具Stokes阻尼項的六階非線性波動方程整體解的存在性與解的爆破

華 洋， 王 穎

（電子科技大學 數學科學學院，四川 成都611731）

1 引言與預備知識

近年來，國內外學者對KdV方程的初值問題進行了大量研究，該方程模擬平面波在幾種非線性色散介質中的單向傳播，但不能預測高振幅波的動向.因此，Rosenau［1-2］提出了Rosenau方程自然地想到在初始能量E（0）＜0，E（0）＝0，E（0）＞0時對方程的整體解進行研究.結合初值條件，本文主要研究如下具有Stokes阻尼項的六階非線性波動方程

考慮到由系統內部發生的不可逆過程引起的內部摩擦，由文獻［3］知，耗散函數依賴于相對位移的時間導數引出具有流體動力阻尼項的Rosenau方程文獻［4］研究了（1）式的Cauchy問題小振幅解的整體存在性.基于相對應線性方程（1）的解的衰減估計和Banach不動點定理，文獻［5］證明了（1）式在初值條件t＝0，u＝v0（x），ut＝v1（x），x∈Rn下解的整體存在性和漸近性，其中v0（x）∈W˙-2γ，q，Cauchy問題解的爆破及其在超臨界初始能量E（0）＞0時整體解的存在唯一性，其中u（x，t）為未知函數，f為非線性函數，φ（x）與ψ（x）為已知的初始函數，ν為常數.本文將采用文獻［7］中的方法，構建新的勢阱來討論問題.在本文中分別用Lp和Hs來表示空間Lp（Rn）和空間Hs（Rn），其范數為.若將流體動力阻尼項νΔut替換為Stokes阻尼項νut，則可得到非線性波動方程

文獻［6］主要在小初值條件下利用壓縮映射原理研究了上式的衰減性，而并未提及初始能量.所以很

為了在任意正能量時得到解的整體存在性，定義如下空間：

2 整體解的存在唯一性

3 解的爆破

下面討論問題（2）（3）解的爆破［15-16］.

定理1.3的證明 不妨設φ∈V，u（t）是問題（2）在E（0）＞d，u0∈V時的解，則由引理2.4知u（t）∈V.假設u（x，t）是全局解的這一命題矛盾.對任意T1＞0，定義

定理得證.