語言環境下具有容忍區間的有差異雙邊匹配決策方法

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

D.S.Gale 等[1]在入學匹配問題和婚姻穩定性問題的基礎上提出了“雙邊匹配”的概念，并提出了經典的Gale-Shapley 算法。之后，眾多國內外學者對其進行了研究，并提出了較多具有針對性的雙邊匹配決策方法[2-11]。雙邊匹配具有廣泛的實際應用背景，目前已在人崗雙邊匹配[12-14]、公私合作中政府項目與企業的雙邊匹配[15-16]和婚姻匹配[17-18]等方面得到較廣泛的應用。雙邊匹配決策問題包含中介和兩個有限的主體集，每個主體都對另一方主體給出評價信息，其目的是由中介匹配雙方主體并最大限度地使主體匹配到滿意的另一方主體。

針對主體給出的評價值為清晰數而期望值為區間數或離散區間數的無差異型雙邊匹配決策問題，文獻[17-18]分別基于匹配度和前景理論給出了兩種決策分析方法。值得指出的是，文獻[17-18]認為，評價值落在期望區間內所對應的匹配度為1，而落在期望區間外所對應的匹配度為0，其實這是值得商榷的。事實上，許多現實的雙邊匹配決策問題不屬于無差異的情形，而是有差異的，如對于效益型準則，應是越大越好，故大于期望區間的評價值所對應的匹配度應大于期望區間內的評價值所對應的匹配度；而對于成本型準則，則是越小越好，故小于期望區間的評價值所對應的匹配度應大于期望區間內的評價值所對應的匹配度，因而無差異區間型準則下的匹配度計算方法存在一定的局限性。另外，目前已有研究利用語言信息來定性表達主體對對方主體的評價，并進一步提出了雙邊匹配決策方法[19-22]。但針對雙方主體給出的評價為語言信息而期望水平為區間語言信息的情形缺乏研究。基于此，本文擬考慮區間型準則的差異性，針對不同區間的評價值，分別定義相應的匹配度，并進一步提出一種雙邊匹配決策方法，最后應用婚姻匹配算例進行驗證和分析。

1 預備知識

1.1 語言標度

語言標度由若干語言術語組成，能夠比較準確地表達模糊信息。徐澤水[23]設定了語言標度，τ≥0，其中sφ表示語言術語，s-τ和sτ分別表示決策者實際使用的語言術語的下限和上限，且s滿足

1）如果φ1＞φ2，則＞；

為較準確地描述主體的評價信息而又保證簡便性，課題組設定τ=3，即采用7 粒度的語言標度S7={s-3,s-2,s-1,s0,s1,s2,s3}，其中s-3表示“極差”，s-2表示“差”，s-1表示“較差”，s0表示“一般”，s1表示“較好”，s2表示“好”，s3表示“極好”。

定義1設為實數，若則稱k為區間數，其中和分別表示k的左右端點。特別地，若=，則k退化為實數[17]。

定義2設，為語言術語集，τ≥0，若，sφ1≤sφf，則稱s為離散語言區間術語，其中sφ1和sφf分別表示s的左右端點。特別地，若sφ1=sφf，則s退化為語言術語，記s為。

1.2 雙邊匹配

定義3設甲方主體集合為A={A1,A2,…,Am}，m≥2，Ai表示甲方第i個主體，i=1,2,…,m；乙方主體集合為B={B1,B2,…,Bn}，m≥n≥2，Bj表示乙方第j個主體，j=1,2,…,n。設γ：A∪B→A∪B為一一映射，若滿足以下3 個條件，則γ為雙邊匹配[24]。

1）γ(Ai)∈B，

2）γ(Bj)∈A∪{Bj}，

3）γ(Ai)=Bj當且僅當γ(Bj)=Ai。其中γ(Ai)=Bj表示Ai與Bj匹配并構成匹配對(Ai,Bj)，γ(Bj)=Bj表示Bj無匹配對象，由于其匹配對(Bj,Bj)在匹配結果中無意義，故忽略。

