逆濾波器設計中若干基本問題的探討*

曲萬春，何國榮，梅鐵民

（沈陽理工大學，遼寧 沈陽 110159）

0 引言

在很多信號處理應用中，如信道均衡、語音去混響[1-2]、能譜檢測[3]、軌道不平順檢測信號處理等[4]，都需要求解已知線性系統(tǒng)的逆系統(tǒng)，即逆濾波器設計。逆濾波器設計方法有很多，如最小均方誤差[5-7]、復倒譜法[8]、基于LMS或卡爾曼濾波的算法等[9]，其中最簡單也最常用的方法是最小均方誤差設計方法。最小均方誤差法設計的逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)的級聯(lián)在均方誤差最小化意義下逼近一個純時延全通系統(tǒng)。

在最小均方誤差逆濾波器設計中，一個經(jīng)常被忽視的問題是原、逆濾波器級聯(lián)系統(tǒng)所逼近的全通系統(tǒng)的時延問題（或群延遲問題）[6]。級聯(lián)系統(tǒng)的時延大小取決于原系統(tǒng)的相位特性。最小均方誤差逆濾波器設計包括單輸入-單輸出系統(tǒng)（Single Input Single Output，SISO）、單輸入-多輸出（Single Input Multiple Output，SIMO）系統(tǒng)和多輸入-多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統(tǒng)的逆系統(tǒng)設計。本文中只討論前兩種情況。

1 SISO系統(tǒng)的逆系統(tǒng)設計

設單信道系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為：

式中，s(n)和x(n)分別為系統(tǒng)的輸入、輸出信號；c(n)(n=0,1,2,…,Lc-1)為系統(tǒng)的單位取樣響應。

式（1）的z域表示為：

在最小均方誤差意義下使g逼近理想系統(tǒng)ql：

式中，ql=[0,0,…,1(第l個分量),0,…,0]T是Lg×1維列矢量，代表一個純時延的理想全局響應。

式（8）的最小均方解為：

式中，列矢Cl=CTql是卷積矩陣C的第l行的轉(zhuǎn)置。

最小均方誤差值為：

如上所述，SISO系統(tǒng)只能得到最小均方誤差意義下的最優(yōu)逆濾波器，不可能得到完全解卷積的逆濾波器，但SIMO系統(tǒng)可以得到完全解卷積逆系統(tǒng)。

2 SIMO逆系統(tǒng)設計

SIMO系統(tǒng)與SISO系統(tǒng)相比，具有本質(zhì)上的不同，有完全解卷積的有限沖激響應逆系統(tǒng)。SIMO系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為：

式中，i=1,2,…,N，xi(n)和ci(n)分別是第i路信道的輸出信號（觀測信號）和單位取樣響應；s(n)是系統(tǒng)的輸入信號。在N路信道沖激響應ci(k)已知且各個信道間沒有公共零點的情況下，多路解卷積系統(tǒng)由MINT定理給出[5-6]。

令N路解卷積濾波器為hi(n)(i=1,2,…,N;n=0,1,…,Lh)，則解卷積信號為：

式中，全局響應g(k)可表示為：

則SIMO解卷積問題等價于如下的優(yōu)化問題：

當Lc、N不同值時，由得到的Lh值不一定是整數(shù)。如果Lh取大于的整數(shù)，則LgNLh，式（23）為超定問題，有唯一最小二乘解：

方法描述如下：設N路解卷積濾波器的長度分別為Lh1,Lh2,…,LhN，不失一般性地假設Lh1最大，且則全局響應的長度Lg=Lh1+Lc-1。分配各個解卷積濾波器的長度值，使得解卷積濾波器組構(gòu)成的矢量總長度滿足條件：

考慮到Lg=Lh1+Lc-1，式（26）也等價于：

式（28）同時隱含了對每一個解卷積濾波器長度的約束條件：

當Lh1,Lh2,…,LhN給定后，即可構(gòu)造矩陣其中Ci矩陣仍如式（22）定義，但只取其前Lhi列，這樣得到的濾波器組可以實現(xiàn)完全解卷積。由于Lh1,Lh2,…,LhN的取值有不同的組合，再加上不同的取值，因此完全解卷積濾波器組并不唯一。此外，如果假設Lh2=Lc-1，則Lhi=0(i≠1,2)，即只有兩路觀測信號即可實現(xiàn)完全解卷積，也說明多路信號解卷積中至少要有兩路觀測信號才能實現(xiàn)完全解卷積。

3 仿真實驗

3.1 SISO系統(tǒng)仿真實驗

在這個仿真實驗中，原系統(tǒng)沖激響應c0(n)是仿真得到的Lc=800的房間沖激響應序列，如圖1所示。

圖1 原系統(tǒng)的沖激響應序列c0(n)

