基于組合信號源的非線性系統的子空間辨識

侯玉雯， 王宏偉,2*

(1.新疆大學電氣工程學院， 烏魯木齊 830047； 2.大連理工大學控制科學與工程學院， 大連 116024)

在非線性系統辨識中，基于塊結構非線性動態模型辨識是其中一個研究方向。這類模型同時結合了動態線性模型和靜態(無記憶)非線性函數模塊，具有較易辨識、計算量少的優點，能較好地反映過程特征，應用非常廣泛。這類模型中，Hammerstein模型是經常使用的模型。這種模型能夠較好地反映一大類非線性過程，如酸堿度(pH)中和滴定過程、干燥過程、非線性預報器[1]等。近年來，很多學者圍繞著Hammerstein模型展開了廣泛和深入的研究。

在Hammerstein模型的非線性環節的研究中，Sung等[2]提出一種特殊測試信號對多項式類的非線性進行研究辨識。但對于這種方法，只能針對于多項式，在實際應用中，具有一定局限性。在此基礎上，Lü等[3]提出應用神經模糊方法來逼近非線性環節。該方法既可避免迭代，又可以應用于分段非線性函數。而神經網絡、模糊系統、神經模糊系統等方法可以任意精度逼近任意非線性系統，所以該法的研究是當前的熱點[4-6]。

在Hammerstein模型的參數辨識研究中。主要包括非線性模塊的參數辨識和線性模塊的參數辨識。這類的辨識方法主要有：迭代法[7]、過參數法[8]、頻域法[9]、組合信號源方法。采用組合信號源方式，可以將靜態非線性環節和動態線性環節解耦分離，再通過重構中間變量等方法辨識各環節參數。由于利用組合信號將靜態非線性環節和動態線性環節隔離開，便于采用不同信號進行分離辨識，這種辨識方法具有簡單、計算量小等優點[1,3,10-14]。

在Hammerstein模型中，系統動態模塊也可以采用狀態空間方程描述，這樣更可以準確描述系統外部變量和內部狀態變量的變化[15]。文獻[16-17]斜交投影的子空間方法對靜態非線性模塊和動態線性模塊的參數進行辨識，但這種方法需要多次采用矩陣奇異值分解方法，計算量較大。另外，基于子空間技術的Hammerstein模型辨識，往往要求靜態非線性模塊是非線性多項式或者非線性基函數，對于不能用非線性多項式或者非線性基函數描述的復雜非線性系統就不能使用。

針對上述問題，提出基于組合信號源，將模糊神經和子空間辨識算法相融合的辨識方法。本文方法的特點是: ①將偽隨機逆M序列編碼信號與隨機編碼信號作為組合信號源，實現非線性模塊和線性模塊分離；②使用模糊神經網絡模型去逼近靜態非線性模塊，這可以有效避免傳統Hammerstein模型的迭代算法，也可以有效避免采用多項式方法逼近非線性函數時的限制，從而拓寬了非線性模型的適用范圍；③實現非線性模塊和線性模塊的狀態空間方程模型分離辨識，其中狀態空間方程模型采用子空間技術辨識，這樣整體計算量小、效率高。

1 模型描述

圖1 單輸入單輸出Hammerstein系統結構

圖1中，線性環節環節的狀態空間方程模型為

(1)

式(1)中：A、B、C為適當維數的矩陣；D為一個常數;u(kT)∈Rr為輸入信號；y(kT)∈Rr為系統輸出；x(kT)∈Rn為狀態向量；v(kT)∈Rr為零均值的隨機白噪聲，k為當前時刻；T為采樣周期。

非線性環節模型為

(2)

實際上，考慮到過程噪聲和干擾的影響，式(2)代入式(1)得

(3)

式(3)中：w(kT)、v(kT)分別為過程噪聲和測量噪聲，兩者均為不可測信號。

采用模糊神經模型擬合靜態非線性環節模型，其用Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型表示為

(4)

