材料中含記憶項的非自治分數階隨機熱方程的漸近行為

李林妍， 舒 級， 李 輝， 白欠欠

（四川師范大學 數學科學學院 可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室，四川 成都610066）

近十多年來，分數階微積分理論受到國內外學者的廣泛關注，特別是從實際問題抽象出來的分數階偏微分方程成為大家的研究熱點，在化學、物理、生物、人口動力學和金融等領域都有涉及，一些含有分數階導數的經典數學物理方程能更好地描述復雜現象和復雜系統，包括分數階Schr?dinger方程［1-3］、分 數 階Landau-Lifshitz方 程［4］、分 數 階Landau-Lifshitz-Maxwell 方 程［5］、分 數 階Ginzburg-Landau方程［6-11］和分數階隨機反應擴散方程［12-13］.

研究如下帶記憶項的分數階隨機反應擴散方程

其初邊值條件分別為

其中，O為R3上帶有光滑邊界?O的有界區域，α∈（0，1），ε為正常數，u（x，t）是未知函數，μ是一個非負記憶核，f是非線性項，k（·）∈L2loc（R，L2（O）），h（·）∈H2α，W是概率空間上的雙邊實值Winner過程.在本文中，u的動力學行為依賴于擴散項過去的歷史，即

當α∈（0，1）時，稱（-Δ）α為分數階拉普拉斯算子.在有界區域O上，分數階拉普拉斯算子有不同的定義，包括積分分數階拉普拉斯算子和譜分數階拉普拉斯算子兩種定義.當α＝1時，-Δ是標準的拉普拉斯算子.文獻［14-19］提出拉回隨機吸引子的概念，是確定系統的整體吸引子的推廣［20-23］，很好地刻畫了隨機動力系統的長時間行為.近年來，許多學者已深入研究帶有標準拉普拉斯算子的隨機方程的隨機吸引子，比如自治方程［19，22，24-44］和非自治方程［12，38，45-50］.特別地，文獻［51］證明了（1）式的隨機吸引子的存在性.當α∈（0，1）時，目前只有幾篇文獻討論了隨機分數階偏微分方程解的漸近行為［7，12，52］.注意到，當等［53］用譜分數階拉普拉斯算子定義證明了方程（1）隨機吸引子的存在性.受文獻［12，53］的啟發，本文將用積分分數階拉普拉斯算子定義來研究方程（1）在時的隨機吸引子的存在性和上半連續性.另外，當有記憶項時，由于包含現象過去的全部歷史，不能證明方程（1）產生的隨機動力系統的緊性，但是，可以通過分解方法證明其漸近緊性，從而得到緊隨機吸收集的存在性.

1 預備知識

最后，為了方便起見，全文用c或者C表示正常數，特別地，用c（·）或C（·）表示與·有關的正常數，這些常數可能不同.

2 隨機動力系統

方程（10）-（12）能產生一個連續的隨機動力系統.

由于（4）式給出的分數階拉普拉斯算子（-Δ）α是非局部算子，類似于文獻［51］，可將（2）式中條件x∈?O換為x∈R3＼O，即對α∈（0，1），有

其中非線性函數f滿足

3 隨機吸引子

對（46）式右邊第一項，由于φτ-t∈D（τ-t，θ-tω）（∈D）及z（ω）是緩增的，于是存在T（τ，ω，D，ε）＞0使得對所有t＞T（τ，ω，D，ε），有

對（46）式右邊第二項，由（34）式知

接下來證kε是緩增的，即kε∈D.由（50）式可得

由（35）式可知

又r（ω）及z（ω）均是緩增的，則根據（52）式可得Rε是緩增的，即

4 上半連續性

由（8）及（88）式得

證明 由文獻［39］中的定理3.2、（82）和（86）式及引理4.1，結論成立.

致謝 四川師范大學2019年研究生優秀論文培育基金項目（201903-12）和四川省可視化計算與虛擬現實重點實驗室對本文予以資助，謹致謝意！