為了模擬原系統(tǒng)沖激響應c0(n)估計誤差對全局響應g(n)的影響，在原系統(tǒng)沖激響應上增加不同強度的零均值高斯白噪聲，即c(n)=c0(n)+v(n)，用估計誤差信噪比來表示c(n)估計精度。在最佳全局響應時延下得到最小均方誤差意義下的解卷積濾波器h(n)后，計算全局響應g(n)=c0(n)*h(n)相對理想全局響應q(n)的均方誤差為：

圖2中給出了ERR(SIR,Lh)與SIR、Lh之間的關(guān)系曲線。可以看出，對于給定的原系統(tǒng)估計誤差信噪比SIR，解卷積濾波器越長（圖2中的曲線由下向上對應Lh由100增加到1 500），解卷積效果越好，但隨著解卷積濾波器長度的增加，解卷積效果的改善越來越小；對于給定長度Lh解卷積濾波器，原系統(tǒng)估計誤差的SIR達到某個值（隨Lh增大而增大）以上時，對解卷積結(jié)果影響很小，這時卷積結(jié)果的誤差主要取決于解卷積系統(tǒng)h(n)的逼近誤差。因此，對于給定長度的解卷積濾波器，一味增加原系統(tǒng)估計精度是沒有意義的。

3.2 SIMO系統(tǒng)仿真實驗

4路實測房間沖激響應用于SIMO系統(tǒng)解卷積仿真實驗Lc=818，如圖3所示。

在滿足MINT的定理條件下，首先定義不同原系統(tǒng)估計誤差信噪比SIR、不同全局響應時延l對應的全局響應均方誤差函數(shù)ERRMINT：

4個解卷積濾波器的長度分別為Lh1=Lh2=273，Lh3=Lh4=272。原系統(tǒng)c0(n)估計誤差信噪比SIR對全局響應均方誤差ERR的影響如圖4所示。圖4中每條曲線對應不同的全局響應時延l=0,20,40,…,1 080。從圖4可見，只有在高估計誤差信噪比下，ERR近似地隨SIR的增加而線性增加；當SIR較低時ERR很小，甚至為負值，無法實現(xiàn)解卷積。

圖2 原系統(tǒng)c0(n)估計誤差SIR（橫軸）、解卷積濾波器長度Lh（對應圖中不同曲線）對全局響應均方誤差（縱軸）的影響（曲線的排列順序與圖例的順序一致）

圖3 房間4通道沖激響應序列

對ERRMINT(SIR,l)在SIR方向取平均，得到，如圖5所示。找到圖5中最大值對應的l值，即為最優(yōu)全局響應時延，在本例中l(wèi)=100。

對于SIMO系統(tǒng)，在不滿足MINT定理時得到的是在最佳全局響應時延下的最小均方誤差解。解卷積濾波器等長并滿足關(guān)系（向下取整，在本例中Lh≤272），仍用式（30）中的ERR來衡量算法性能，結(jié)果如圖6所示。與SISO系統(tǒng)的結(jié)果類似，即越逼近其上限，解卷積效果越好，但噪聲穩(wěn)定性越差。圖6中每條曲線對應不同解卷積濾波器長度Lh=27、54、81、108、135、162、189、216、243、270。

圖4 在滿足MINT定理條件下，全局響應均方誤差ERR與原系統(tǒng)c0(n)估計誤差信噪比SIR關(guān)系曲線（每條曲線對應不同的全局響應時延0,20,40,…,1 080；粗黑線對應最佳全局響應時延下的ERR）

圖5 不同SIR下的平均ERR曲線（曲線最大值位置對應最優(yōu)全局響應時延l=100）

圖6 在不滿足MINT定理條件下，全局響應均方誤差與原系統(tǒng)估計誤差信噪比SIR關(guān)系曲線

4 結(jié)語

理論上，SISO系統(tǒng)的逆濾波器長度越長越好，但由于有限沖激響應逆系統(tǒng)只是理想逆系統(tǒng)的最小均方誤差逼近，因此在原系統(tǒng)存在估計誤差時，過長的逆濾波器并不能提高解卷積性能，反而增加計算負擔。對于SIMO系統(tǒng)，正如文獻所述，滿足MINT定理的逆系統(tǒng)對噪聲過于敏感，而不滿足MINT定理的最小均方誤差逆系統(tǒng)相對來說噪聲穩(wěn)定性更好，且該最小均方誤差逆系統(tǒng)的沖激響應的長度是有上限的。它的上限由MINT定理給出，這與SISO系統(tǒng)截然不同。此外，無論是SISO系統(tǒng)還是SIMO系統(tǒng)，都可以通過對全局響應時延優(yōu)化來改善逆系統(tǒng)性能。