由正負磁單極對相互作用誘導的孤立狄拉克弦*

焦婧 羅煥波 李祿

(山西大學理論物理研究所, 太原 030006)

基于三維旋量Gross-Pitaevskii (GP)方程研究在含時周期性外磁場作用下玻色-愛因斯坦凝聚體的動力學行為.結果顯示, 在含時周期外磁場的作用下, 鐵磁態自旋為1 的玻色-愛因斯坦凝聚體將發生拓撲形變.當磁場的兩個零點進入凝聚體后, 自旋向上態的密度布居圖在z 軸上分別形成向上和向下的凸起.隨著磁場的兩個零點在凝聚體內逐漸重合, 向上和向下的凸起被拉長, 最終自旋向上態在z 軸上呈線狀分布, 這與理論分析預測得到的孤立狄拉克弦相對應.最后, 通過計算凝聚體的超流渦度給出磁單極的表征圖.結果顯示,凝聚體在磁場的兩個零點處形成正、負磁單極對, 分別對應著自旋向上態在z 軸上向上和向下的凸起.隨著磁場的兩個零點重合, 正、負磁單極對中的兩條狄拉克弦逐漸靠近, 之后大約經5 ms, 它們完全相連, 最終形成孤立的狄拉克弦.

1 引 言

磁單極問題不僅涉及宇宙早期演化及微觀粒子結構等理論, 而且還與物質磁性的來源和電磁現象的對稱性相關, 同時還能很好地解釋磁荷的量子化[1?3].自1931 年狄拉克首次提出磁單極理論以來[4], 研究工作者對磁場進行了大量的實驗觀察,但在自然電磁場中仍找不到磁單極[5?8].2008 年Castelnovo 等[9]指出“自旋冰”里可能存在磁單極,發現自旋冰晶體內粒子的散射結果與假設磁單極存在的計算機模型預測一致.到目前為止, 大量的研究致力于尋找各種凝聚態系統中的類似實體, 如自旋冰[10]、液晶[11]和Skyrmion 晶格[12?14]等.由于在足夠強的外磁場作用下, 凝聚體中的渦度與磁單極的磁場一致, 所以研究者可以讓相應原子的磁場排列成一個大漩渦的形狀, 構成“渦旋”的屬性,通過絕熱修正外場, 多量子渦旋可以被印刻到凝聚態中[15?18].這樣可以在凝聚體的自旋結構上產生一個點狀缺陷, 從而產生一個相當于磁單極磁場的渦度.也就是說在這樣的排列下, 中間的地方就是一個“合成磁單極”.

磁單極是矢量場中的拓撲缺陷, 它既符合量子力學又符合電磁場的規范不變性[3,5,19?21], 它的單位向量相對于某個唯一的中心點是徑向的(即“刺猬”缺陷)[5,22].研究結果表明,87Rb (銣)在鐵磁自旋為1 的玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)中的特定激發態可以成功模擬一個狄拉克單極子[23].采用多分量波函數進行數值模擬在三維玻色-愛因斯坦凝聚體中可產生單極子[24].另外, 利用三維密度剖面的層析重建可以檢測到狄拉克弦, 并利用原位相位襯度成像探測到相應的自旋紋理以提供單極子的明確信號[25].

在玻色-愛因斯坦凝聚體中, 單個磁單極在理論上已經被大量研究過[26?30], 并且在實驗中也被觀測到[23], 但是多個磁單極的產生以及它們之間的相互作用至今鮮有研究.本文利用周期性磁場的多個零點可以產生多個磁單極的特性, 通過引入含時周期性磁場, 在玻色-愛因斯坦凝聚體中產生一個正、負磁單極對, 并借助于理論分析及數值計算來研究正、負磁單極對的相互作用, 以及孤立狄拉克弦的形成.

2 理論模型

考慮一團87Rb 原子在光學勢阱V(r)中形成的玻色-愛因斯坦凝聚體, 它在磁場B中的動力學可以用自旋為1 的三維旋量Gross-Pitaevskii (GP)方程來描述[25,31?33]:

考慮一個含時周期性外磁場, 其中在xoy平面為四極磁場, 在z軸方向上為一對激光相互作用產生的等效磁場Beff=acos(kz)[33]和隨時間變化的均勻偏置場B0(t)=c ?vt的疊加, 具體形式如下:

其中b=3.7 G/cm 是四極磁場梯度的強度系數,c=10 mG 為偏置場在t=0 時刻的磁場強度以及v=0.25 G/s為偏置磁場的減少速率.等效磁場中的系數a=3.6 mG 與激光強度有關而系數k=0.2 μm?1與激光的頻率相關.圖1 給出了不同時刻的磁場在xoz平面的分布圖.從中可以看出, 在t=0時, 凝聚體內的磁場全部指向z軸; 在t=50 ms時, 由于等效磁場的周期性, 凝聚體內將會出現兩個 零 點, 分 別 位 于z=4 μm 和z=?4 μm ; 在t=55 ms 時, 兩個零點在原點處合并變成一個零點.