2 雙邊匹配決策方法

2.1 問題描述

語言環境下具有容忍區間的雙邊匹配決策問題由以下幾個部分構成。甲方主體的準則集合為，α≥2，準則對應權重為，即準則的權重為，0≤≤1，。乙方主體的準則集合為準則對應權重為，即準則的權重為，0≤≤1，。準則間相互獨立，不互相產生影響。Bj在準則下對Ai的評價值為，構建評價值矩陣，Bj在準則下的容忍區間為；Ai在準則下對Bj的評價值為，構建評價值矩陣，在準則下的容忍區間為；所有的評價信息和容忍區間都由主體以語言的形式給出。本文要解決的問題是依據雙方主體的語言評價信息、容忍區間和準則權重，如何通過有效的雙邊匹配決策，獲得最優匹配方案。

2.2 匹配度

由于雙邊匹配決策問題中的準則主要分為效益型準則和成本型準則，所以此部分從效益型準則和成本型準則兩個方面給出匹配度的計算公式。

效益型準則要求主體的評價值越高越好，在主體存在容忍區間的情況下，小于容忍區間的評價值對應的匹配度為0；容忍區間內的評價值對應的匹配度為0.5；大于容忍區間的評價值對應的匹配度為1。

若為效益型準則，對應的匹配度為

類似地，如果為效益型準則，對應的匹配度為

為Ai在準則下對Bj的評價值。

不同于效益型準則，成本型準則要求主體的評價值越低越好，在主體存在容忍區間的情況下，小于容忍區間的評價值對應的匹配度為1，容忍區間內的評價值對應的匹配度為0.5，大于容忍區間的評價值對應的匹配度為0。

如果為成本型準則，對應的匹配度為

為Ai在準則下對Bj的評價值。

進一步利用線性加權集結算子將各準則下的匹配度集結為總匹配度：

式（5）（6）中：aij為Bj對Ai的總匹配度；

為對應的匹配度；

為準則的權重；

bij為Ai對Bj的總匹配度；

為對應的匹配度；

為準則的權重。

2.3 雙邊匹配模型

設xij為0,1變量，且在滿意雙邊匹配中，由雙方主體的總匹配度矩陣建立多目標優化模型(M-1)：

式（7）中maxZA表示乙方主體對甲方主體的總匹配度達到最大值；式（8）中maxZB表示甲方主體對乙方主體的總匹配度達到最大值；式（9）表示對于每一個甲方主體，都能找到一個乙方主體與之匹配，式（10）表示對于每一個乙方主體，可能不存在甲方主體與之匹配。

可采用線性加權法將多目標優化模型(M-1)轉化為單目標優化模型。設甲方主體的權重為ωA，乙方主體的權重為ωB，且0≤ωA≤1，0≤ωB≤1，ωA+ωB=1，建立單目標優化模型(M-2)：

式（11）中maxZ表示綜合甲乙雙方對對方主體的匹配度達到最大值。

模型(M-2)可使用支持線性優化的優化軟件包進行求解，如Matlab、Lingo11。

定理1優化模型(M-2)存在最優解。

證明由于求解目標為0,1 變量，故可將模型(M-2)轉化為指派問題，并用匈牙利算法求解。由模型可知，式（11）自變量數目為mn，故至多出現2mn個解。顯然，匹配方案i=1,2,…,m；j=1,2,…,n，為目標函數的可行解，故模型(M-2)的可行域非空，則在該可行域中，必能在某處取值使得式（11）目標函數達到最大值，取得最優解，證畢。

綜上，給出語言環境下主體存在容忍區間的有差異雙邊匹配決策方法的計算步驟：

步驟1利用式（1）～（4）計算各準則下評價值對應的匹配度。

步驟2利用式（5）～（6）將各準則下的匹配度集結為總匹配度并構建總匹配度矩陣和。

步驟3基于總匹配度矩陣建立多目標優化模型(M-1)。

步驟4將多目標優化模型(M-1)轉化為單目標優化模型(M-2)。

步驟5求解單目標優化模型(M-2)得到最優匹配方案。

3 算例分析

株洲一婚介所對3 位女士(A1,A2,A3)和4 位男士(B1,B2,B3,B4)作婚姻匹配，雙方共同考慮的準則有家境C1、年收入C2及相貌C3。其中C1、C2、C3的準則評價值均包含在7 粒度的語言標度S7，假設準則權重向量為W=(0.3,0.4,0.3)T，顯然3 個準則都為效益型準則。由于甲方主體和乙方主體的準則集合相同，將和同時表示為，α=3。男士對女士給出的評價值矩陣和容忍區間如表1所示；女士對男士給出的評價值矩陣如表2所示，與RB相對應的容忍區間如表3所示。

