關于一道感生電動勢例題計算的思考

張 月 沈國柱 趙媛媛

(南京信息工程大學物理與光電工程學院,江蘇 南京 210044)

1 問題引入

本科物理學的學習相較于高中而言的最大特征是強調矢量叉乘方向的判斷與微分的內容,而電磁學的學習是矢量知識運用的較集中的體現,也是本科物理學學習的基礎。因此,強化矢量叉乘運算能力有利于更好地理解電磁學中具體內容的物理意義,為進一步的物理學學習打下基礎。

本科階段學習電磁學的過程中,在系統學習穩恒磁場之后引入法拉第電磁感應定律和楞次定律,結合以上兩個定律引入感應電動勢的概念,感應電動勢可根據磁通量變化方式的不同而分為動生電動勢與感生電動勢。動生電動勢的計算方法一般有兩種方法[1]:

方法一:通過洛倫茲力公式

來進行計算。

方法二:利用法拉第定律進行計算。此時又分為兩種情況,即運動的導體是否閉合,選擇合適的閉合曲線運用法拉第定律進行計算即可得到結果。

感生電動勢的計算也同樣有兩種方法[1]:

方法一:利用定義式

來進行計算。

方法二:利用法拉第定律進行計算。同樣分為閉合導體與一段導體兩種情況,通過選擇合適的閉合曲線進行計算。

在實際計算非閉合回路感應電動勢的過程中,利用法拉第電磁感應定律方法能夠很便捷地得到計算結果,但是使用定義法能夠更加反映物理實質。相較于動生電動勢,利用定義法來計算感生電動勢方法更加需要仔細分析矢量方向的問題,不然很容易導致方向混亂、計算結果正負號有誤。

在大多數電磁學教材中大多只計算了磁場內部導體段的感生電動勢,對磁場外的感生電動勢描述較少,并且由于在磁場內導體段幾何的特殊性,使得計算過程進行了簡化,并沒有過多考慮變量之間的矢量方向和變化方向的問題。而在計算磁場外導體段的感生電動勢時,積分表達式并不能形成一個可以根據幾何關系簡化的結構,但是這一部分內容在大多教材中并未提及,并且教師在授課的過程中也不會給出詳細的計算過程,所以學生在計算的過程中并不明晰其中的矢量關系的轉變。因此要重點考慮各變量之間的關系才能得到正確的答案。

為了解決以上問題,揭示感生電動勢物理實質,下面筆者引入一道例題,并針對此例題在定義法的基礎上提出三種方法來更好地理解感生電動勢計算過程中矢量的運用。

【例題】如圖1所示,半徑為R的無限長圓柱形空間內有均勻的磁場以恒定的變化率=k＞0變化,有一內阻可忽略的等腰梯形導線框abcd,a、b兩點位于圓柱面上,且有cd=2ab=2R,bc和ab邊延長線過圓心O,求導線框中的感應電動勢。

圖1 例題配圖

2 分析問題

在求解導線框回路abcd的電動勢中,由于ad段與bc段的積分方向與渦旋電場方向相反,根據矢量點乘的性質,ad段與bc段的感生電動勢為0。對于此題中的分析,筆者閱讀了諸多電磁學教材[1-3],集中解決ab導體段的感生電動勢,所提出的方法大多一致,這里不再贅述,只是列出一般計算ab導體段感生電動勢的解題方法。而本文將重點放在dc導體段的分析計算上,并且基于感生電動勢的定義提出三種切實可行且不會造成計算過程中矢量方向混亂的方法。

2.1 使用法拉第電磁感應定律

在此針對此題,給出使用法拉第電磁感應定律計算感生電動勢的一般做法。因為有法拉第電磁感應定律

其中ε為感應電動勢,Φ為磁通量,負號滿足楞次定律的要求。

2.2 感生電場的計算

變化著的磁場會在其周圍產生電場,這種電場稱為感生電場或渦旋電場[4]。渦旋電場由變化的磁場產生,并且是一個閉合電場。渦旋電場是感生電動勢非靜電力的來源,根據法拉第電磁感應定律進一步推導,渦旋電場繞閉合回路一圈的表達式可以寫成

其中,曲面S的方向與曲線L成右手螺旋關系。

根據磁場方向將面S的法線方向取向內側,根據右手螺旋定則曲線L的正方向為順時針方向,并且由幾何關系知,cb、da延長線交于圓形磁場的圓心處,且夾角為60°。做圓心到導體段任意一點的連線,長度為r,從圓形磁場的圓心做以r為半徑的圓(如圖2所示)。r處渦旋電場方向與虛線圓相切,并與磁場方向成右手螺旋關系,各部分的矢量關系如圖3所示。以圓形磁場作為分界線,計算圓形磁場內外區域半徑r處產生的渦旋電場

