Kerr 非線性介質中聚焦像散高斯光束的傳輸特性*

胡婧 王歡 季小玲

(四川師范大學物理與電子工程學院, 成都 610068)

當高功率激光通過Kerr 非線性介質傳輸時, Kerr 效應會嚴重影響激光的傳輸特性.實際應用中常遇到像散光束.迄今為止, 像散光束傳輸特性的研究大都局限于在線性介質中的傳輸, 而在非線性介質中傳輸的研究較少, 且還未涉及像散激光束通過含光學系統的Kerr 非線性介質傳輸變換的研究.本文主要研究Kerr 效應對聚焦光束像散特性和焦移特性的影響, 以及聚焦像散高斯光束的自聚焦焦距和光束焦點調控.在光束擴展情況下, 推導出了聚焦像散高斯光束在Kerr 非線性介質中傳輸的束寬、束腰位置和焦移的解析公式, 研究表明: 在自聚焦介質中, 隨著自聚焦作用增強(如光束功率增強), 光束像散越強, 但焦移越小; 在自散焦介質中, 隨著自散焦作用增強(如光束功率增強), 光束像散越弱, 但焦移越大.另一方面, 在光束自聚焦情況下, 推導出了自聚焦焦距的解析公式, 研究表明利用光束像散可以調控光束焦點個數.

1 引 言

像散光束在實際應用中常會遇到, 例如, 當激光垂直入射非旋轉對稱光學系統或傾斜入射到光學元件表面時, 光束將會發生像散[1?3].像散會嚴重影響激光傳輸特性.吳逢鐵教授課題組研究了像散對軸棱錐衍射特性的影響與修正[4], 并采用理論和實驗方法研究了像散Bessel 光束自重建特性[5].林強教授課題組推導出部分相干扭曲各向異性高斯謝爾模型光束(具有復雜像散特性的部分相干光)傳輸的張量ABCD 定律[6], 并用實驗研究了復雜像散橢圓光束的軌道角動量[7].王紹民教授課題組[8]采用張量ABCD 定律研究了復雜像散高斯激光束的對稱變換問題.Tari 等[9]提出采用對稱透鏡校正像散高斯光束的像散和橢圓度.馮國英教授課題組[10]采用理論和實驗方法研究了像散橢圓高斯光束的M2因子矩陣.蔡陽健教授課題組研究了部分相干扭曲各向異性高斯謝爾模型光束在大氣湍流中的傳輸特性[11]以及在色散和吸收介質中的傳輸特性[12].張逸新教授課題組[13]研究了大氣湍流中像散對高斯渦旋激光束傳輸和成像的影響.然而, 目前的研究大都僅局限于像散光束在線性介質的傳輸特性[4?13].

當高功率激光通過Kerr 非線性介質傳輸時,Kerr 效應將會嚴重影響激光傳輸特性和光束質量[14?16].最近, 我們課題組解析求解了非線性薛定諤方程, 并推導出了部分相干激光在非線性Kerr 介質中傳輸的ABCD 定律[17]; 研究發現部分相干脈沖光比完全相干脈沖光在避免材料發生光學損傷方面更具優勢[18]; 推導出了部分相干光通過Kerr 介質中光束系統傳輸變換公式, 并發現Kerr 效應可以調控光斑位置和尺寸[19], 文獻[19]已被遴選為“Spotlight on Optics”論文.

迄今為止, 像散橢圓光束在非線性介質中傳輸特性的研究較少.郭旗教授課題組[20]研究了橢圓高斯光束在強非局域非線性介質中的傳輸特性.Goncharenko 等[21]研究了旋轉橢圓高斯光束在梯度折射率非線性介質中的傳輸.此外, 在局域Kerr 非線性介質中, Cornolti 等[22]的研究表明橢圓高斯光的自陷功率隨光束橢圓度的增大而增大,Singh 等[23]研究了橢圓高斯光的自聚焦和自相位調制動力學問題.然而, 像散激光束通過含光學系統的Kerr 介質傳輸變換的研究還未涉及.本文研究了Kerr 非線性介質中聚焦像散高斯光束的傳輸特性, 主要包括: Kerr 效應對光束像散特性和焦移特性的影響, 以及聚焦像散高斯光束的自聚焦焦距和光束焦點調控.