表1 評價值矩陣RA 和相應容忍區間Table 1 Evaluation matrix RA with its related tolerance interval

表2 評價值矩陣RBTable 2 Evaluation matrix RB

表3 與RB 相對應的容忍區間Table 3 Tolerance interval related to RB

以下利用本文提出的雙邊匹配決策方法求解匹配結果。

步驟1利用式（1）和式（2）計算各準則下評價值對應的匹配度。各準則下男士對女士的評價值對應的匹配度和各準則下女士對男士的評價值對應的匹配度可分別由表4和表5表示。

表4 各準則下男士對女士的評價值對應的匹配度Table 4 Matching degrees of evaluations of females given by males under each criteria

表5 各準則下女士對男士的評價值對應的匹配度Table 5 Matching degrees of evaluations of males given by females under each criteria

步驟2利用式（5）和式（6）將各準則下的匹配度集結為總匹配度。男士對女士的匹配度和女士對男士的匹配度可分別由表6和表7表示。

表6 男士對女士的匹配度Table 6 Matching degrees of females give by males

表7 女士對男士的匹配度Table 7 Matching degrees of males give by females

步驟3基于表6和表7所示數據建立多目標優化模型(M-1)。

步驟4由于婚介所未給出對男方和女方的偏好信息，故ωA=ωB=0.5，將多目標優化模型(M-1)轉化為單目標優化模型(M-2)。

步驟5求解單目標優化模型(M-2)得到匹配結果x11=1，x23=1，x32=1，即最優匹配方案為{(A1,B1)，(A2,B3)，(A3,B2)}，B4無匹配對象。

4 對比分析

文獻[17]認為評價值對應的匹配度只能為0 或1，即期望區間內的評價值對應的匹配度為1 而期望區間外的評價值對應的匹配度為0，然而在考慮效益型準則和成本型準則后，本文指出：在效益型準則下，大于期望區間的評價值對應的匹配度應大于期望區間中的評價值對應的匹配度；在成本型準則下，小于期望區間的評價值對應的匹配度應大于期望區間中的評價值對應的匹配度。效益型準則下，文獻[17]中主體給出的期望區間在本文中可視為容忍區間右端點至語言標度中最大語言術語的左開右閉區間，相對地，成本型準則下[17]中主體給出的期望區間在本文中可視為容忍區間左端點至語言標度中最小語言術語的左閉右開區間，故容忍區間將語言標度區分為了3 個有差異的區間，每個區間評價值對應的匹配度不同。為研究[17]提出的雙邊匹配決策方法與此研究所提出的雙邊匹配決策方法有何異同，假定在此研究的實例中，容忍區間中的評價值對應的匹配度為1，對應于文獻[17]為期望區間中的評價值對應的匹配度為1，且雙方主體的權重保持均等，則得到最優匹配方案{(A1,B3)，(A2,B1)，(A3,B2)}，B4無匹配對象。

在匹配度修改處理后，A1的匹配對象由B1變為B3，A2的匹配對象由B3變為B1，不難發現，在表3和表4與A1，B3二者相關的匹配度中，匹配度0.5出現的次數較多，與A2，B1二者相關的匹配度中，匹配度0.5 出現的次數同樣較多，在將匹配度0.5 修改為1 后，對（A1,B3）和（A2,B1）兩組主體的匹配傾向起到了放大作用。雖然整體來看，在將匹配度0.5修改為1 后，對所有主體的匹配傾向都起到了放大作用，但是對（A1,B3）和（A2,B1）兩組主體的匹配傾向的放大作用要高于其他任意兩組主體的匹配傾向放大作用，這就導致了最優匹配結果的改變。

5 結語

無差異雙邊匹配決策方法利用期望區間將評價值信息總區間劃分為兩個具有不同匹配度的區間，本文指出該方法在效益型準則和成本型準則的情形下不適用，然后提出容忍區間，在語言環境下指出容忍區間內的評價值對應的匹配度為0.5，將語言標度劃分為3 個不同的區間，分別針對3 個區間的評價值定義匹配度，體現不同區間中評價值的差異性。在容忍區間和匹配度的基礎上，本文提出了一種有差異雙邊匹配決策方法。最后，本文將所提出的有差異雙邊匹配決策方法與無差異雙邊匹配決策方法進行了對比與分析，指出本文所提出的方法適用性更廣泛。