基于威布爾分布的改良品質押融資質押率決策研究

秦瀅 張云豐

摘? 要：存貨質押融資業務的廣泛開展能夠有效緩解中小微企業普遍存在的融資難問題。文章以改良品作為質押對象，考慮改良品在質押期間的改良率服從兩參數威布爾分布，討論金融機構視角下的改良品質押率最優決策。通過構建金融機構的期望收益函數，求解最優質押率的一般表達式，分析最優質押率與其主要影響參數的相關關系。研究結果表明，最優質押率隨市場需求的增加而增加，隨存款利率的增大而減小，隨貸款利率的增大呈現先增加后減小的特征。最后，給出一個數值算例并結合敏感性分析對文中結論進行驗證。

關鍵詞：存貨質押融資;改良品;威布爾分布;質押率

中圖分類號：F275.6??? 文獻標識碼：A

Abstract： The extensive development of inventory financing business can effectively alleviate the financing difficulties prevalent in micro， small and medium-sized enterprises. This paper takes the ameliorating items as pledge object， considers that the ameliorating rate is subject to two-parameter Weibull distribution during the pledge， and discusses the optimal decision of pledge rate for the ameliorating items from the perspective of financial institutions. By constructing the expected return function of financial institutions， the article solves the general expression of the optimal pledge rate， and analyzes the correlation between the optimal pledge rate and its main influencing parameters. The results show that the optimal pledge ratio increases with the increase of market demand， decreases with the increase of deposit interest rate， and increases first and then decreases with the increase of loan interest rate. Finally， a numerical example and sensitivity analysis are given to verify the conclusion.

Key words： inventory financing; amelioration items; Weibull distribution; pledge rate

0? 引? 言

融資難問題一直是我國中小微企業發展壯大過程中的攔路虎。受制于固定資產抵押不足、自身信用評級偏低、缺乏第三方擔保及銀行等金融機構“傍大款”等因素影響，中小微企業一般很難直接從金融機構獲得貸款。存貨質押融資業務的興起，為解決中小微企業融資難提供了新的思路。與傳統抵押貸款相比，存貨質押融資不需要以固定資產和設備作為貸款抵押，只需要向金融機構提供庫存產品，并將質押物交給金融機構指定物流企業進行保管，就可以貸到所需款項[1]。對于固定資產抵押不足、存貨相對豐富的中小微企業來說，存貨質押融資是較為合適的融資方式。

存貨質押融資業務開展初期，質押物多選擇質地穩定，市場價格波動小，大宗貨物變現能力強的工業原料和大量消費產品，后來隨著業務的逐步成熟，用于充當質押物的物品種類逐步擴大[2]。近年來，存貨質押融資業務開展實踐中，以改良品作為質押物申請質押融資的現象也越來越普遍。改良品（Ameliorating Items）是指在持有期間，隨著時間的推移，自身會發生數量增加、重量增長或質量改善等現象，從而使得經濟價值或效用獲得提升的一類物品[3]。現實生活中有許多改良品的例子，如處于育肥期的生豬、快速生長的家禽、魚塘中飼養的魚、基地培植的水果蔬菜、酒莊里儲存的高檔酒類等[4]。與大多數工業產品相比，改良品一般具有生產周期長及季節性等特點，在生產過程中往往會導致資金周轉效率較低，給生產企業的資金鏈造成巨大壓力。

相比于實踐中改良品質押融資業務的開展程度，學術界對改良品質押融資的理論研究卻明顯滯后，存貨質押的研究對象主要為普通貨物及易損耗物品。研究內容圍繞著存貨質押融資業務風險影響因素的有效識別[5]、風險評估[6]、風險指標的控制[7-8]展開。近年來，學者們將存貨質押融資與企業運營相結合，討論制造商/零售商存在資金約束時的綜合運營決策，如融資決策對企業運營績效的影響[9-10]、供應商定價策略及金融機構放貸政策對融資企業質押決策的影響[11-12]等。另外，部分學者考慮質押物在質押期間發生損耗時各參與方的最優融資決策[13-14]。本文在現有研究成果的基礎上，選擇以改良品作為質押對象，從金融機構視角出發，考慮預期利潤最大化下的最優質押率決策，并分析相關參數對最優質押率設定的影響方式，以期能為金融機構開展改良品質押融資業務提供決策參考。

1? 問題描述與基本假設

融資企業運營過程中存在資金短缺，且無符合要求可用于抵押的固定資產，現公司尚擁有相對充足的在庫改良品可申請質押融資。改良品在質押期間發生以重量增長為特征的改良現象，改良率服從兩參數威布爾分布，即其時間密度函數表示為ft=αβt·exp-αt，其中α， β是威布爾分布的兩個未知參數，滿足α>0、0<β<1。設有重量為Q的改良品在時刻0被質押，在時刻T質押結束后被解押銷售，因此改良品的質押周期為T。改良品的市場需求連續、均勻且恒定為D，銷售價格p保持不變;金融機構從儲戶吸收存款和向融資企業發放貸款的利率分別為I、I，均為單利;在質押期末改良品供給量超過市場需求量的部分可以以價格vv