由于磁場的變化非常緩慢(v足夠小), 凝聚體的序參數始終處于線性塞曼算符B·F的三個本征態中能量最小態上, 即自旋矢量與磁場方向一致的鐵磁態上, 所以可以通過自旋的超流渦度來刻畫磁場的極性.凝聚體的超流渦度可以定義為Ωs=?×vs, 其中vs=i?ξ??ξ/m為超流速度.當偏置磁場為0 時, 磁場在kz=π/2 附近可以近似表示為B(r,t)=(bx,?by,?akz+aπ/2)T=(x′,?y′,?z′)T,其中x′,?y′,?z′為新的坐標.在新的坐標下, 超流渦度[23]

圖1 凝聚體處不同時刻的磁場在xoz 平面的分布圖.箭頭的方向和長度分別表示磁場的方向和大小.綠色圖案為凝聚體所在位置, 凝聚體的半徑 R TF 可以通過托馬斯-費米近似得到: R TF =5Nc0/(4mω2)=6 μm , 其中各圖分別對應時刻 (a) t = 0; (b) t =50 ms; (c) t = 55 msFig.1.Distributions of the magnetic field at xoz plane for different timesaround the condensation.Direction and length of arrows indicate the direction and size of the magnetic field.The green pattern indicates the condensation, radius of which is determined by Thomas-Fermi approximation, i.e., R TF =5Nc0/(4mω2)=6 μm.(a) t = 0; (b) t = 50 ms; (c) t = 55 ms.

等價于在z軸正半軸有一條狄拉克弦的負磁單極,其中Θ是階躍函數.類似地, 在kz=?π/2 附近磁場可 近 似 表 示 為B(r,t)=(bx,?by,akz+aπ/2)T=(x′,?y′,z′′)T, 其中x′,y′,z′′為另一組的坐標.此時,超流渦度[23]

等價于在z軸負半軸有一條狄拉克弦的正磁單極.由此可以看出, 磁單極是產生在磁場零點附近.當考慮到含時均勻偏置場B0(t)=c ?vt時, 則在z軸方向上的磁場可以近似地表為?akz+aπ/2+c ?vt.于是我們可以看到, 隨著時間的演化, 它的兩個零點±(aπ/2+c ?vt)/(ak) 逐漸靠近直到重合, 此時正負磁單極的相互作用可以表示為

這里利用了在零點重合處r′=r′′.從方程(5)可以看出, 正負磁單極相碰后消失, 合成一條孤立的狄拉克弦.在這樣的近似下, 這兩個零點重合的時間約為t=(aπ/2+c)/v ≈62.6 ms.需要指出的是, 這個時間值大于 5 5 ms.這說明當磁場的零點重合時(t=55 ms ), 正負磁單極中的狄拉克弦并不能相連形成孤立狄拉克弦, 需要一定的時間重整.我們預測孤立的狄拉克弦可能在55—62.6 ms 之間形成.為了驗證這個結果, 下面我們將通過數值求解GP 方程(1)來探究正、負磁單極的產生以及相互作用所形成的孤立狄拉克弦.

3 結果與討論

3.1 初始凝聚體的制備及其演化

在數值模擬過程中, 首先通過GP 方程(1)的虛時演化獲取t=0 時刻凝聚體的基態, 并將其作為初態.此時, 由于凝聚體處的磁場都指向z軸正方向, 所以為了使能量最低, 凝聚體中粒子的自旋將會與磁場同向, 即自旋矢量為S=(0,0,1)T, 對應的旋量為ξ=(1,0,0)T.如圖2(a)所示, 此時所有粒子都布居在ψ1態上.

確定初態后, 再使用實時演化來探究凝聚體的動力學行為.在這個過程中, 由于沿z軸方向的偏置磁場緩慢減少, 凝聚體處的磁場不再全部指向z軸正方向, 同時兩個磁場零點從正負z軸進入凝聚體, 如圖1(b)所示.在這種情況下, 當磁場與自旋不再對齊(能量偏離最低點)時, 粒子將會受到一個回復力驅使粒子自旋與磁場對齊回到能量最低態, 從而保證粒子自旋始終與磁場對齊.但是在z軸上, 當磁場零點經過后, 磁場由指向z軸正方向直接翻轉指向z軸負方向, 而自旋無法直接發生翻轉, 只能保持與磁場反向.如圖2(b)給出了t=50 ms時粒子的布居圖, 顯示z軸上粒子始終布居在ψ1態上, 而粒子自旋與磁場反向表現在z軸上向上和向下的凸起.隨著進一步的演化, 磁場的兩個零點逐漸重合, 向上和向下的凸起被拉長, 如圖2(c)所示.當t>55 ms 時, 凝聚體處的磁場z方向分量全部為負, 即Bz <0.此時, 在ψ1態上的粒子逐漸聚集在z軸上.直到t=60 ms , 在ψ1態上的粒子全部集中在z軸上形成線狀分布, 而其他粒子都布居在ψ0和ψ?1上, 如圖2(d)所示.

