熵權-集對分析法在大武地下水水質評價中的應用

朱恒華，劉治政，賈 超，袁 涵，李 雙

(1.山東省地質調查院，山東 濟南 250013；2.山東大學 土建與水利學院，山東 濟南 250061；3.山東大學 海洋研究院，山東 青島 266237)

對區域進行有效合理的地下水水質評價，可以及時掌握研究區的地下水水質現狀[1]，為制定地下水開采方案、地下水污染防治措施等提供依據。目前針對地下水水質進行評價的方法眾多，如綜合指數法[2]、內梅羅指數法[3，4]、層次分析法[5]、灰色聚類法[6，7]、人工神經網絡[8]及隨機森林法[9]等。這些方法在進行水質評價時都各有不足，如綜合指數法不能全面評判具有模糊性的地下水系統；內梅羅指數法過分突出極值的作用，評價中可能人為夸大或縮小一些評價因子的作用；人工神經網絡仍存在學習數據大、收斂速度低、已陷入局部極小值等缺點；隨機森林存在模型訓練及預測較慢等問題；許多學者就具體研究背景對以上各評價方法進行了相應改正，并取得了一定成果。集對分析法[10]是一種能較好處理模糊非線性關系的定量分析方法，鑒于地下水是一個多組分的復雜系統，各評價指標實測值與水質等級間具有模糊的非線性關系，該方法被許多學者研究改進并應用于地下水水質評價中[11-15]，如孟憲萌[16]等人引入熵值理論確定水質評價指標的權重，提出基于熵權的集對分析模型，并評價了邯鄲市某化工區地下水水質質量；陳宇、束龍倉[1]采用五元聯系數對濟寧市漏斗承壓水進行了水質評價，對多元聯系度的集對分析法進行了探索研究。鑒于集對分析法在處理不確定性系統時具有計算簡便、信息利用率高、受主觀因素影響小及易于其他方法相結合等優點[17]，本文借助集對分析中聯系度工具對大武地區評價水體各試樣的確定性和不確定性做定量研究，在綜合聯系度確定中運用信息熵對各指標權重進行計算，最后采用置信度判別準則對評價水體做出全面、客觀的評價，使研究區水質評價結果更貼近真實情況。

1 水質評價的熵權-集對分析模型

1.1 水質評價的集對分析法

集對分析法[18-19]是由趙克勤先生于1989年首次提出的一種基于聯系度定量刻畫確定-不確定系統中兩個相對集關系的系統分析方法。其核心是將相對集之間的關系劃分為“同一”和“對立”，不確定性關系劃分為“差異”；通過對相對集之間的同、異、反關系引入聯系度對其進行數學定量描述，將相對集之間確定性和不確定性的關系轉換為定量的數學計算。

對有一定聯系的事件A和事件B進行集對分析時，組成集對H(A,B)，將A看做待評價集合，B看做評價標準，H(B，A)則反之。對一個有N項評價指標的集合A，若其中有S個指標實測值優于標準，F個未測或無法比較，P個指標實測值劣與標準，則該采樣點聯系度可表示如下：

μA-B=a+bi+cj；a+b+c=1

(1)

上式(1)可稱為3元聯系數的集對分析法，針對具體問題分析，將式(1)中的bi進一步拓展為bi=b1i1+b2i2+…+ bk-2ik-2，可以得到K元聯系度的集對分析法：

(2)

由于地下水水質等級劃分的水質因子界限值是確定的，而研究區的水質因子實測值與區域水質等級關系是不確定的，從而構成確定-不確定系統，可以利用集對分析法進行地下水進行水質評價[20]，因而將地下水水質實測值A與地下水水質評價標準中的水質分級B構成集對，

根據我國地下水質量標準，采用5元聯系數的集對分析法可使評價結果與地下水水質類別一一對應，因此采用5元聯系數的集對分析法作為大武水源地水質評價分析的基本模型，即式(3)：

μAi-B=a+b1i1+b2i2+b3i3+cj；a+b1+b2+b3+c=1

(3)

