概率：用數學的新視角來認識世界

浦敘德

義務教育階段的數學課程內容主要是“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大板塊。其中，前三個板塊是以“顯性數學知識”為主，第四板塊是以“運用應用知識”為主。小學里我們只是了解了最簡單事件發生的可能性的大小。“概率”的概念及其相關知識是初中三大顯性知識板塊中最后一個呈現的內容。本章“認識概率”是初中階段學習概率的起始章，它為我們用數學的眼光認識世界提供了一個新的視角。

本章主要由“確定事件與隨機事件”“可能性的大小”與“頻率與概率”三節內容組成。從知識逐步“生長”的角度看，這三節內容之間構成了一個遞升的關系。所以，要學好本章內容，我們只需依次理清如下三個要點：

一、“隨機事件”介于“不可能事件”與“必然事件”之間

事件有確定事件與不確定事件之分，確定事件又分為不可能事件與必然事件，不確定事件就是隨機事件。如“太陽西升東落”就是不可能事件，不管如何，它發生的可能性為0;“太陽東升西落”就是必然事件，不管如何，它發生的可能性為100%;“明天會下雨”就是隨機事件，它發生的可能性有大有小。所以，針對一個事件，我們首先要學會判斷它屬于哪類事件。如果對事件按照發生的可能性從小到大進行排序，那么依次為不可能事件、隨機事件、必然事件。換句話說，隨機事件居于不可能事件與必然事件這兩類確定事件之間。

例1 下列事件是必然事件的是（）。

A.某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎

B.一組數據1、2、4、5的平均數是4

C.三角形的內角和等于180°

D.若a是實數，則[a]>0

【解析】在一定條件下，事先能肯定它一定會發生的事件叫作必然事件。在四個選項中：A、D是事先無法肯定的，為隨機事件;B是事先能肯定一定不會發生的，為不可能事件;只有C是必然事件。所以，答案選C。

二、“隨機事件”發生的可能性有大有小，可以用“可能性的大小”來衡量

隨機事件是在一定條件下，事先無法確定會不會發生的事件。它不是不可能發生，也不是必然發生。那么，如何刻畫隨機事件呢？我們可以用隨機事件發生的可能性的大小來刻畫。如對于“用寫有1、1、2的三張簽來給人抽簽”這個事件，你抽到的可能是“1”，也可能是“2”，但你抽到“1”的可能性比抽到“2”的可能性大。

例2 請你談談對下面三個事件發生的可能性的認識。

事件1：拋一枚硬幣，正面朝上;

事件2：拋一個每個面上分別標有1、2、3、4、5、6的正方體骰子，標有1的面朝上;

事件3：正面分別是2、3、4的三張撲克牌反面朝上，抽到正面是2的撲克牌。

小明是這樣說的：它們都是隨機事件，它們發生的可能性無法確定。小紅是這樣說的：既然大家都是隨機事件，它們發生的可能性是一樣的。你認為呢？

【解析】首先，小明、小紅都認識到這三個事件都是隨機事件，他們在這一點上是正確的。其次，上述隨機事件發生的可能性既不是無法確定，也不是一樣大。再次，隨機事件發生的可能性有大有小，可以用可能性的大小來判斷。就事件1而言，拋后硬幣正面朝上的可能性與反面朝上的可能性是一樣的，所以，正面朝上的可能性是[12]。就事件2而言，拋后骰子上標有1、2、3、4、5、6的面朝上的可能性也是一樣的，所以標有1的面朝上的可能性是[16]。就事件3而言，同理可得，抽到正面是2的可能性是[13]。綜上，這三個隨機事件發生的可能性有大有小。事件1發生的可能性最大，其次是事件3，事件2發生的可能性最小。

三、用頻率的大小（頻率的穩定性）估計概率

“隨機事件發生的概率”就是這個事件發生的可能性大小的數值。概率是由隨機事件自身決定的，是隨機事件自身的屬性，它反映了這個隨機事件發生的可能性大小。雖然有時我們不能直接確定一個事件發生的概率是多少，但它發生的概率值真實存在著。有時我們可以用“頻率”來估計“概率”，找到這個確定的值。這個值就是該事件發生的概率。

例3 小芳擲一枚質地均勻的硬幣10次。有7次正面向上。當她擲第11次時，正面向上的概率為? ? ? ? ? ? 。

【解析】首先，我們要搞清“頻率”與“概率”這兩者的區別與聯系。對于一個隨機事件而言，事件發生的概率是一個確定值，與試驗的次數無關。而試驗中的頻率是不確定的。當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定;當試驗次數增大時，頻率會逐漸穩定在某一個值上。這個穩定的值就是概率。擲一枚質地均勻的硬幣時，前10次中有7次正面朝上，此時，正面朝上的頻率為0.7。擲第11次之前，誰也不知道結果是正面朝上還是反面朝上。但隨著試驗次數的不斷增加，我們會發現，正面朝上的頻率會逐步接近0.5，而這個0.5正是“擲硬幣正面朝上”事件的概率。所以，不管第幾次擲硬幣，正面朝上的概率始終等于0.5。

總之，事先可以肯定一定不發生或一定發生的事件是確定事件，對這類事件的研究比較簡單。而事先不可確定結果的事件是隨機事件，對這類事件的研究相對比較復雜。研究隨機事件的最大意義就是：雖然事先不能確定一個事件發生的最終結果，但可以通過對“概率大小”的研究，知道它發生的可能性的大小。如果我們把“方程”看作“未知中的已知”，那么“概率”就可以看作“不確定中的確定”。概率會為我們對某件事情的合理安排、科學決策提供有力的數據支撐。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）