2 理論模型以及傳輸公式

激光在Kerr 介質中的傳輸特性由Kerr 效應和衍射效應共同決定.高斯激光誘導介質折射率變化引起的非線性作用與衍射作用之比η=[17], 其中光強k為波數,w1為入射光束寬,n0和n2分別為介質的線性和非線性折射率,n2> 0(即η> 0)與n2< 0 (即η< 0)分別對應Kerr 自聚焦介質與Kerr 自散焦介質.η< 1 時激光在傳輸的過程中逐漸發散,η> 1時激光逐漸會聚.η< 1 對應于激光在自散焦介質中傳輸, 或者在自聚焦介質中傳輸, 但滿足光束功率P 1 對應于激光在自聚焦介質中傳輸, 且滿足P>Pcr.本文第2—第4 節研究η< 1 情況(在自聚焦介質中滿足P 1 情況.

高斯光束以束腰入射, 通過Kerr 介質中像散薄透鏡傳輸(如圖1 所示).高斯光束通過像散薄透鏡后, 其光場分布為可表示為

其中,f為透鏡焦距,C6為像散系數, 波數k=2π/λ,λ為波長.對于簡單像散,x與y方向的光束復參數q可表示為[17]

圖1 Kerr 非線性介質中聚焦像散高斯光束傳輸的示意圖Fig.1.Schematic diagram of a focused astigmatic Gaussian beam propagating in Kerr nonlinear media.

其中Rj和wj分別為光束曲率半徑和束寬,M2=(1-η)1/2為高斯光束在Kerr 介質中的M2因子[17].需要說明的是, 本文研究的是完全相干光, 文獻[17]研究的是部分相干光, 本文(2)式是文獻[17]中相應公式在空間相干寬度趨于∞時的特例.

根據(2)式, (1)式可簡化為

其中q1j為z= 0 處的光束復參數, 1/R1x= 2C6–1/f和1/R1y= –2C6– 1/f分別為x與y方向光束曲率半徑.

依據Kerr 介質中的ABCD 定律[17], 像散高斯光傳輸至z處的復參數q2j可表示為

將(2)式代入(4)式中, 分離實部與虛部后可得像散高斯光束在Kerr 介質中傳輸的曲率半徑R2j與束寬w2j分別為

其中為光束在Kerr 非線性介質中的瑞利長度[17],j=x時取“+”號,j=y時取“–”號.(5)式和(6)式表明, 一般情況下,x與y方向的光束曲率半徑和束寬均不相等, 光斑呈橢圓形狀.但是, 當z=f時, 有w2y=w2x, 即為圓高斯光束.值得指出的是, 這一結論在線性介質中也是成立的.另外, 當C6= 0 時, (5)式和(6)式簡化為無像散時的結果.

值得指出的是, 雖然Kerr 效應和衍射效應均與光束束寬有關, 但η參數描述Kerr 效應與衍射效應作用之比, 并且可得到η=2n2k2P/(n0π) 與束寬無關, 故M2=(1?η)1/2也與束寬無關.另一方面, 我們已證明, 在線性介質中, 像散高斯光束的M2= 1[24], 即像散不改變高斯光束的M2因子.在非線性Kerr 介質中, 只要光束保持類高斯輪廓分布, 像散光束在x與y方向的M2因子的表達式應相同, 因此分別引入x和y方向的ABCD 定律來研究Kerr 非線性介質中聚焦像散高斯光束的傳輸特性是合理的[25], 即(4)式成立.

令(5)式中R2j→ ∞, 可得到通過透鏡后像散高斯光束(聚焦像散高斯光束)在Kerr 介質中的束腰位置為

式中,j=x時取“–”號,j=y時取“+”號.由于像散作用, 一般情況下有s2x≠s2y, 即x與y方向光束束腰位置不重合.但是, 當C6=(1/f2+1/Z2)1/2/2時, 有s2x=s2y=f/2 (即x與y方向光束束腰位置重合), 該結論在線性介質中也成立.

除特別說明, 本文數值計算采用參數如下:f=0.2 m,w1= 0.4 mm.自聚焦介質中:n0= 2.4,n2= 2 × 10–13cm2/W(As2S3玻璃),λ= 1.06 μm;自散焦介質中:n0= 1.56,n2= –1.5 × 10–13cm2/W(合成含有3, 4-二烷氧基噻吩的可溶性多惡唑),λ= 0.532 μm.

