一類線性帶泊松跳隨機微分方程的有限時間隨機鎮定性

張莉娜，趙桂華

（1.江蘇科技大學理學院，江蘇 鎮江 212003；2.上海理工大學 理學院，上海 200093）

帶泊松跳的隨機系統可以更好地描述系統外突然發生的隨機擾動，在物理、化學、工程、金融、生物系統等領域有著重要應用。帶泊松跳隨機系統吸引了許多學者的興趣［1-9］。系統的穩定性是指系統在受到擾動作用偏離平衡狀態后，當擾動消失時系統經過自身調節能否以一定的準確度恢復到原平衡狀態的性能，反映了系統保持在平衡狀態的一種能力，是控制理論研究中的一個重要課題［4］。與刻畫穩態性能的Lyapunov意義下的穩定、漸近穩定不同，本文中的有限時間穩定性指系統在給定的時間段上的暫態性能。近年來，許多類型的系統的有限時間鎮定性得到了研究［10-15］，據了解，帶泊松跳隨機系統的有限時間鎮定性還沒被研究過。針對一類線性帶泊松跳隨機系統，首次建立有限時間隨機穩定判定定理。同時，針對一類線性帶泊松跳隨機系統，構造設計控制器，并利用所發展的理論證明閉環系統的有限時間隨機穩定性。其中，泊松過程的處理是本文中的關鍵點，通過對泊松過程提出假設和利用泊松過程的性質來處理泊松過程。

1 有限時間穩定性

考慮下面系統

式中：x（0）＝x0，μ∈R，σ∈R，γ∈R，驅動過程w（t）是一維標準布朗運動，N（t）是強度為 λ＞0的泊松過程。假定 x0，N（·）與 w（·）是相互獨立的。

參考隨機系統有限時間隨機穩定性的定義［10］，給出關于系統（1）的有限時間隨機穩定性定義。

定義1給定滿足條件0＜c1＜c3＜c4＜c2的正標量 c1，c2，c3，c4，T及一個非負常數 R，如果

那么稱系統（1）關于（c1，c2，c3，c4，T，R）是有限時間隨機穩定的，其中x′0表示x0的轉置。

下面，首先考慮系統（1）關于（c1，c2，c3，c4，T，R）的有限時間隨機穩定性。

定理1如果對于任給的 t∈［0，T］，有 c3eαt＞c1和 c4eαt＜c2成立，則系統（1）關于（c1，c2，c3，c4，T，R）是有限時間隨機穩定的，其中λ+2μ+σ2。

證明根據文獻［7］得到系統（1）的解析解表達式

由（2）得到

由 x0，N（·）與 w（·）的獨立性得

從而得到 Ex′（t）Rx（t）＝E（x′0Rx0）exp｛αt｝，其中

進一步分析，由 c3≤E（x′0Rx0）≤c4得到，當c3eαt＞c1和 c4eαt＜c2時，對?t∈［0，T］有 c1＜Ex′（t）Rx（t）＜c2。證明完畢。

推論1如果，那么系統（1）關于（c1，c2，c3，c4，T，R）是有限時間隨機穩定的，其中α的定義請見定理1。

證明當時，對于?t∈即對?t∈［0，T］，c3eαt＞c1。另外，根據定義1，c4＜c2。從而當 α＜0時，對?t∈［0，T］有 c4eαt＜c2。因此，由定理 1可得：當時，系統（1）關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定。

當α＝0時，由定義1中的0＜c1＜c3＜c4＜c2得到，對于?t∈［0，T］有 c3eαt＞c1和 c4eαt＜c2，即系統（1）關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定。證明完畢。

2 有限時間隨機鎮定性

本節考慮系統

的有限時間隨機鎮定性，其中x（0）＝x0，μ是控制輸入，其余參數與變量與系統（1）中的定義一致。

本文的控制目標是：設計一個控制器u（t）＝kx（t）使得由（3）和 u（t）＝kx（t）組成的閉環系統關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定。

定理2令和

則對于?k∈A，構造設計出的控制器 u（t）＝kx（t）可使得由（3）和 u（t）＝kx（t）組成的閉環系統關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定。

證明由（3）知，對于?k∈A有

另外，當 u（t）＝kx（t）時，系統（3）可轉化為

因此根據推論1可知，對?k∈A，由（3）和 u（t）＝kx（t）組成的閉環系統是關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定的。證明完畢。

3 數值仿真

本節通過一個算例來驗證控制設計理論的正確性。選擇參數 c1＝1，c2＝50，c3＝3，c4＝5，R＝16，T＝0.5，σ＝1，μ＝-2，γ＝-1，λ＝1。

根據定理2知，當 k∈（2-ln3，2+ln10）時，閉環系統（3），u（t）＝kx（t）是關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定的。

選擇1 000個樣本｛wi，i＝1，2，…，1 000｝，并令進行仿真。圖1顯示閉環系統（3），u（t）＝3x（t）是關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定的。

圖1 閉環系統（3），u（t）＝3x（t）的數值仿真曲線

4 結論

研究了一類線性帶泊松跳隨機系統的有限時間隨機鎮定性。首先針對一類線性帶泊松跳隨機系統，建立了關于（c1，c2，c3，c4，T，R）有限時間隨機穩定的判定定理；再針對一類線性帶泊松跳隨機系統，構造設計了控制器，并利用所發展的定理證明了閉環系統關于（c1，c2，c3，c4，T，R）的有限時間隨機穩定性。