基于改進極限學習機的多維參數天線設計方法*

孟雯雯，胡 聰，趙建平，徐 娟

（曲阜師范大學，山東 曲阜 273165）

0 引言

隨著現代通信技術的發展，通信系統對微波天線的要求日益嚴格，天線模型也越來越復雜。為了使微波天線滿足通信系統的不同需求，需要不斷對其進行優化設計。

隨著計算機計算能力的提高，同時為了提高微波天線的設計效率，降低時間成本，利用計算機輔助設計優化設計微波天已經成為一種必然趨勢。神經網絡是一種快速建立映射關系的方法[1-2]，理論表明，只需兩層神經網絡便可表征任意高階的非線性函數輸入與輸出之間的關系[3]，但是傳統的單隱層前饋神經網絡需要經過大量的迭代來優化其網絡參數，存在訓練速度慢、學習能力差、預測不準確等問題。

極限學習機（Extreme Learning Machine，ELM）是一種基于前饋神經網絡構建的新型機器學習方法，學習速度快，并且具有良好的泛化能力[4]，因此可以通過其來建立微波天線設計參數與響應之間的關系模型，以代替煩瑣復雜的數值或全波電磁仿真計算。為了使建立的模型擁有較高的精度，ELM通常需要大量的訓練樣本來進行學習，過多的訓練樣本又會導致時間成本的提高。

鑒于此，本文提出一種改進的極限學習機方法，該方法旨在利用較少的訓練樣本得到較高的預測準確度，并采用該方法建立微波天線設計參數與響應之間的關系；該方法同時結合拉丁超立方抽樣獲取訓練樣本的設計參數，提高訓練樣本的質量；通過HFSS-Matlab-Api庫函數實現微波天線的自動化設計，節省人力成本。

1 理論原理

1.1 極限學習機

極限學習機比傳統的學習算法速度更快，泛化能力更強，其網絡結構如圖1所示。

圖1 極限學習機網絡結構

圖1中，x為網絡輸入，y為網絡輸出，L為隱含層神經元數目，ω為輸入層到隱含層的輸入權重，表示如下：

θ為隱含層神經元的閾值，表示如下：

β為隱含層到輸出層的輸出權重。

在極限學習機中，L由人為確定，因此網絡參數為輸入權重ω、隱含層神經元閾值θ以及輸出權重β。

在實際工作中，極限學習機包括訓練和預測兩個過程。

（1）訓練過程：已知極限學習機訓練樣本的輸入和輸出，求輸入與輸出之間的映射關系。

設有N個任意的訓練樣本(Xi,Yi)，輸入Xi為n維，即Xi=[xi1,xi2,…,xin]T，輸出Yi為m維，即Yi=[yi1,yi2,…,yim]T，隱含層為L個神經元的極限學習機可以表示如下：

式中，Wi=[wi1,wi2,…,win]T為輸入權重，θi為隱含層第i個神經元的閾值，βi為輸出權重，·表示內積，g(x)為激活函數。

網絡學習的目標是使網絡的輸出與樣本的輸出誤差最小，表示為：

在極限學習機中，如果輸入權重Wi和閾值θi被隨機或人為給定，那么式（6）中的矩陣H就被唯一確定，則輸出權重β可通過下式計算得到：

式中，H+為矩陣H的廣義逆。

（2）預測過程：已知極限學習機的輸入和輸出之間的映射關系，求極限學習機的輸出。

在預測過程中，極限學習機輸入權重ω、閾值θ和輸出權重β已知，給定樣本輸入X，根據式（6）～式（9）便可求得樣本輸出Y。

傳統的極限學習機的輸入權重和閾值是隨機或人為給定的，因此預測具有一定的不確定性，且準確度較低。為了提高極限學習機的預測能力，降低訓練樣本數量，利用頭腦風暴優化算法確定其最優的輸入權重和閾值，利用最優網絡參數的極限學習機建立天線設計參數與響應之間的映射關系。

1.2 基于反向學習的頭腦風暴優化算法

頭腦風暴優化算法（Brain Storm Optimization Algorithm，BSO）是根據人類在群體決策時進行頭腦風暴會議的啟發而提出的新的群智能優化算法，算法采用聚類的思想搜索局部最優解，通過迭代比較局部最優解，最終得到全局最優解，在求解大規模高維函數最優化問題時具有巨大優勢。

傳統的頭腦風暴優化算法采用隨機策略初始化產生初始解，由于初始解質量不確定，導致最終迭代結果的質量和收斂速度較差。因此，本文提出基于反向學習的頭腦風暴優化算法以優化極限學習機的輸入權重和閾值。