由(7)式可知,s2y> 0, 且s2y隨著C6的增大而減小.其物理原因是: 由于像散作用,y方向光束相當于被焦距為1/(2C6)的凸透鏡會聚.Kerr 介質中x方向束腰位置s2x隨C6的變化如圖2 所示,由圖可知,s2x隨C6的變化關于C6= 1/(2f)對稱,且存在一個最大值和一個最小值.令(7)式中?s2x/?C6= 0 可 得: 當C6,min=1/(2f)?1/(2Z)和C6,max=1/(2f)+1/(2Z) 時,s2x分別有最大值和最小值, 即

圖2 束腰位置s2x 隨像散系數C6 的變化Fig.2.Beam waist position s2x versus the astigmatic coefficient C6.

利用像散系數C6可調節束腰位置, 例如當C6<1/(2f) 時, 光束會聚,s2x> 0; 當C6>1/(2f)時, 光束發散,s2x< 0 (即束腰位置位于透鏡左方).此外, 容易得到: ΔC6=C6,max–C6,min= 1/Z,Δs2x=s2x, max–s2x, min=Z, 它們僅與光束瑞利長度有關.自聚焦介質中(η> 0),η越大(自聚焦作用越強), 則C6,min和s2x,max越大, 而C6,max和s2x,min越小, 那么ΔC6越小, Δs2x越大.自散焦介質中(η<0), |η|越大(自散焦作用越強), 則C6,min和s2x,max越小, 而C6,max和s2x,min越大, 那么ΔC6越大,Δs2x越小.其物理原因是: 自聚焦作用越強, 則Z越大; 自散焦作用越強, 則Z越小.

3 Kerr 效應對光束像散特性的影響

本文采用像散參數β=w2y/w2x表征光束的像散程度.根據(6)式可得Kerr 介質中光束像散參數β為

β越遠離數值1, 光斑呈現橢圓狀越明顯, 即光束像散越厲害.由(9)式可知, 當z=f時, 有β= 1, 即在透鏡焦平面處光束為圓高斯分布, 該結論與Kerr 效應及像散系數C6均無關.

Kerr 介質中像散參數β隨相對傳輸距離z/f的變化如圖3 所示.由圖可知,β存在一個最小值和一個最大值.令(9)式中?β/?z= 0 可得: 當zmin=時,β分別有最小值和最大值, 即

由(10)式可知,βmin與βmax僅與瑞利長度和像散系數有關, 而與透鏡焦距無關.并且, 當z→ ∞時, 像散參數β將趨于一個穩定值, 根據(9)式可得該值為

圖3(a)表明, Kerr 介質中,C6越大,β越遠離數值1, 即光束像散越厲害.圖3(b)表明, 自聚焦介質中(η> 0),η越大(自聚焦作用越強),β的值越遠離數值1, 即光束像散越厲害; 自散焦介質中(η< 0), |η|越大(自散焦作用越強),β的值越接近數值1, 即光束像散越弱.

圖3 像散參數β 隨相對傳輸距離z/f 的變化 (a)不同像散系數; (b)不同Kerr 效應強度Fig.3.Astigmatic parameter β versus the relative propagation distance z/f: (a) Different values of the astigmatic coefficient; (b) different strength of the Kerr effect.

4 焦 移

聚焦像散高斯光束在Kerr 介質中的場分布表示為

根據(12)式, 可得光強分布為

令(13)式中x=y= 0, 可得Kerr 介質中光束的軸上光強為

軸上光強最大值的位置zI?max由方程?I(0,0,z)/?z= 0 確定.對(14)式求偏導I(0, 0,z), 即

可得: 在zI?max=U+V ?l/3 處有最大光強, 其中U=[?u/2+(u2/4+v3/27)1/2]1/3,V=[?u/2?(u2/4+v3/27)1/2]1/3,u=m ?l2/3, v=2(l/3)3?ml/3+n, n=?1/(fξ),m=(3/f2+1/Z2?)/ξ,l=3(4C62?1/f2?1/Z2)/(fξ),ξ=[(2C6+1/f)2+1/Z2][(2C6?1/f)2+1/Z2].

