制的有效性，現分析不同時滯下系統的響應特性，圖2所示為部分不同固有時滯下非線性懸架系統時滯瞬時最優控制簧載質量加速度。

圖2 確定性激勵下非線性懸架系統時滯瞬時最優控制簧載質量加速度

從圖2可以看出，非線性懸架系統在非線性時滯瞬時最優控制下保持穩定，當時滯為0.03 s時，簧載質量加速度幅值為0.36 m/s2；當時滯為 0.065 s 時，簧載質量加速度幅值為0.50 m/s2；當控制回路時滯繼續增大時，發現簧載質量加速度值變化不大，且懸架動行程和輪胎動載荷均在允許范圍內，保證了懸架的減振性能。響應幅值還受到控制加權矩陣影響，通過調節控制加權矩陣可獲得更好的減振效果，如Q=diag[5×108,1×104,5×108,1×106]、R=0.01時，在控制回路時滯為0.065 s時，系統簧載質量加速度如圖3所示。

圖3 非線性懸架時滯瞬時最優控制簧載質量加速度

從圖3可以看出，調整控制加權系數后，在控制時滯為0.065 s時，懸架系統簧載質量加速度幅值從0.50 m/s2降為0.31 m/s2，降幅達38%；懸架動行程和輪胎動載荷均在允許范圍內，懸架系統的舒適性被大幅提高。因此在具體實踐中，可先測量系統控制回路中時滯量，通過優化算法獲取最優的控制加權系數矩陣，進而保證懸架系統實現最好的減振性能。

3.2 隨機激勵下系統控制特性

從圖4可以看出，隨時滯的變化，簧載質量加速度也有所變化，將系統輸出響應幅值的均方根(RMS)值填入表1中。

由表1可以發現，隨著時滯的變化，簧載質量加速度幅值均方根值隨之變化，與確定性激勵下響應變化趨勢一致，系統均保持穩定，同樣可以通過改變控制加權矩陣進一步提高懸架性能。另外，從圖2和表1中還可以發現：隨著控制回路時滯的增大，確定性激勵下系統響應幅值和隨機激勵下系統的響應均方根值有的變小，有的變大，即控制效果可能變好，也可能變差，這為如何在系統固有控制回路時滯基礎上，人為引入控制主動時滯[13]，獲得更好的減振性能提供了理論依據，為工程應用奠定了基礎。

圖4 隨機激勵下非線性懸架系統時滯瞬時最優控制簧載質量加速度

4 結論

以1/4車輛二自由度含時滯非線性懸架系統為研究對象，采用理論與仿真相結合的方法，研究了非線性懸架系統時滯瞬時最優控制特性，獲得以下主要結論。

(1)用立方多項式模型描述懸架非線性力，建立了含時滯車輛非線性懸架動力學模型。通過狀態變換思想，將含有時滯的系統狀態方程轉換成不顯含時滯的狀態方程。

(2)采用最優控制理論與龍格庫塔法設計了車輛非線性懸架時滯瞬時最優控制律，并通過數值仿真分析了確定性激勵和隨即激勵下系統的輸出響應。結果表明，時滯瞬時最優控制律可以保證系統的穩定性，優化控制權重矩陣可以獲得更好的減振效果。

(3)隨著控制回路時滯的變化，系統減振效果可能變好也可能變差，為將時滯作為可調參數，在系統固有時滯基礎上，人為引入控制主動時滯獲得更優的減振性能提供了理論依據，為主動控制提供了新的思路。