反向學習策略[5]的主要思想是尋找初始種群的反向種群，通過當前種群與反向種群之間的競爭，選取最優的解進行后續的迭代優化過程。

圖2 反向數示意圖

如圖2所示，在D維空間中，存在點x=(x1,x2,…,xD)，其中x1,x2,…,xD∈R且則反向數定義如下：

由所有反向數組成反向點，定義如下：

在種群初始化中，同時計算x和的適應度值，保留適應度值優的作為候選解，定義如下：

基于反向學習的頭腦風暴優化算法步驟如下：

（1）采用式（14）初始化產生N個初始解，計算N個初始解的反向點。

（2）根據適應度函數計算所有初始解及反向點的適應度值，通過比較確定最優的初始解。

（3）根據相似性，利用K均值聚類將初始解分成M個類，計算初始解的適應度值，挑選出每個類中適應度值最優的解作為類中心。

（4）設置P1值，隨機生成范圍為[0,1]的數r1，如果r1

（5）設置P2值，隨機生成范圍為[0,1]的數r2，如果r2

（a）基于一個類生成新的解：根據類包含的解的數量來選擇根據哪一個類生成新解，一個類包含的解越多，那么這個類被選擇的機會就越大。然后判斷使用被選擇的類的中心還是同一類中的隨機解生成新解，該操作由P3控制，隨機生成范圍為[0,1]的數r3，如果r3

式中，N(0,1)是均值為0和方差為1的高斯隨機值，ξ是控制高斯隨機值的系數，計算如下：

式中，T是最大迭代次數，t是當前迭代次數。加權系數ξ(t)在初始迭代期間將有較大的值，在最終迭代期間將有較小的值，有利于在初期擴大搜索范圍，在后期提高搜索精度。

（b）基于兩個類生成新思想：該步驟與（a）類似，隨機選擇兩個類，然后判斷使用被選擇的兩個類的中心還是兩個類中的隨機思想生成新思想，該操作由P4控制，隨機生成范圍為[0,1]的數r3，如果r3

式中，R是范圍為[0,1]的隨機數，然后通過式（15）生成新的想法。

步驟（3）中偶爾利用隨機生成的解替換類中心，可以避免算法陷入局部最優。步驟（4）中基于一個類生成新的解能夠使算法收斂到一定區域內，加快算法收斂速度；基于兩個類生成新的解有助于提高算法的探索能力，避免陷入局部最優。該算法在保證收斂性的情況下搜索全局最優解，非常適合于求解高維函數的優化問題。

1.3 拉丁超立方抽樣

拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）是一種從多元參數分布中近似隨機抽樣的方法，可以以較少的采樣次數獲得較高的采樣精度，使樣本均勻產生在各個區間。

設在n維向量空間中抽取m個樣本，LHS的步驟如下：

（1）將n維向量空間中的每一維度分成互不重合的m個均勻區間，使每個區間有相同的概率；

（2）在每一維度里的每個區間中隨機抽取一點；

（3）從每一維度里隨機抽取（2）中選取的點，將它們組成向量。

在二維向量空間中抽取10個樣本，每維度取值范圍為[-10,10]，LHS模擬抽樣結果如圖3所示。

圖3 二維空間LHS模擬抽樣結果

1.4 Matlab-HFSS聯合仿真

HFSS-Matlab-Api是Matlab軟件中的一個庫函數，利用該庫函數可以實現HFSS軟件腳本的生成、修改和運行，通過在腳本中寫入HFSS模型建模、修改設計參數等代碼，即可實現Matlab控制HFSS軟件仿真。

利用HFSS-Matlab-Api實現Matlab-HFSS聯合仿真的方法有兩種：

（1）直接在Matlab中利用HFSS-Matlab-Api編寫腳本并運行，調用HFSS進行模型創建、仿真等操作，實現全自動化。

該方法可以使模型的建立工作完全在Matlab中實現，無須在HFSS模型中繪制，對于建立設計參數精細和具有周期性結構的模型非常方便。但是由于在Matlab編程過程中不會出現直觀模型，所以需要編程者具有極強的空間想象力。此外，在需要反復調用腳本修改模型的設計參數時，每次運行腳本都要在HFSS中重新建立模型，使得在優化設計的過程中增加了許多繁瑣的操作。

（2）模型在HFSS中建立，在修改設計參數的過程中記錄腳本文件，然后通過Matlab打開腳本文件，利用HFSS-Matlab-Api把需要修改的設計參數寫入腳本并運行。

