考慮過程的最大似然估計

新疆財經(jīng)大學 周思收

一、問題分析

最大似然估計是根據(jù)最后的結果（數(shù)據(jù)）給出參數(shù)的估計。而體育比賽中存在最后結果（比分）相同，但在此之前一位選手（甲）總是領先另一位選手（乙）的情形，本文試著給出在這種情形下該選手與其對手實力對比的一個估計。

首先，把這個問題轉化為抽樣問題：在一箱子中，有不同數(shù)量的紅球和黑球分別代表A與B的水平，抽出紅球代表A贏，抽出黑球代表B贏。這里采用放回抽樣(這樣，紅球不會抽出得越多，余下得越少)，抽出做記錄后立即放回原球。

不妨設在箱子中有1000 個黑球，用b表示取出黑球的個數(shù)。設箱子中有x個紅球，用r表示取出紅球的個數(shù)。

圖1

可以看出在x=1000 處，y1取最大值。

圖3

圖中有2 個交點，x該取哪個點？注意到，縱坐標代表x取某點值時抽出相應結果的可能性，故應把3 條曲線的和作為判斷的依據(jù)，如圖4 所示。

圖4

可以看到，在x=1200 附近，三者的概率之和最大。這可解釋為當x在1200 附近時，出現(xiàn)這三種情況(1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2)的可能性最大。

令y=y1+y2+y3，求其極值，得x=1251.51，結果與圖4 吻合。

這里有一個有趣的問題：當甲、乙兩人的比分是2 ∶2 時，按這種方法得出的結果顯示兩人的水平并不相同。仔細分析可以發(fā)現(xiàn)：比分依次是1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2。可以看出，甲是領先的，而乙卻是通過追趕才追平的。這就說明了這種估計方法是考慮過程的估計方法。但在一些賽事中，甲先贏一局和乙先贏一局所含的意義是明顯不同的。如果甲一直領先，乙一直在追趕，追平，再追趕，那么顯然，甲對乙有一定的優(yōu)勢。

既然這種方法是考慮了過程的估計，那么對于給定的一組樣本數(shù)據(jù)，它只可能表示一種從開始到結束的比分情況，樣本數(shù)據(jù)1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2 表示一種情況，而數(shù)據(jù)1 ∶1、1 ∶2、2 ∶2 則表示另一種情況。

二、對結論的改進及完整的定義

在此，重新對探討的問題進行定義：甲 、乙兩人進行某種比賽，甲贏1 局記為r， 乙贏1 局記為b。進行n（n＜30）局后，記錄數(shù)據(jù)設為ω，求下一局甲贏的可能性。

三、結論驗證

在實際比賽中，比分是不斷變化的，兩個選手的比分中出現(xiàn)某個過程的次數(shù)比較少，因而有很大的偶然性，需從大量數(shù)據(jù)中抽出這些過程，進而觀察經(jīng)過某一過程后，一方下一局（球）贏的概率。

在2014 澳網(wǎng)比賽中，考慮某一局比賽，設定過程F為：

1 ∶1 2 ∶1 2 ∶2 2 ∶3 或者

1 ∶1 1 ∶2 2 ∶2 3 ∶2

設定過程E為：

1 ∶1 2 ∶1 2 ∶2 3 ∶2 或者

1 ∶1 1 ∶2 2 ∶2 2 ∶3

過程E表示某個選手在（1 ∶1、2 ∶1、2 ∶2）領先的情況下贏得下一球。而過程F則表示遭遇逆轉。根據(jù)第2 節(jié)的結論，可以得出：

在2 ∶1 →2 ∶2 的過程中，x0=1190。