式(4)中：Rl表示第l條規則；u(kT)為輸入信號；wl為第l條規則的后件參數；c為規則總數；Fl為模糊集。

模糊神經模型共有四層，具體如下。

(1)第一層為輸入層，該層由輸入信號u(kT)直接傳遞給下一層。

(3)第三層為模糊規則層，模糊規則數等于該層的節點數。

(4)第四層為輸出層，該層進行反模糊化操作。

模糊神經模型的輸出為

(5)

辨識目的是使得如下目標函數最小，即

(6)

2 基于組合信號源的模糊神經Hammerstein模型的辨識

2.1 混合激勵信號的設計

圖2 混合信號組成

2.2 動態線性環節模型的子空間辨識

(7)

針對狀態空間方程[式(7)]，離散系統的輸出方程形式為

(8)

式(8)中：Yf為廣義輸出矩陣；下標f表示未來的時間標度；Xi為狀態序列；Uf為輸入的Hankel矩陣；增廣觀測矩陣Γi可表示為

Γi=[CCACA2…CAi-1]T

(9)

(10)

(11)

重新定義輸入輸出的Hankel矩陣分別為

(12)

(13)

為了更方便的表達，簡記為

(14)

式(14)中：下標p和f分別表示可定義的過去和未來的時刻標度。根據輸入輸出的Hankel矩陣，同理可得wk和vk的Hankel矩陣，分別記為M0|i-1、Mi|2i-1、N0|i-1、Ni|2i-1，簡記為Mp、Mf、Np、Nf。

定義狀態序列Xi為

Xi=[xixi+1xi+2…xi+j-1]

(15)

投影的定義如下。

定義一矩陣A的行空間在矩陣B行空間上的正交投影為

A/B=ABT(BBT)+B

(16)

定義二矩陣A的行空間在矩陣B行空間的正交補空間上的正交投影為

A/B⊥=A-ABT(BBT)+B

(17)

式中：上標+表示Moore-Penrose偽逆；B⊥表示B行空間正交補空間，(B⊥)TB=0。

將子空間辨識算法分為兩個步驟，具體如下[18]。

(18)

(19)

選擇合適的加權矩陣W1和W2，并在式(19)兩端分別左乘W1和右乘W2，可得

骨折創傷后骨缺損是創傷骨科常遇到的棘手問題。對于較小的缺損（＜5 cm），自體松質骨移植效果良好，但對于較大的缺損（＞5 cm），骨重建過程中易發生骨吸收和骨化不全，導致再骨折。Ilizarov技術、帶血管的骨移植是治療較大骨缺損的經典方法。但Ilizarov技術治療周期長，操作繁復，患者在治療期間佩戴外固定架，生活不便。帶血管骨移植需要顯微縫合血管，手術操作要求高，且移植骨骨化、塑形慢，并存在手術失敗的風險。

(20)

如果均滿足上述條件，則定義加權映射矩陣Oi

(21)

將Oi進行奇異值分解(singular value decomposition，SVD)分解,有

(22)

式(22)中：U=[U1，U2]與V[V1，V2]均為正交矩陣，其中U為m維單位正交基，V為n維正交陣，即滿足UTU=I和VTV=I。

選擇恰當的W2，可得系統狀態序列的卡爾曼濾波估計：

(23)

基于子空間的動態線性模型辨識方法總結如下。

Step 1計算Oi和Oi+1,其表達式為

(24)

Step 2對Oi進行SVD分解得

(25)

Step 3根據S1中非零奇異值的個數來確定系統的階數n。

Step 4計算Γi和Γi-1，則有

(26)

式(26)中：Γi表示由Γi前(i-1)×1行組成的矩陣。

Step 6通過最小二乘估計系統的參數，可得到A、B、C、D。

(27)

式(27)中:ρw和ρv為殘差矩陣。

Step 7噪聲協方差矩陣Q、S、R由殘差值確定。

2.3 靜態非線性環節模型的辨識

非線性環節模型為

(28)

靜態非線性模型辨識方法總結如下。

3 仿真算例

3.1 仿真算例1

考慮仿真對象，靜態非線性模型選取死區飽和模型為

(29)

