基于包絡理論的諧波傳動共軛齒廓求解和嚙合分析

李鵬超 何雪明 盧立新 林自東

(1. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2. 江南大學機械工程學院，江蘇 無錫 214122；3. 山東碧海包裝材料有限公司，山東 臨沂 276600)

隨著機器人技術的快速發展，傳統的食品加工工廠向智能化，無人工化邁進。其中，工業機器人是實現智能化食品加工工廠的重點裝備，而其中諧波減速器主要作用于工業機器人機械臂的關節處，是影響機器人性能的重要部件之一。諧波減速器由柔輪、鋼輪和波發生器組成，其傳動主要依靠柔輪的可控的彈性變形來傳遞運動，通常以鋼輪固定，柔輪作為輸入，波發生器作為輸出來實現運動的傳遞。

諧波傳動中，齒形齒廓是影響諧波減速器高精密度的主要因素，柔輪與鋼輪高性能的嚙合取決于其齒廓的良好設計。目前關于齒形的研究有圖解分析法[1]56-59、等速曲線法[1]61-63、冪級數法[1]63-68、改進運動學法[2]、包絡法[3]和速度瞬心法[4]。20世紀50年代由美國學者Musser發明的諧波減速器，所用的齒廓即是直線齒廓，后來被工藝較好的漸開線齒廓代替[1]99-102。Ishikawa等[5]采用齒條近似法簡化的方法提出了S型齒廓。辛洪兵[6]在圓弧齒廓的基礎上提出了諧波傳動雙圓弧齒廓的設計方法。王家序等[7-8]對不同共軛原理的雙圓弧齒廓諧波傳動的共軛齒廓和共軛區域進行了對比分析。張寧等[9]基于柔輪裝配后實際齒廓線與理論齒廓線在空間位置上存在差異，為避免嚙合干涉或嚙合不充分情況，提出柔輪齒廓的修形方法模型來對柔輪齒廓進行設計優化。張雷等[10-12]對雙圓弧諧波傳動進行嚙合優化和仿真分析，探究其柔輪應力的影響規律。肖季常等[13]在基于諧波傳動共軛方法的基礎上提出三圓弧齒廓的設計方法，并探究三圓弧柔輪齒廓參數對共軛區間的影響。余金寶等[14]根據橢圓凸輪波發生器的運動規律推導柔輪的變形函數，并運用運動軌跡包絡求解鋼輪齒廓，通過嚙合仿真驗證所求鋼輪齒廓的合理性。前面幾篇文獻對諧波傳動共軛齒廓的求解主要是運用傳統的數值解法去推導共軛齒廓，未與運動仿真相結合。余金寶等[14]雖然結合了運動仿真去求解共軛齒廓，但是未考慮柔輪齒在空間的變形情況。

試驗擬以公切線式雙圓弧齒廓為研究對象，采用包絡理論運動學仿真的方法，根據柔輪運動軌跡的包絡，對包絡線進行最小二乘擬合求解出共軛鋼輪齒廓。同時，基于Matlab分析柔輪齒在空間的真實嚙合狀態調整柔輪齒沿軸向的不同齒高，并在Ansys workbench中建立諧波減速器完整的三維彈性接觸模型，分析柔輪的齒根圓半徑和加載的轉矩對其應力和變形的影響規律，以期優化其參數來降低柔輪的應力，提高柔輪的疲勞強度。

1 諧波傳動共軛齒廓設計

1.1 公切線雙圓弧齒廓

圖1為公切線雙圓弧柔輪齒廓坐標系，其由凸圓弧齒廓AB，公切線BC，凹圓弧齒廓CD組成。以柔輪中心線為Y軸，齒廓兩側公切線中點的連線為X軸，則X和Y軸的交點為公切線雙圓弧齒廓的坐標原點O。其各段齒廓相應的參數方程表達式為：

(1) AB段凸圓弧齒廓：

(1)

式中：

x1——柔輪凸齒廓橫坐標，mm；

y1——柔輪凸齒廓縱坐標，mm；

圖1 公切線雙圓弧齒廓示意圖

ρa——凸圓弧齒廓半徑，mm；

α1——凸圓弧角度參數變量，°；

X1——凸齒廓X偏心距，X1=-[ρa-(Sacosα)/2]cosα，mm；

Y1——凸齒廓Y偏心距，Y1=-[ρa-(Sacosα)/2]sinα，mm。

(2) BC段公切線：

(2)

