具有串聯軸伺服進給系統的跟隨誤差控制策略

呂盾,劉碩,趙艷超,李文慶,趙萬華,盧秉恒

(1.西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室,710054,西安; 2.科德數控股份有限公司,116600,遼寧大連)

高檔數控機床一般指高速高精度多軸聯動數控機床,廣泛用于航空、航天、汽車及能源工程等領域關鍵零件的加工。跟隨誤差是數控機床精度的關鍵指標之一。進給過程中各軸跟隨誤差的大小直接決定了多軸數控機床聯動軌跡誤差及加工零件輪廓誤差[1]。

跟隨誤差源于伺服控制對輸入指令的相位滯后和對指令高頻分量的衰減。當前,前饋控制器和濾波控制器結合是減小跟隨誤差的主流控制策略。

前饋控制器主要用于減小相位滯后,消除勻速運動中的跟隨誤差。零相差跟蹤控制器(ZPETC)是前饋控制器研究中的代表性成果[2]。ZPETC適用于低頻范圍,無法在高頻范圍內實施有效控制,例如圓角跟隨過程[3]。Tomizuka通過前饋增益濾波補償器,改善了ZPETC增益隨頻率增加而降低的現象[4],零相差跟蹤控制器依賴于系統模型的準確性[3],系統參數的變化和干擾會造成控制作用的失效,因此該方法與摩擦力、反向間隙及軌跡誤差補償[5]、干擾觀測器[6]及魯棒控制器[7]等方法結合,進一步增強了伺服系統抗參數變化能力和抗干擾能力。Tomizuka進一步引入參數在線識別算法,提出自適應零相差跟蹤算法[8]。Tung等對ZPETC算法的性能進行了實驗測試,發現其圓軌跡的加工精度相比于工業機床最高提高到了20倍[9]。Torfs等在此基礎上提出一種拓展帶寬零相差跟蹤控制算法[10],首先施加零相差跟蹤控制器,然后添加額外的前饋控制器以進一步消除剩余的跟隨誤差,實驗證明了該算法可以獲得遠高于原始ZPETC算法的跟隨精度。Braembussche等將狀態反饋、前饋控制和力矩波動補償同時應用于跟隨誤差控制中,采用前饋控制以減小跟隨誤差[11]。目前工程上多采用速度前饋控制器,避免對于模型準確性的依賴。

濾波控制器的主要作用是抑制限制伺服帶寬提高的機械模態、提高伺服帶寬、降低加減速運動過程中的跟隨誤差。對于典型的滾珠絲杠進給系統,聯軸器的扭轉模態、絲杠的一階軸向振動模態、絲杠的一階和二階扭轉振動模態等都可能成為限制伺服帶寬提高的因素。針對這些限制因素,Smith等采用模態濾波器,通過零極點對消方法補償兩個扭轉振動模態,將滾珠絲杠進給系統的伺服帶寬提高到100 Hz[12-13]。Kamalzadeh等采用自適應滑?？刂破饕种茲L珠絲杠進給系統一階軸向振動模態[14],采用陷波濾波器抑制一階和二階扭轉振動模態[15],結合摩擦補償及主動阻尼,將伺服帶寬提高到200 Hz以上,在進給速度為60 m/min、加速度為10 m/s2的條件下,將跟隨誤差控制到1.6 μm。Yi等采用零相差陷波濾波器,將滾珠絲杠進給系統的伺服帶寬由50 Hz提高到了150 Hz[16]。Zhou等考慮到機械動態特性隨位置的變化,設計自適應陷波濾波器[17]。Kamalzadeh等采用陷波濾波器補償絲杠的扭轉模態,提高位置環帶寬[18]。呂盾等采用零相差與模態濾波綜合控制策略,當進給速度為30 m/min、加速度為10 m/s2時,將閉環內伺服進給系統動態誤差由傳統PID控制策略下的16.486 mm大幅降低到15.5 μm[19]。此外,針對長傳動鏈擺頭主軸對高加速啟停指令響應能力低、啟停時間長的問題,提出模態濾波器與雙T網絡陷波濾波器綜合控制策略,將伺服控制帶寬由12 Hz提高到110 Hz[20]。Liu等從非同位控制的角度分析了帶寬受限的原因[21]。數控機床進給系統在閉環控制下是典型的非同位控制系統。進給軸的位置反饋點與電機驅動點不在同一位置,其間的動力學特性引起非同相振動,造成失穩,限制帶寬提高。采用峰值濾波器將非同相振動調整為同相振動,提高了速度環增益,消除了非同位控制對位置環的不利影響。Zheng等在傳統PID控制框架上增加速度控制環,將電機和工作臺速度差作為振動信號反饋速度控制器,大幅提高位置環帶寬[22]。