像散高斯光的光斑面積可表示為

本文中, 把像散高斯光的光斑面積最小位置處定義為束腰位置zS?min, 即束腰位置zS?min由方程?S(z)/?z= 0 確定.將(6)式代入(16)式, 并對S(z)求偏導:

對比(15)式與(17)式可知:zI?max=zS?min,即聚焦像散高斯光束束腰位置與軸上最大光強位置重合, 該結論與Kerr 效應無關(見圖4).特別地, 當C6= (1/f2+ 1/Z2)1/2/2 時, 有s2x=s2y=f/2, 則zS?min=f/2.

圖4 (a)軸上光強I(0, 0, z)和(b)光斑面積S(z)隨相對傳輸距離z/f 的變化, C6 = 0.2 m–1Fig.4.(a) Axial intensity and (b) the area of beam spot versus the relative propagation distance z/f.

把聚焦像散高斯光束的束腰位置認為是實際焦面, 那么幾何焦面與實際焦平面的間距Δ 定義為焦移, 即

圖5 為Kerr 介質中聚焦像散高斯光束的焦移Δ 隨像散系數C6的變化.由圖5 可知,C6越大,則Δ 越大.自聚焦介質中,η越大(自聚焦作用越強), 則Δ 越小; 自散焦介質中, |η|越大(自散焦作用越強), 則Δ 越大.

5 自聚焦焦距

當高功率激光通過自聚焦介質傳輸, 且P>Pcr(即η> 1)時, 激光在傳輸過程中逐漸會聚, 即發生自聚焦現象.理想情況下, 當束寬趨于零時,激光束會聚于一點, 其傳輸距離稱為自聚焦焦距zf[26?28].實際上, 激光在接近焦點時已不再是類高斯輪廓分布了, 因此自聚焦焦距zf僅是一種理想情形, 但它仍然具有一定的參考意義, 文獻[26?28]均采用該法研究了自聚焦焦距.

圖5 焦移Δ 隨像散系數C6 的變化 (a)自聚焦介質;(b)自散焦介質Fig.5.Focal shift Δ versus the astigmatic coefficient C6:(a) Self-focusing media; (b) self-defocusing media.

根據文獻[17]中的(4)式, 可得到聚焦像散高斯光束(P>Pcr)在自聚焦介質傳輸時束寬傳輸方程為

其中,w1x=w1y=w1, 1/R1x= 2C6–1/f, 1/R1y=–2C6–1/f.令(19)式等于零, 可得到聚焦像散高斯光束在自聚焦介質中傳輸的自聚焦焦距為:

實際上, 當z=zf1時, 有wy= 0; 當z=zf2時, 有wx= 0.

值得指出的是, 自聚焦焦距需滿足zf> 0.由(20a)式可知:f>zf1> 0, 即該焦點始終存在.令(20b)式中可得

當時,zf2> 0; 當時,zf2< 0 (舍去).

圖6 為自聚焦焦距zf隨像散系數C6的變化.由圖6 可知, 當時, 光束有兩個焦點; 當時, 光束僅有一個焦點.因此, 通過調控像散系數C6可以控制光束焦點的個數.

圖6 自聚焦焦距zf 隨像散系數C6 的變化Fig.6.Self-focusing focal length zf versus the astigmatic coefficient C6.

6 結 論

本文研究了Kerr 非線性介質中聚焦像散高斯光束的傳輸特性.在光束擴展情況下(η< 1), 推導出了聚焦像散高斯光束在Kerr 非線性介質中傳輸的束寬、束腰位置和焦移的解析公式, 研究了Kerr效應對光束像散特性和焦移特性的影響.研究表明: 束腰位置s2x隨像散系數C6的變化關于C6=1/(2f)軸對稱, 且存在一個最大值和一個最小值,f為透鏡焦距.自聚焦介質中,η越大(自聚焦作用越強), 光束像散越厲害, 但焦移越小; 自散焦介質中, |η|越大(自散焦作用越強), 光束像散越弱, 但焦移越大.在光束自聚焦情況下(η> 1), 研究了聚焦像散高斯光束的自聚焦焦距, 推導出了自聚焦焦距的解析公式.研究表明: 通過調控像散系數C6可以控制光束焦點的個數(一個或兩個焦點).本文研究結果具有理論和實際應用意義.