式中：Ai表示研究區第i個地下水實測監測站點；B=[Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ]是地下水標準等級；b1、b2、b3分別稱為異1、異2、異3，在水質評價中分別對應Ⅱ、Ш、Ⅳ類水，i1、i2、i3為對應差異標識符。

由式(3)進行區域水質等級做總體估計，同時，考慮到水質監測因子的具體含量對水質級別的影響具有差異性，進一步明確不同指標具體含量對水質等級的影響，對分級標準做二次同、異、反的集對分析，由于水質評價指標中效益型(越大越好型)指標和成本型(越小越好型)指標可通過數學變換相互轉換，因此采用成本型指標的聯系度計算公式：

(4)

式中：AitAi，t表示研究區第i個地下水監測站點的第t個監測指標；S1、S2、S3、S4、S5分別為地下水質量標準中不同評價指標的標準限值；X為評價水體各評價指標實測值。

由以上兩次集對分析結果，最終由熵權-集對分析模型做最后水質等級評價。

1.2 熵權法確定評價指標權重

熵是信息論中信息無序度的一種度量，與事件攜帶的信息量成負相關，事件攜帶信息量越大，熵就越小，既系統越無序，此時該事件對決策的作用越明顯，基于信息熵確定權重的方法即為熵權法；熵權法[21-22]是一種客觀賦權法，是對各項指標觀測值提供的信息多少來確定指標權重，地下水系統是一個多組分的復雜系統，不同指標對地下水水質的影響權重不同，針對水質評價中不同指標的相對重要性不同，采用熵權法進行不同指標權重系數的主要計算步驟如下：

1.2.1 構建評判指標矩陣

設待評判類別有m種，每類評價指標有n個，其評判指標矩陣記為R:

(5)

1.2.2 評判指標矩陣歸一化處理

(6)

(7)

其中正向指標(值越大越優型)采用式(6)，反之，采用式(7)

1.2.3 評價指標熵計算

各評價指標的熵由信息熵計算公式給出：

(8)

1.2.4 評價指標權重計算

對第j個評價指標熵權計算：

(9)

1.3 水質評價的熵權-集對分析模型

基于以下考慮：①由式(4)～式(9)反映評價指標具體含量對水質評價等級的影響；②由式(3)控制，使水質評價等級不至于因為某項水質評價指標所占權重過大，而導致最終評價等級與實際情況偏離。構建熵權-集對分析模型如下：首先以式(3)初步計算得到評價水體第i個樣本的聯系度μi；其次根據式(4)進一步集對分析，計算第i個樣本的第j項指標聯系度μij，并根據式(5)-(9)計算第k項指標的權重wj，最后構造出水質分析的熵權-集對分析模型：

(10)

其中?為本文引入符號，表示矩陣點乘，為相應矩陣對應數值的乘積。

1.4 基于置信度的熵權-集對分析模型的水質評價

則認為評價對象xt屬于Vk0類。

基于此，采用置信度評判準則代替最大隸屬度準則對熵權-集對分析模型的計算結果進行水質評判，認為水質受污染程度越輕則水質越“強”。置信度的取值一般為[0.5 1]，取λ=0.65作為評價的置信度。

2 實例研究

大武水源地位于山東省淄博市臨淄區，是我國北方罕見的特大型巖溶-裂隙地下水水源地[3]，區內包括大武、南仇及辛店3個富水段，地勢南高北低，地下巖溶發育良好，地下水主要由南部山區降雨補給及西南部裸露灰巖補給區側滲補給，由南向北流動，遇北部阻水巖層阻擋而在區內蓄水[23-24]。由于區內化工企業較多，分布較廣，區內地下水持續超采，已引發大武水源地區內地下水污染，對其進行污染評價以供相關污染治理研究具有重要意義[25]。大武水源地區位圖見圖1所示。

圖1 大武水源地區位置示意圖

2.1 數據來源及集對構建

研究數據均來源于2017年10-11月淄博市大武水源地地下水采樣點的檢測結果，以地下水三類水標準篩選出12個超標率較高的水質因子作為評價因子，并在研究區范圍內篩選29個至少一項檢測因子超標的檢測站點作為分析站點(圖2)，站點的位置布設較為合理，其評價結果能能充分反映研究區的地下水水質情況。各站點評價因子實測值見表1所示。

