高階Allen-Cahn系統(tǒng)吸引子的正則性

潘嬌嬌， 羅 宏

（四川師范大學 數(shù)學科學學院，四川 成都610066）

Allen-Cahn方程由文獻［1］引入，用于描述微觀擴散運動，在反映擴散問題和材料流體動力學中有廣泛應(yīng)用，如圖像修復處理［2］、腫瘤生長［3］、隨機擾動［4］和晶體模型問題［5-6］等.該方程已有相關(guān)研究，Maicon［7］研究了在諾伊曼邊界條件下的一維Allen-Cahn方程，證明了解的存在性以及該系統(tǒng)在H1a（0，1）中至少存在一個非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.劉桂蘭［8］考慮了具有非局部項的Allen-Cahn方程的初邊值問題，利用Schauder不動點定理得到了該初邊值問題解的存在性.

本文研究高階Allen-Cahn系統(tǒng)的初邊值問題

Cherfils等［9］研究了系統(tǒng)（1）在L2（Ω）空間中吸引子的存在性，本文利用算子半群理論和迭代方法研究系統(tǒng)（1）在Hγ（γ＞0）空間中全局吸引子的存在性，該方法廣泛地應(yīng)用于數(shù)學物理問題［10-13］.

1 預備知識

其中Hα＝D（Lα）是Lα的定義域.由算子半群理論

可知，對于?α＞β，Hα?Hβ是一個緊嵌入.

定義線性算子L：H1→H和非線性算子G：H1→H

2 主要結(jié)論

其中，β＝α，0＜β＜1，C＞0是與φ無關(guān)的常數(shù).使用迭代方法可得‖u（t，φ）‖Hα≤C，α≥0對?t≥T，φ∈U成立，即對?α≥0，系統(tǒng)（1）在Hα中存在有界吸收集，定理2.5得證.

最后，由引理1.4、定理2.4和定理2.5可以得到本文的主要定理2.6.

定理2.6 若φ∈Hγ，則系統(tǒng)（1）在空間Hγ（?γ≥0）中存在全局吸引子.