式中：

x2——公切線段橫坐標，mm；

y2——公切線段縱坐標，mm；

Sa——齒厚，mm；

α——公切線夾角，°；

l——公切線長度參數變量，mm；

lp——為公切線長度，mm。

(3) CD段凹圓弧齒廓：

(3)

式中：

x3——柔輪凹齒廓橫坐標，mm；

y3——柔輪凹齒廓縱坐標，mm；

ρf——凹圓弧齒廓半徑，mm；

α2——凹圓弧角度參數變量，°；

X2——凹齒廓X偏心距，X2=(1+sin2α)Sa/2+ρfcosα，mm；

Y2——凹齒廓Y偏心距，Y2=ρfsinα-(Sasinαcosα)/2，mm。

1.2 基于包絡理論和運動學仿真的共軛齒廓設計

為表達諧波減速器各構件之間的相對運動關系，以鋼輪固定，波發生器輸入，柔輪輸出建立如圖2所示的坐標系統，其中坐標系CG(XG,YG)與鋼輪固連，坐標原點OG與諧波傳動的回轉中心重合，YG為鋼輪齒槽的對稱線；坐標系CR(XR,YR)與柔輪固連，坐標原點OR為柔輪齒的對稱線與柔輪原始曲線SR(原始曲線是指位于受載平面內柔輪的中線在波發生器作用下形成的彈性變形曲線)的交點，YR為柔輪輪齒齒廓的對稱線；坐標系C0(X0,Y0)與波發生器固連，坐標原點O0作用在諧波傳動的回轉中心，與OG重合，Y0與波發生器的長軸重合。

柔輪原始曲線在極坐標下的方程表達式為：

ρ=rm+ω(φ)，

(4)

式中：

ρ——柔輪極坐標半徑，mm；

rm——柔輪未變形時的半徑，mm；

ω(φ)——柔輪徑向變形量(以波發生器為標準橢圓波發生器)，ω(φ)=ω0cos2φ，mm；

圖2 諧波傳動轉角關系

ω0——柔輪最大徑向變形量，mm。

圖2坐標系中其余各參數表達式：

(5)

式中：

ν——柔輪的切向變形量，mm；

μ——柔輪輪齒的偏轉角，°；

γ——柔輪的轉角，°；

U/z1——廣義傳動比；

U——柔輪的變形波數，取2；

z1——柔輪齒數；

φ——柔輪的YR軸與鋼輪的YG軸的夾角，°。

基于包絡理論，與柔輪齒廓相共軛的鋼輪齒廓表達式為：

(6)

將式(1)～式(5)代入式(6)以求解共軛鋼輪齒廓，式(6) 包含有隱函數的偏導求解，其數值解不易求解，通過結合運動仿真可以簡化其求解過程。由柔輪坐標系到鋼輪坐標系的坐標映射關系，通過Matlab編程，以柔輪的一個單齒相對于鋼輪的一個完整的嚙入、嚙出過程，得到柔輪輪齒相對于鋼輪輪齒的運動軌跡，再對運動軌跡中的一系列曲線族進行數學包絡，通過最小二乘法擬合曲線族即可求得所需的鋼輪齒廓。圖3中的粗曲線即為與柔輪齒廓相共軛的鋼輪齒廓。

2 公切線雙圓弧諧波傳動嚙合分析

2.1 共軛柔輪空間齒廓計算實例

以模數m=0.311、柔輪齒數z1=160、鋼輪齒數z2=162，鋼輪固定、波發生器(以橢圓凸輪代替)輸入、柔輪輸出、單極傳動比為80的公切線雙圓弧齒廓的諧波減速器為例，柔輪齒廓參數如表1所示。

圖3 柔輪運動軌跡的包絡

圖4為一個柔輪齒的沿軸向側面的齒廓圖。由Matlab仿真分析可得修形角β=0.679°，此時共切線雙圓弧柔輪齒廓相對于共軛鋼輪齒廓嚙合軌跡不會發生齒廓干涉現象。圖5為柔輪齒齒廓在前端面和后端面的運動軌跡。

2.2 諧波傳動三維實體建模

建立諧波傳動三維模型,將模型以x_t格式導入Ansys workbench中。柔輪材料選用30 CrMnSiA，材料密度為7 750 kg/m3，彈性模量為1.96×105GPa，泊松比為0.3；鋼輪和橢圓凸輪材料選用40#碳素結構鋼,材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為2.10×105GPa，泊松比為0.269。選用八節點六面體單元對模型進行網格劃分，網格質量的好壞直接影響模型的分析結果，柔輪和鋼輪嚙合輪齒網格劃分應該更為精密，此處選用size為0.6 mm 對柔輪和鋼輪齒進行網格加密。波發生器和柔輪內側壁面的接觸size選用1 mm進行加密，其他區域選用2 mm進行網格劃分，網格劃分效果圖如圖6所示。