上述研究主要針對滾珠絲杠伺服進給系統,通過對絲杠一階、二階扭轉振動等模態的抑制,實現了位置環帶寬的大幅提高和跟隨誤差的大幅降低。然而,多軸數控機床雖然各個進給軸在控制上彼此獨立,但是在結構上卻相互耦合,總有某個或某幾個進給軸串聯著其他進給軸運動。這種結構上的耦合使滾珠絲杠進給系統串聯了更多機械環節,引入新的機械模態。針對滾珠絲杠進給系統一階、二階扭轉振動等模態設計的濾波策略,無法對新引入的機械模態進行抑制,造成跟隨誤差控制作用的失效。

本文通過建立具有串聯軸伺服進給系統的動力學模型,分析串聯軸引入的機械模態。設計陷波濾波控制器與模態濾波控制器組合方案,對滾珠絲杠進給系統的高階模態及串聯軸引入的低階模態進行抑制,研究限制伺服帶寬提高的關鍵模態,分析各組合方案伺服帶寬及跟隨誤差的影響。在此基礎上,提出針對具有串聯軸伺服進給系統的跟隨誤差控制策略。

1 具有串聯軸滾珠絲杠進給系統的動力學模型

1.1 進給系統結構

圖1所示為三軸立式數控銑床。X軸采用滾珠絲杠進給系統,主要由伺服電機、聯軸器、絲杠、螺母及導軌等部件組成。除了自身的傳動部件外,該軸還串聯了Z軸。具有串聯軸滾珠絲杠進給系統結構如圖2所示。

圖1 三軸立式數控銑床Fig.1 X-axis of a three-axis vertical CNC milling machine

(a)正視圖 (b)側視圖圖2 具有串聯軸滾珠絲杠進給系統結構Fig.2 Schematic diagram of the structure of the ball-screw feed system with tandem axis

1.2 多剛體動力學模型建立

采用集中參數法建立具有串聯軸滾珠絲杠進給系統的動力學模型。為表征串聯軸Z軸與X軸之間的柔性,進行了如下等效。

(1)在X軸的進給運動中,串聯Z軸的慣性力與X軸的驅動力往往不重合,造成Z軸存在繞Y軸的慣性力矩,導致Z軸產生繞Y軸的偏擺振動。為表征這種Z軸繞Y軸的偏擺振動,將兩軸之間的柔性等效為扭轉彈簧阻尼元件Kt和Ct。

(2)Z軸運動結構件的質量為mt,Z軸繞Y軸相對于質心B的轉動慣量為Jt。

此外,為了表征滾珠絲杠的一階、二階扭轉模態,對X軸滾珠絲杠進給系統進行了如下等效:

(1)以聯軸器和螺母位置為分界,將電機轉子、聯軸器和滾珠絲杠等旋轉部件等效為3個集中質量塊J1、J2和J3;

(2)將X軸滑鞍等效為集中質量塊ma;

(3)將聯軸器柔性等效為扭轉彈簧阻尼元件K1和C1;

(4)將滾珠絲杠的扭轉柔性等效為扭轉彈簧阻尼元件K2和C2;