表1 研究區29個地下水監測站點水質因子實測值

圖2 大武29個水質檢測站點分布圖

地下水水質類別評判標準依據《地下水環境質量標準》(2017)，以界限值作為不同水質類別的判別依據，其標準界限值如表2所示。

表2 地下水水質評價標準表

以U表示大武地區各水質監測站點的水質屬性集合，即站點的水質評價指標的實測值；以S表示水質評價等級標準中各類別的水質屬性集合，即各水質類別的水質指標界限值。可構建29個水質實測監測站點與水質評價標準構成集對H(U,S)。

2.2 熵權法計算指標權重

根據表1數據，由式(6)及式(7)進行歸一化處理，可得到水質監測站點的數據標準值矩陣X，限于矩陣較長，僅列出站點1～10的標準化矩陣：

根據標準化后的水質矩陣及式(8)～(9)計算得到12項評價指標信息熵及權重，結果見表3。

表3 各評價指標的信息熵及權重

即權重矩陣為

2.3 基于熵權的集對分析法的綜合聯系度計算

將水質數據以矩陣形式采用MATLAB進行計算，易得到評價水體的集對聯系度。其中，由表1、表2及式(3)可計算得到29個站點水質評價的初步分析聯系度；由式(4)可計算得到29各站點各指標的分級聯系度；由式(10)及指標權重矩陣可計算得到各監測站點的綜合聯系度。

以監測站點1為例，其綜合聯系度計算如下：

初步聯系度

根據式(3)可得到監測站點1的初步聯系度矩陣：

分級聯系度矩陣計算

由式(4)得到

3)基于熵權的集對分析法的綜合聯系度計算

由式(10)及指標權重矩陣可得：

根據以上步驟，可計算得到其余水質監測站點的綜合聯系度，其部分監測站點綜合聯系度如下：

2.4 評價站點水質等級確定

按照測點1地下水水質等級的評價過程，由其余28個測點地下水水質的綜合聯系度，并依據水質等級評價方法，最終確定各測點地下水質的質量等級(表4)。采用置信度準則和最大隸屬度準則的評價結果對比如表4所示。

表4 地下水評價結果對比

2.5 評價結果分析

(2)由圖3、圖4可見，兩種評價結果均為西側區域地下水水質較劣，以隸屬度評價準則評判，大武區域以Ⅰ類水分布區域最廣，在大武東側、南側及北側均有分布，而Ⅲ類、Ⅳ類及Ⅴ類水主要集中在大武西北側，分布面積相對Ⅰ類水分布區域較小，水質較劣區域分布在候皋-西夏一帶(站點8～12)；以置信度準則評判，Ⅲ類、Ⅳ類及Ⅴ類水集中在大武西側，影響面積比隸屬度準則評判結果要廣，仍以候皋-西夏一帶(站點8～12)水質較差，從評價結果上，大武區域地下水水質整體上為中等偏下。

圖3 隸屬度準則評判分類 圖4 置信度準則評判分類

3 結語

(1)熵權法可以有效削弱指標含量異常值的影響，根據熵權法計算了評價指標的權重，權重計算結果表明，大武區域TDS、I、Mn及Al屬于高權重指標，在地下水治理中應予以重視；

(2)將置信度準則引入水質評價的熵權-集對分析法中對水質判別可以有效避免水質評價等級不清，分級結果不合理。能較大程度避免采用傳統最大隸屬度準則進行水質判別過程中造成水質評價結果“欠評價”和“過評價”。

(3)依據最新頒布的《地下水質量標準》(GB/T 14848-2017)，以置信度為水質判別準則的熵權-集對分析法對大武地下水質量進行綜合計算，得到該區域水質狀況的評價結果。評價結果表明，該區地下水水質等級基本水質為中等偏下，區域水質以侯皋-西夏一帶較差，應引起地下水環境保護部門的重視。