表1 柔輪齒廓參數

圖4 柔輪軸向輪齒修形示意圖

圖5 柔輪各截面的運動軌跡

考慮柔輪的結構特點，模型中存在的接觸面為：橢圓凸輪的外表面和柔輪內壁表面，橢圓凸輪外表面為“接觸面”，柔輪內壁表面為“目標面”；柔輪齒面和鋼輪齒面，柔輪齒面為“接觸面”，鋼輪齒面為“目標面”。接觸面的摩擦因數取0.1，鋼輪設置固定約束，柔輪和橢圓凸輪設置位移約束(只釋放其軸向的旋轉約束)。由于柔輪的應力求解為非線性大變形問題求解，所以求解時開啟“大變形”設置，同時為提高求解的收斂性，最小增量步調整為109。

2.3 柔輪應力與變形分析

通過Ansys進行諧波減速器的三維彈性接觸有限元分析，建立諧波傳動3種裝配狀態：① 柔輪和波發生器裝配；② 柔輪，波發生器和鋼輪裝配；③ 柔輪，波發生器和鋼輪裝配同時加載負載轉矩。分析其在柔輪長軸處的應力和變形，圖7為諧波減速器3種裝配狀態應力云圖，圖8 為柔輪徑向變形量，圖9為柔輪齒在長軸處沿軸向變形量。由圖8～圖9可知，在無轉矩的情況下，波發生器裝配和鋼輪裝配使柔輪變形量相近，而轉矩的施加使柔輪的變形量產生明顯的變化，因此轉矩是影響柔輪變形量的重要因素。

圖6 局部網格劃分效果圖

3 基于響應面模型柔輪應力分析優化

3.1 響應面模型建立

為探究轉矩和柔輪齒根圓半徑對柔輪應力的影響規律，現建立以轉矩和齒根圓半徑為參數的響應面模型，探究其對柔輪應力的影響。設計參數分析試驗，轉矩以兩個力Force1和Force2的形式施加在柔輪齒面上，這兩個力大小相等方向相反，參數如表2所示。

圖7 柔輪齒應力云圖

圖8 柔輪徑向變形量

圖9 柔輪齒長軸處沿軸向變形量

圖10為轉矩和柔輪齒根圓半徑對柔輪最大等效應力敏感度分析圖。由圖10可知，轉矩對柔輪應力的影響呈正相關，柔輪齒根圓半徑對應力的影響呈負相關。而且轉矩和柔輪齒根圓半徑都對柔輪應力有著較大的影響，所以如何在轉矩和柔輪齒根圓半徑所選用的取值范圍內取得合適的值，使得柔輪的應力最小還需要進一步探究。

3.2 柔輪參數對柔輪應力影響規律

由圖11可知，柔輪應力隨著負載轉矩的增加而增加，隨著齒根圓半徑的增加而下降。柔輪齒廓參數(柔輪齒根圓半徑)對應力的影響比負載轉矩更加明顯，這是由于諧波傳動為多齒嚙合傳動，單齒所受到的應力較小。當柔輪半徑取0.09 mm，負載Force1=100 N時，柔輪等效應力最大；當柔輪半徑取0.11 mm，負載Force1=90 N時，柔輪等效應力最小。

表2 柔輪參數設計點表

圖10 柔輪參數應力敏感度

圖11 柔輪參數對應力影響云圖

4 結論

(1) 基于包絡理論，結合運動仿真的數值解法，是一種可行的求解諧波傳動共軛齒廓的方法。

(2) 由柔輪的一個單齒相對于共軛的鋼輪齒廓以一個完成的嚙入嚙出過程畫出的運動軌跡，通過調節柔輪的齒形，使其嚙合過程在鋼輪齒廓的包絡下，無干涉發生。當柔輪齒主截面相對于后截面調節角度為β=0.679° 時，柔輪齒軌跡與鋼輪齒無干涉發生。

(3) 由于諧波傳動為多齒嚙合傳動，單齒所受的載荷較小，所以柔輪轉矩相較于齒廓參數對應力的影響較小。

(4) 試驗僅為理論分析，所求共軛齒廓的嚙合性能還需進一步驗證。