(5)將滾珠絲杠進給系統在進給方向的軸向拉壓柔性等效為線性彈簧阻尼元件Ka和Ca;

(6)將電機、軸承及絲杠傳動部分的摩擦和工作臺直線導軌的摩擦分別等效為阻尼元件Crf和Clf。

忽略其他非線性因素,所建立的等效系統動力學模型如圖3所示。圖中,Tm為電機扭矩輸入;θ1為電機轉子的角位移;θ2和θ3分別為絲杠等效慣量J2和J3的角位移;xa為X軸滑鞍的軸向線位移;θt為Z軸繞Y軸轉動的角位移;rg為滾珠絲杠的傳動比;Xend為X軸末端位移。

圖3 等效系統動力學模型Fig.3 Equivalent dynamic model

利用拉格朗日方程求解上述等效動力學模型的動力學方程。

由于θt轉動很小,可將Z軸繞Y軸的轉動近似為水平運動,Z軸轉動中心、質心及速度瞬心的幾何關系如圖4所示。圖中,A為Z軸繞Y軸的轉動中心;B為Z軸的質心;C為速度瞬心,由A和B的速度大小及方向確定;L1為Z軸質心B相對于轉動中心A的距離;L′為質心B相對于速度瞬心C的距離。

圖4 Z軸轉動中心、質心及速度瞬心的幾何關系Fig.4 The geometric relationship among Z-axis rotation center, mass center, and instant center of velocity

(1)

(2)

由式(2)可得質心B與瞬心C之間距離為

(3)

根據式(1)(3),可得該時刻質心相對于速度瞬心的轉動角速度ω為

(4)

Z軸的動能Tt為

(5)

利用動能定理并結合式(5),可得該系統的總動能為

(6)

系統的總勢能為

(7)

系統的耗散能為

(8)

為使動力學模型反映滾珠絲杠一階、二階扭轉振動及串聯Z軸的振動,將等效動力學模型中每個慣量的運動均選為廣義坐標qi

qi={θ1θ2θ3xaθt}T

(9)

廣義力矩陣Qi為

Qi={Tm0000}T

(10)

令L=T-V,得到系統拉格朗日方程

(11)

綜上可得,系統的動力學方程為

(12)

該系統的動力學方程可表達為

(13)

表1 動力學模型的參數

1.3 模態分析

將式(13)兩邊進行拉普拉斯變換,得到系統的傳遞函數矩陣為

(14)

式中:Hij(s)(i=1,…,5;j=1,…,5)表示第i個慣量的位移響應與施加在第j個慣量上的激勵力之間的傳遞函數。無阻尼條件下進給系統動力學方程(13)可寫成

(15)

求解其特征方程,可得該系統存在4階模態,滾珠絲杠進給系統俯視、側視圖及各階模態振型如圖5所示。

(a)一階振型 >(b)二階振型

(c)三階振型 (d)四階振型圖5 滾珠絲杠進給系統俯視、側視圖及各階模態振型 Fig.5 Top view, side view and mode shape diagrams of each order of the ball-screw feed system

圖5a為第一階模態,其主導振型為Z軸繞Y軸的轉動,固有頻率為53.2 Hz。

圖5b為第二階模態,其主導振型為X軸傳動系統的軸向振動和Z軸繞Y軸轉動的耦合振型,固有頻率為135 Hz。

圖5c和圖6d分別為第三、四階模態,其主導振型分別為滾珠絲杠的一階和二階扭轉振動,固有頻率分別為404.7 Hz和954.5 Hz。

1.4 動力學模型的實驗驗證

為了驗證動力學模型的準確性,對圖1所示的X軸進行機械頻響測試和模態測試。X軸的相關機械與伺服參數如表2所示。

采用安川伺服調試軟件Sigmawin給電機施加正弦掃頻激勵力信號,進行機械頻響測試。激勵時間為250 ms,采樣頻率為3 200 Hz。通過測試得到

表2 X軸的相關機械與伺服參數

電機力矩-編碼器速度的原點頻響,實驗測試與理論計算結果對比如圖6所示。

圖6 實驗測試與理論計算結果對比 Fig.6 Comparison of experimental test and theoretical calculation results