2? 模型構建與求解

若改良品在質押時刻t的凈改良率為At，則有At=ft/1-Ft。其中，Ft為ft的累計分布函數。由于Ft

=fxdx=αβx·exp-αxdx=-exp-αxd-αx=1-exp-αx，因此有At=ft/1-Ft=αβt·exp-αt/exp-αt=αβt。改良品在質押期間任一時刻t的庫存量滿足微分方程dQ/dt=Q·αβt，解之得Q=Q·expαt。

金融機構在改良品質押期末能否收回貸款本息和取決于改良品在質押期末的市場價值。若市場價值大于貸款本息和，融資企業解押并銷售改良品后，金融機構通過融資企業在金融機構開設的封閉式賬戶收回本息和;若市場價值不足以償還貸款本息和，則融資企業就會選擇違約，金融機構有權處置改良品，將所得補償部分本息和。

設以質押時刻t的改良品庫存量作為質押物計量基數時恰好滿足改良品在質押期末的市場價值等于融資企業應償還金融機構的貸款本息和，則有：

pD+vQ-D=λpQ1+IT????????????????????????????????? ??????（1）

將Q=Q·expαt代入式（1），解得：

t=ln-lnλ???????????????????????????????????? （2）

當融資企業和金融機構約定的改良品質押物計量基數時刻t≤t，則此時融資企業不會違約，金融機構的預期利潤為：

π=λpQIT-IT???????????????? ???????????????????????????（3）

反之，如果雙方約定的計量質押物重量時刻t>t，融資企業在質押期末解押質押物獲得的改良品市場價值將不足以支付貸款本息和，該情形下融資企業選擇違約，金融機構的預期利潤為：

π=pD+vQ-D-λpQ1+IT????????????????????????????????????? （4）

綜合上述分析，可得金融機構的期望利潤函數表示如下：

Eπ=λpQIT-ITftdt+pD+vQ-D-λpQ1+ITftdt???????????????????? （5）

命題1? 在改良品質押融資業務中，給定質押率服從兩參數威布爾分布，則金融機構的最優質押率λ=minλ，1，其中，λ=·exp。

證明：將Q=Q·expαt及ft=αβt·expαt代入金融機構的期望利潤函數，得到：

Eπ=λpIT-ITQ·expαt·αβt·exp-αtdt+pD+vQ-Dαβt·exp-αtdt

-λp1+ITQ·expαtαβt·exp-αtdt

進一步將上式轉化為：

Eπ=λpQαIT-ITdt-pD-vQ-D·ed-αt-λpQα1+ITdt

=λpQαIT-IT·t-λpQα1+IT·t-pD+vQ-D·exp-αt

令M=，化簡上式得到：

Eπ=λpQ1+ITlnM-lnλ+1-λpQαT1+IT-MpQ1+IT·exp-αT

對Eπ求λ的二階導數，有dEπ/dλ=-pQ1+IT/λ<0。因此，Eπ是關于λ的凹函數。令Eπ對λ的一階導數等于零，即：

=pQ1+ITlnM-lnλ-1-pQ1+ITαT-1=0

解得：λ=·exp，結合λ∈0，1，故有λ=minλ，1。命題得證。

推論1? 金融機構設定的最優質押率λ與改良品的市場需求D之間存在正相關關系。

證明：由金融機構最優質押率λ的表達式得=·exp，已知p>v，因而>0，故得證。

推論1表明，當改良品的市場需求D增加時，金融機構設定的最優質押率λ應隨之提高;市場需求D減少時，金融機構設定的最優質押率λ也應隨之降低。其原因在于，改良品在質押時刻T的市場價值為pD+vQ-D=p-vD+vQ，而p>v，因此市場需求D增加時，改良品的市場價值增加，融資企業的違約概率減小，金融機構承擔的風險減少，從而改良品的最優質押率λ便會相應提高。

推論2? 金融機構設定的最優質押率λ與金融機構存款利率I之間存在負相關關系。

證明：由金融機構最優質押率λ的表達式得=·exp，顯然有<0，故得證。

推論2表明，當金融機構的存款利率I升高時，金融機構設定的最優質押率λ應隨之降低;而當存款利率I降低時，設定的質押率λ應隨之提高。其原因在于，維持金融機構貸款利率不變的情況下，若吸收儲戶的存款利率降低，則金融機構放貸成本降低，而質押融資業務的利潤增加，相當于金融機構承擔的風險變小。較低的存款利率有利于提升質押率。