3.2 正負磁單極對的產生以及相互作用

由于超流渦度對應著磁單極, 這樣可以通過凝聚體演化過程中渦度場的變化來探究對應的磁單極的行為.我們數值計算出不同時刻的渦度, 如圖3所示.注意由于初始時刻t=0 所有粒子都布居在ψ1態上, 渦度始終為0, 故在此不做討論.

在t=50 ms 時, 磁場在z=±4 μm 處的兩個零點進入了凝聚體.此時, 渦度場在z=±4 μm 處具有正負磁單極的結構, 如圖3(a)所示.事實上, 在z=4 μm 處所有的渦度場線都進入該點, 而z方向的場線卻是離開該點(對應狄拉克弦).這說明在該點形成了負磁單極, 與(3)式描述的一致.在z=?4 μm處所有的場線都離開該點, 而–z方向的場線卻是進入該點(對應狄拉克弦), 對應著正磁單極, 與(4)式描述的一致.磁單極可以用磁荷Q來表征:

其中Σ為包含磁單極但是在狄拉克弦處有缺口的半徑為r的球面.通過數值計算, 得出正磁單極處磁荷Q= 0.97 和負磁單極處磁荷Q= –0.97.同時, 也能看到明顯的正負磁單極的相互作用, 最典型的是在z= 0 平面形成了一個所有場線都指向z方向的平面, 如圖3(b)所示.

圖2 不同時刻凝聚體各個組分密度在xoz 平面的分布圖, 其中各圖分別對應時刻 (a) t = 0; (b) t = 50 ms; (c) t = 55 ms;(d) t = 60 msFig.2.Distributions of density of the condensation at xoz-plane for different times: (a) t = 0; (b) t = 50 ms; (c) t = 55 ms; (d) t = 60 ms..

圖3 第一行是不同時刻渦度場在xoz 平面的分布圖.第二行是歸一化的渦旋場, 只保留了渦旋場的方向 (a), (b) t = 50 ms;(c), (d) t = 55 ms; (e), (f) t = 60 msFig.3.First row is the distributions of vorticity at xoz-plane for different times.Second row is the corresponding normalized field.(a), (b) t = 50 ms; (c), (d) t = 55 ms; (e), (f) t = 60 ms.

在t= 55 ms 時, 從狄拉克弦看(圖3(c)), 兩條狄拉克弦還未相連, 說明兩個磁單極還未重合.在z= 0 平面形成了一個所有場線都指向–z方向的平面, 而狄拉克弦處依舊指向z方向, 如圖3(d)所示.進一步地, 在t=60 ms 時, 兩條狄拉克弦合二為一, 狄拉克弦處磁場與外界磁場不再連接, 兩個磁單極消失, 孤立的狄拉克弦形成, 如圖3(e)所示.我們注意到, 圖3(f)的結果與理論結果(5)式存在一定的差別: 除了在z軸處的狄拉克弦外, 其他地方還有一個指向z軸負方向的磁場.這是由于(5)式是在磁場零點處做了近似后得到的理論結果.

4 結 論

本文基于三維旋量Gross-Pitaevskii (GP)方程研究了在含時周期性外磁場作用下玻色-愛因斯坦凝聚體的動力學.結果顯示, 在含時周期外磁場的作用下, 鐵磁態自旋為1 的玻色-愛因斯坦凝聚體將發生拓撲形變.當磁場的兩個零點進入凝聚體后, 自旋向上態的密度布居圖在z軸上分別形成向上和向下的凸起.隨著磁場的兩個零點在凝聚體內逐漸重合, 向上和向下的凸起被拉長, 最終自旋向上態在z軸上呈線狀分布, 這與理論分析預測得到的孤立狄拉克弦相對應.最后, 通過計算凝聚體的超流渦度給出了磁單極的行為.結果顯示, 凝聚體在磁場的兩個零點處形成正、負磁單極對, 分別對應著自旋向上態在z軸上向上和向下的兩個凸起.隨著磁場的兩個零點重合, 正、負磁單極對中的兩條狄拉克弦逐漸靠近, 之后大約經過 5 ms , 它們完全相連, 最終形成孤立的狄拉克弦.這一結果為進一步研究孤立狄拉克弦提供了新的思路.