頻響實驗測試結果顯示,該進給系統具有23、52、68、378和941 Hz 5階固有頻率。在上述5階固有頻率中,378 Hz和941 Hz的2階固有頻率與理論計算結果相近,容易確定上述2階固有頻率分別對應理論計算結果中的三階和四階模態。

為了辨別3個低階固有頻率所對應的模態,使用LMS振動測試系統進行模態測試,得到實驗測得3階模態振型如圖7所示。

(a)一階振型(固有頻率為23 Hz)

(b)二階振型(固有頻率為49.8 Hz)

(c)三階振型(固有頻率為68 Hz)圖7 實驗測得3階模態振型Fig.7 Experimentally measured three mode shapes

從圖7a可以看出,實驗測得的第一階模態固有頻率為23 Hz,振型為Z軸、滑鞍和Y軸的整體振動。該模態可以視為整機模態,在理論模型中未體現。

從圖7b可以看出,實驗測得的第二階模態固有頻率為49.8 Hz,主振型為Z軸繞Y軸的轉動。因固有頻率相近、振型相同,該模態對應理論計算結果中的第一階模態。

從圖7c可以看出,實驗測得的第三階模態固有頻率為68 Hz,主振型為X軸的軸向振動和Z軸繞Y軸轉動振動的耦合。盡管該模態的固有頻率與理論計算結果存在一定的偏差,但是其振型與理論計算結果相對應,因此該模態對應理論計算結果的第二階模態。

上述頻響測試和模態測試結果表明,理論計算結果和實驗測試結果基本一致,可以證明動力學模型的正確性。

通過模態分析、頻響測試和模態測試可以發現,具有串聯軸的滾珠絲杠伺服進給系統除了包含絲杠典型的一階、二階扭轉振動模態,串聯軸還引入了兩個低階模態。

2 速度前饋和濾波控制器設計

速度前饋控制器與濾波控制器為當前面向跟隨誤差控制采用的主要控制策略。本節基于具有串聯軸的伺服進給系統動力學模型,設計前饋控制器、模態濾波器和陷波濾波器,可以進一步分析限制伺服帶寬提高的關鍵模態,研究不同濾波器對伺服帶寬和跟隨誤差的影響。

2.1 基本三環控制策略和速度前饋控制器設計

圖1所示的立式數控銑床X軸進給系統為半閉環控制,采用電流環、速度環和位置環三環控制結構。

將電流環簡化為一階慣性環節。電流環等效傳遞函數Hc(s)、速度環PI控制器傳遞函數Cv(s)和位置環P控制器傳遞函數Kp(s)分別為

(16)

式中:Kc為力矩常數;Tc為電流環時間常數;Kvp為速度環比例增益;Kvi為速度環積分增益;Kp為建模仿真的位置環增益。

在基本三環控制框圖下引入速度前饋,提高伺服帶寬,減小相位滯后。前饋控制器傳遞函數為

Fv(s)=Kvfs

(17)

式中Kvf為速度前饋系數。

由式(14)可得半閉環控制下電機力矩-編碼器直線位移的傳遞函數為

(18)

式中Xenc為偏碼器位移。

2.2 模態濾波器設計

模態濾波器(MFC)通過控制器的零點極點與機械系統模態的極點零點相互抵消,以抑制機械模態共振峰引起的系統振動及彌補反共振峰造成的帶寬損失。模態濾波器Hmfc(s)為

(19)