推論3? 當I<時，金融機構設定的最優質押率λ與貸款利率存在正相關關系;當I>時，金融機構設定的最優質押率λ與貸款利率存在負相關關系;當I=時，最優質押率λ的取值最大。

證明：令k=，以最優質押率λ關于金融機構發放貸款的利率I求一階導數，并化簡，得到

=-·1+IT-αT1+IT·exp，由于>0及exp，因此，當1+IT-αT1+IT<0，即I<時，有>0，此時最優質押率λ與金融機構發放貸款的利率I變化趨勢一致;當1+IT

-αT1+IT>0，即I>時，有<0，此時最優質押率λ與金融機構發放貸款的利率I變化趨勢相反;當1+IT-αT1+IT=0，即I=時，有=0，此時最優質押率λ可取得極大值。故得證。

推論3表明，在金融機構吸收儲戶存款利率不變的條件下，隨著質押融資業務中貸款利率逐漸增加，金融機構的期望利潤上升，因而金融機構傾向于提高質押率λ以發放更多的貸款來獲得較大的利潤。但金融機構發放的貸款額度持續增加，會使得融資企業的還貸壓力也持續增加，導致違約概率變大，此時，金融機構可通過調整質押率λ來減少貸款額度，以降低融資企業違約的風險。

3? 數值算例

在改良品質押融資業務中，相關參數賦值如下：融資企業期初質押的改良品重量Q=1 000千克，融資企業與金融機構約定的質押周期T=0.5年，改良品在質押期間的改良率服從兩參數威布爾分布，且α=2.0、β=0.5，改良品面臨的市場需求為D

=2 000千克，質押期末改良品的銷售價格為p=10元/千克，未能及時銷售的部分將以v=5元/千克的價格處理，金融機構從儲戶吸收存款的利率為I=5%/年，向融資企業收取的融資利率為I=10%/年。下面分別考察改良品市場需求D、金融機構吸收儲戶存款的利率I與發放貸款的利率I對質押率λ的敏感性分析。

圖1給出了改良品市場需求發生變動時對最優質押率的影響。從圖1可以看出，隨著改良品市場需求的增加，金融機構設定的最優質押率也隨之增大。改良品市場需求的增加，意味著改良品在質押期末的變現價值越來越大，融資企業在質押期末違約的概率越來越低。普通物品質押融資的質押率設定一般上限為0.7，但改良品質押融資的質押率設定不應受此限制。由于改良品在質押期間其自身價值隨著時間的推進不斷增加，因此越臨近質押期末，金融機構面臨的融資企業違約風險就越小，并在某個特定時間點改良品的市場價值與貸款本息和相等，然后改良品的市場價值逐漸大于貸款本息和，此時即使融資企業違約，金融機構也不會遭受損失。當然，在改良品的市場價值開始大于貸款的本息和的情形下，融資企業也不會違約。所以，改良品質押融資時的最優質押率設定往往比普通物品高。

圖2給出了金融機構吸收儲戶存款的利率I發生變動時對質押率λ的影響。從圖2可以看出，隨著存款利率的不斷增加，金融機構設定的最優質押率逐漸減小。顯然，較低的存款利率有利于金融機構獲得更多的期望利潤，或者說金融機構獲得單位期望利潤的風險變得更小，因此金融機構設定的最優質押率隨著存款利率的增加而減小。

圖3給出了金融機構發放貸款的利率I發生變動時對質押率λ的影響。從圖3可以看出，隨著貸款利率的不斷增加，金融機構設定的最優質押率也隨之增加。然而，由推論3可知，金融機構設定的最優質押率并不是隨著貸款利率的增加而持續增加。其實，當貸款利率增加時，融資企業在質押期末需要償還的貸款本息和也在增加，因此違約的可能性越來越大，這樣金融機構則需要控制最優質押率的取值，來確保自己獲得盡可能多的期望利潤。根據推論3給出的表達式可計算出，當貸款利率I=89.95%時，最優質押率取得最大值0.757，隨后最優質押率開始下降。

4? 結束語

本文研究了改良率服從兩參數威布爾分布的改良品質押融資最優質押率決策，從金融機構視角建立期望收益函數，推導出最優質押率的表達式，并探討了市場需求、存款利率及貸款利率等參數對最優質押率的影響。改良品質押融資業務在現實中已廣泛開展，政府部門和金融機構也先后多次發文支持改良品質押融資，可以預見未來一段時間該業務將迎來快速發展。

金融機構在推廣改良品質押融資業務過程中還面臨著一些問題。如不同改良類型的改良品，甚至同一類改良品在不同的環境下，其在質押期間的凈改良率數據也不相同。因此，金融機構在設定最優質押率時，需要得到改良品的大量改良數據來計算α、β值，這為金融機構開展改良品質押融資業務增添了些許困難。

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