該方法由于模型在HFSS中建立，因此可以直觀顯示模型的三維圖像，同時操作簡單，只需利用腳本修改指定的部分即可，在運行腳本后也只調用HFSS進行相應部分的操作。

本文僅利用Matlab-HFSS聯合仿真技術實現修改天線設計參數、仿真和輸出仿真結果的過程，因此采用第二種方法。

1.5 基于改進極限學習機的多維參數天線設計方法

基于改進極限學習機的多維參數天線設計方法流程圖如圖4所示，具體步驟如下：

（1）通過拉丁超立方抽樣獲取一定數量的訓練樣本；

（2）根據訓練樣本，利用基于反向學習的頭腦風暴優化算法確定極限學習機網絡最優的輸入權重和閾值；

（3）利用最優網絡參數的極限學習機建立天線設計參數與響應之間的映射關系；

（4）給出天線目標響應，預測其設計參數，如果預測設計參數的響應滿足設計指標，則結束，若不滿足，則將該預測設計參數與響應作為新的訓練樣本添加到原訓練樣本集中，返回步驟（2）。

圖4 多維設計參數天線設計流程

2 設計實例

2.1 疊層微帶天線模型

疊層微帶天線[7]的結構由一個E型貼片天線和上層介質基板以及輻射貼片組成，主要包括上下介質基板、接地板、同軸饋線和兩個輻射貼片，其中介質基板為相對介電常數為1的空氣。疊層微帶天線模型及主視圖如圖5所示，下層E型貼片天線俯視圖如圖6所示。

圖5 天線模型及主視圖

圖6 下層E型貼片天線俯視圖

2.2 疊層微帶天線設計

要求該天線工作頻率覆蓋4.7～6.6 GHz，即設計指標為：

根據設計指標（18）設計的理想目標響應如圖7所示，理想響應應該如圖藍色虛線所示，S11在工作頻率范圍內盡可能小于-10 dB，在其他頻率范圍內盡可能大于-10 dB，但是考慮到實際中天線響應是非理想的，因此設計了如圖實線所示的響應。

圖7 目標響應

利用拉丁超立方抽樣獲取50個樣本的設計參數，每個設計參數上、下限取值如表1所示。

表1 設計參數上、下限取值

通過HFSS-Matlab-Api調用HFSS軟件對50個樣本設計參數仿真，保存響應并導入Matlab。計算50個樣本響應與目標響應的相關系數，選擇相關系數最大的第38個樣本作為優化樣本。

利用極限學習機對其余樣本進行訓練，預測優化樣本響應的設計參數，頭腦風暴優化算法優化得到使適應度函數最小的極限學習機輸入權重和閾值，頭腦風暴優化算法的適應度函數為：

式中，X*(38)為極限學習機預測的第38個樣本的設計參數，X(38)為第38個樣本實際的設計參數。

將頭腦風暴優化算法得到的最優輸入權重和閾值代入極限學習機，在訓練過程中，以上述50個樣本的響應作為輸入，對應的設計參數作為輸出，建立介質諧振器天線設計參數與響應之間的映射關系。

在預測過程中，以目標響應作為輸入，通過預測得到輸出，即疊層微帶天線的設計參數為：

在Matlab中通過HFSS-Matlab-Api調用HFSS對設計參數X′(1)進行仿真驗證，并與目標響應比較，結果如圖8所示。

圖8 X′(1)響應與目標響應

由于不滿足設計指標，因此將該設計參數及其響應作為第51個訓練樣本，計算響應與目標響應的相關系數，再次執行頭腦風暴優化算法、極限學習機訓練和預測過程，最終預測疊層微帶天線的設計參數如下：

調用HFSS對設計參數X′(2)進行仿真，設計響應與目標響應的比較結果如圖9所示。

圖9 X′(2)響應與目標響應

2.3 結果分析

由圖9可以看出，在4.7～6.6 GHz頻率范圍內，X′(2)的響應在-10 dB以下，在其他頻率范圍內所有響應均大于-10 dB，滿足設計指標，但是由于受天線本身限制，這些響應并不與目標響應完全重合，該情況在允許范圍之內。通過對極限學習機預測的設計參數進行分析，發現其中有些維度超出了獲取樣本時拉丁超立方抽樣方法設置的上、下限取值，該例說明采用改進極限學習機預測的設計參數不局限于樣本的設計參數范圍內，即改進極限學習機方法具有很好的泛化能力。

該介質諧振器天線的輻射方向如圖10所示，由圖可以看出，該天線主輻射方向為z軸正方向，主輻射方向增益最大為9.54 dB，同時方向性也比較好。

圖10 輻射方向圖

3 結語

本文提出了一種多維設計參數天線的優化設計方法，該方法以極限學習機為基礎，利用頭腦風暴優化算法確定極限學習機最優的輸入權重和閾值，提高了極限學習機質量；采用拉丁超立方抽樣解決了樣本獲取困難的問題，同時采用Matlab-HFSS聯合仿真，實現了自動化設計，大大節省了天線設計過程所需要的時間。通過對多維設計參數疊層微帶天線設計，說明了該方法的可行性及有效性。