式中:Rezn表示第n階模態零點的實部;Imzn表示第n階模態零點的虛部;Repn表示第n階模態極點的實部;Impn表示第n階模態極點的虛部。

由式(18)可得機械系統傳遞函數零極點,如圖8所示,各階模態零極點計算結果如表3所示。

表3 各階模態零極點計算結果

圖8 機械系統傳遞函數零極點分布圖Fig.8 Distribution of poles and zeros of mechanical system

然而,高階模態共振峰阻尼小、剛度高,共振峰與反共振峰十分尖銳(如圖6所示),實際測試中難以準確得到系統零極點參數。若無法準確得到高階模態零極點參數,會在系統中引入不穩定極點,導致系統失穩。因此,模態濾波器一般適用于低階模態。

將兩個低階模態的零極點代入式(19),可得模態濾波器的傳遞函數為

(20)

2.3 陷波濾波器設計

陷波濾波器通過抑制機械模態的共振峰實現系統諧振的抑制和伺服控制帶寬的提高。對于滾珠絲杠進給系統,一般采用陷波濾波器對絲杠的一階、二階扭轉振動等高階模態進行抑制。

選用雙T網絡陷波器,其傳遞函數為

(21)

其中a=1/ω0,b=k1/ω0,c=k2/ω0。

根據陷波濾波器的濾波頻率點ω0、陷波器帶寬k1和陷波器深度k23個參數可以確定a、b、c的系數。陷波帶寬Rw和陷波深度Dp與雙T網絡陷波器系數k1、k2的關系如下

(22)

將相應參數代入式(22),可得低階模態陷波濾波器傳遞函數為

(23)

將相應參數代入式(23),可得高階模態陷波濾波器傳遞函數為

(24)

2.4 綜合控制框圖

基于前述基本PID三環控制框架和前饋控制器,將濾波控制器嵌入伺服控制系統速度環內,建立伺服進給系統綜合控制策略,其控制框圖如圖9所示。

圖9 綜合控制策略框圖Fig.9 Block diagram of integrated control strategy

由圖9可得系統位置環閉環傳遞函數G(s)為

(25)

3 濾波組合方案對伺服性能的影響

根據綜合控制策略框圖以及各濾波器設計方法,針對串聯軸引入的低階和滾珠絲杠進給系統的高階模態設計4組不同的濾波組合方案,濾波組合方案及其伺服性能參數如表4所示。

伺服進給系統的伺服性能和跟隨誤差不僅取決于濾波器,還取決于伺服參數。伺服參數的整定既要滿足跟隨誤差的要求,還要滿足系統穩定性的要求。因此,調整各組合方案下的速度前饋系數、位置環增益、速度環增益等伺服參數,使幅值穩定裕度相近,在相近穩定性約束下進行各個組合方案的比較。

由于前饋不影響系統穩定性,為簡化分析,采用如圖10所示的無前饋綜合控制框圖分析系統穩定裕度。

圖10 無前饋綜合控制框圖Fig.10 Integrated control block diagram without feedforward

系統位置環開環傳遞函數O(s)為

(26)

調整各組合方案下的伺服參數,根據式(26)可得各組合方案下系統幅值穩定裕度分別為23.9、24.9、17.4和23.9 dB。

表4 濾波組合方案及其伺服性能參數

3.1 濾波組合方案對位置環帶寬的影響

由式(26)可得4組濾波組合方案下系統位置環閉環幅頻曲線如圖11所示。

組合方案Ⅰ對四階模態均未進行濾波,以此為基準研究其他組合方案對位置環帶寬的影響效果。以伺服系統幅頻曲線幅值降低到-3 dB定義系統帶寬,組合方案I的位置環帶寬為41 Hz,-3 dB線與曲線交點位于第一階模態反共振峰前。

組合方案Ⅳ為當前工程中常采用的方案,即僅對絲杠的兩個高階模態進行陷波濾波。然而,由于低階模態為限制位置環帶寬的主導模態,因此僅對高階模態進行陷波濾波,位置環帶寬并未得到提高,仍為41 Hz。-3 dB線與曲線交點位于第一階模態反共振峰前。