線性系統選取的離散時間狀態空間模型為

(30)

從圖3可以看出，估計模型的奇異值在第一、第二階時最大，其余都近乎為0。故將模型階數選為2階。為了避免實驗結果的偶然性，以不同的噪聲序列進行100次蒙特-卡羅實驗。樣本數據長度j=4 000，樣本數據行塊數i′=10。實驗結果如圖4、圖5所示。

圖4分別給出了不同噪信比下的狀態空間模型辨識結果。從圖4可以看出，當噪聲的方差σ2=0.062，信噪比δns=17.8%時，在低頻段范圍內，辨識模型的bode曲線與原系統的bode曲線基本重合。

圖3 估計模型奇異值的變化

圖4 δns=17.8%、35.6%估計模型的bode圖

圖5 δns=17.8%、35.6%特征值變化

當噪聲的方差σ2=0.382，信噪比δns=35.6%時，在低頻段范圍內，辨識模型的bode曲線與原系統的bode曲線仍能保持基本重合。當信噪比增大時，在低頻段范圍內，該系統的辨識模型仍然能夠良好地跟蹤到原采樣系統的變化。

當信噪比為δns=17.8%時，狀態轉移矩陣A的特征值的估計分布如圖5(a)所示。當信噪比為δns=35.6%時，狀態轉移矩陣A的特征值的估計分布圖如圖5(b)所示。原系統狀態轉移矩陣A的特征值為{0.947 7±0.082 3i}。從圖5可以看出，當信噪比不同的情況下，本文方法給出的特征值估計可以幾乎重合實際系統的真實特征值。因此，本文算法具有一定的魯棒性，能夠很好地估計模型參數。

圖6 靜態非線性模糊神經模型的辨識結果

3.2 仿真實例2

為了進一步驗證本文方法的有效性，考慮更加復雜的一類非線性過程：

(31)

從圖7可以看出，估計模型的奇異值在第一、第二階時最大，其余都近乎為0。故將模型階數選為2階。為了避免實驗結果的偶然性，以不同的噪聲序列進行100次蒙特-卡羅實驗。實驗結果如圖8、圖9所示。

圖7 估計模型奇異值的變化

當信噪比δns=14.53%時，狀態轉移矩陣A的特征值的估計分布如圖9(a)所示。當信噪比為δns=29.06%時，狀態轉移矩陣A的特征值的估計分布圖如圖9(b)所示。原系統狀態轉移矩陣A的特征值為{0.947 7±0.082 3i}。從圖9可以看出，當信噪比不同的情況下，本文方法給出的特征值估計可以幾乎重合真實系統的特征值。因此，本文算法具有一定的魯棒性，能夠很好地估計模型參數。

圖8給出了不同噪信比下的狀態空間模型辨識結果。從圖8可以看出，當噪聲的方差σ2=0.062，信噪比δns=14.53%時，在低頻段范圍內，辨識模型的bode曲線與原系統的bode曲線基本重合。當噪聲的方差σ2=0.382，信噪比δns=29.06%時，在低頻段范圍內，辨識模型的bode曲線與原系統的bode曲線仍能保持基本重合。所以，當信噪比增大時，在低頻段范圍內，該系統的辨識模型仍然能夠良好地跟蹤到原采樣系統的變化。

4 結論

通過融合模糊神經和子空間算法，提出了一種非線性采樣系統的狀態空間Hammerstein模型的辨識方法。先利用組合信號源解耦靜態非線性模塊和動態線性模塊，以簡化辨識過程；再采用模糊神經模型，能夠很好地擬合非線性模塊；最后利用子空間方法，狀態空間方程系數矩陣可以簡單、快捷地估計出來，使系統魯棒性更好。兩個仿真結果均驗證了基于組合信號源的非線性子空間辨識方法的有效性。對于多變量的非線性采樣系統，如何采用組合信號源的方式去解耦靜態非線性模塊和動態線性模塊，再對其分別進行辨識，是今后的主要研究工作。