組合方案Ⅱ對兩個低階模態和兩個高階模態均采用陷波濾波。然而,由于陷波濾波器僅能抑制共振峰,無法修正反共振峰引起的帶寬損失,其位置環帶寬僅為43.2 Hz,仍未有顯著提高。-3 dB線與曲線交點位于第一階模態反共振峰前。

(a)各濾波組合方案下系統閉環幅頻曲線

(b)系統閉環幅頻曲線局部放大圖圖11 各濾波組合方案下系統閉環幅頻曲線Fig.11 System closed-loop amplitude-frequency curves in each filter combination scheme

組合方案Ⅲ對兩個高階模態采用陷波濾波,對兩個低階模態采用模態濾波。后者修正了低階模態對反共振峰帶來的帶寬損失,其位置環帶寬顯著提高,達到155 Hz。-3 dB線與曲線交點位于第二階模態共振峰后。

3.2 濾波組合方案對跟隨誤差的影響

設計單軸往返運動軌跡,參數設置如表5所示。表中進給速度及最大加速度為運動過程中要求達到的最大值。加速度建立時間為加速度從0加到最大值所需的時間,即從圖12b加速度變化曲線中A點到B點所用時間。

表5 單軸往返運動軌跡參數設置

編寫該運動軌跡G代碼,并將其輸入科德GNC61數控系統,讀取插補生成的指令位置序列,其速度、加速度及加加速度曲線如圖12所示。從圖中可以看出,速度及加速度均達到了設置要求。

(a)進給速度曲線 (b)加速度曲線 (c)加加速度曲線圖12 指令時域指標變化曲線Fig.12 Set-points time-domain indicator change curves

將指令位置序列輸入圖9所示的控制框圖,得到各個組合方案下的跟隨誤差如圖13所示,相應跟隨誤差最大值見表4。從圖中可以看出,勻速段的跟隨誤差明顯低于加減速段,且跟隨誤差基本得到控制,表明速度前饋起到了對勻速段跟隨誤差的控制作用。

(a)各組合方案下跟隨誤差

(b)各組合方案下跟隨誤差局部放大圖圖13 各組合方案下的跟隨誤差Fig.13 Following error under each combination scheme

加減速段跟隨誤差的相對大小順序為組合方案Ⅳ、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。位置環帶寬高者,跟隨誤差低。

從上述分析可以看出,對于具有串聯軸的滾珠絲杠伺服進給系統,低階模態和高階模態分別采用模態濾波器和陷波濾波器可顯著提高位置環帶寬、降低跟隨誤差。陷波濾波器與模態濾波器實質上都是二階濾波器,均可基于二階濾波器構造。通過頻響測試得到系統頻響曲線和各階模態參數。針對高階模態,確定要濾除的高階模態頻率ω0,將輸入陷波帶寬Bω和陷波深度Dp代入式(21)(22),構造陷波濾波器。針對低階模態,將頻響測試得到的各低階模態零極點參數代入式(19),構造模態濾波器。

4 結 論

本文研究了具有串聯軸伺服進給系統的跟隨誤差控制策略,得出以下結論。

(1)對于具有串聯軸的滾珠絲杠伺服進給系統,由串聯軸引起的低階模態是限制位置環帶寬提高的關鍵模態。僅采用工程上常用的陷波濾波器對絲杠的高階模態進行抑制,無法提高具有串聯軸滾珠絲杠伺服進給系統的位置環帶寬,也無法有效控制跟隨誤差。

(2)采用模態濾波器對串聯軸引入的低階模態進行濾波,采用陷波濾波器對絲杠的高階模態進行濾波,可大幅提高位置環帶寬,顯著降低跟隨誤差。對于具有串聯軸的滾珠絲杠伺服進給系統,其跟隨誤差控制策略應為速度前饋控制器與低階模態模態濾波器和高階模態陷波濾波器的結合。