考慮矢量方向,得到

其中感生電場方向的單位矢量定義為eφ。

2.3 ab 導體段感生電動勢的計算方法

在此,筆者只討論定義法下求解感生電動勢的方法。由于曲線正方向為順時針方向,因此在接下來的討論中,我們定義積分方向為a→b,d→c方向。

圖2 做r 為半徑圓

圖3 ab 段各部分矢量關系

根據感生電動勢的定義,對ab導體段有

讀者可以看出,在計算ab導體段感生電動勢每一步的過程中都有不少的矢量運算。并且對于ab導體段,計算較為簡單的主要原因是計算過程中存在rcosθ=R的關系式,直接代換得到相對簡單的結果。但是對于dc導體段的計算過程中并沒有形成這樣“完美”的結構,這也是計算過程存在錯誤的主要原因之一。因此,筆者將對dc導體段的計算過程進行一個詳盡的闡述。

2.4 dc 導體段感生電動勢的計算方法

2.4.1 弧度法

根據感生電動勢的定義,對dc導體段有

根據圖像關系(如圖4所示),可以得到

這一步務必要注意dl與dθ之間的關系,從這個表達式中我們可以看出r恒為正數,cosθ在第一象限和第四象限恒為正數。因此dl與dθ的變化方向是一致的,即同時增大或同時減小。由于d→c方向為積分正方向,所以dl＞0,因此dθ＞0,所以角度θ積分范圍為

圖4 dc 段各矢量之間的關系

所以,此時dc導體段的感生電動勢為

在此過程中可以看出,運用式(13)的幾何關系代入式(14)中可將r替換掉,說明在計算磁場以外區域時,感生電動勢與半徑r無關。

2.4.2直接法

直接法是根據各種矢量關系直接推導,沒有特殊的技巧性,屬于最本源的方法。首先將積分的坐標原點設置在d點處,以向左(即d→c方向)為正方向(如圖5所示)。這里可能會與約定俗成的以右方向為正方向所相悖,但是從感生電動勢物理含義出發,根據渦旋電場方向來規定正方向是合理且不易出錯的。因此,在計算此類問題時要跳出固有的思維模式,根據物理含義及時調整物理參量。

圖5 直接法

根據圖像,我們可以看出有以下關系式

對兩邊求微分,得到

對兩邊求微分,得到

所以此時dc導體段的感生電動勢為

這里讀者可能會產生很大的疑問,為什么角度積分上下限與弧度法中相反? 這也是筆者想要花大量筆墨著重討論的問題,下面給出詳細的解釋。

在上述表達式中,定義角度范圍在第一象限和第四象限,則括號里的函數恒為正,又因為dl積分方向為正方向,所以dl恒為正。而因為負號的存在,使得dl與dθ變化方向相反,即θ由大到小進行變化,因此dθ恒為負。在積分表達式中的含義為θ的變化為

從式(23)可以看出,在積分過程中r被約分消去,再次說明在計算磁場以外區域時,感生電動勢與半徑r無關。

2.4.3 中點坐標原點法

上述直接法從本源上反映了渦旋電場產生感生電動勢的過程,每一步都有著合理的解釋與詳盡的矢量關系。但是操作起來略顯繁雜,這里提到的選取dc段中點h為坐標原點的方法可以在一定程度上簡化計算。

以dc中點為坐標原點,仍以向左為正方向(如圖6所示),可以得到如下關系

注意此時l與θ正負性相同,即同時取正,同時取負。對等式兩邊求導,得到

所以此時dc導體段的感生電動勢為

圖6 選取dc 中點為原點

通過將幾何關系式(31)代入到積分表達式這一過程,不難發現積分過程中可將r替換掉,同樣說明在計算磁場以外區域時,感生電動勢與半徑r無關。

2.4.4 線框在磁場外的感生電動勢

當整個梯形線圈在磁場外時,由法拉第電磁感應定律式(3)可知,此時穿過閉合線圈的磁通量恒為0,因此εbadcb=0。即若整個線框在磁場外時,總感生電動勢為0。

2.5 回路感生電動勢

通過上述分析,不難得到最終回路的感生電動勢為

因此,最終得到回路badcb的感生電動勢為與上述利用法拉第定律選擇合適的閉合曲線進行計算的結果一致。

3 結語

本文首先給出使用法拉第電磁感應定律的方法對例題進行計算,得到正確結果。之后基于定義法針對磁場外導體段的感生電動勢進行分析研究,分別使用了弧度法、直接法和中點坐標原點法。三種方法各有其特點,弧度法相對簡潔,但是在使用弧度法時要明確積分方向與角度變化方向之間的關系,否則會造成正負號混亂的情況。直接法是從感生電動勢本源出發,具有較強的幾何性質,對于積分方向與角度變化方向同樣有要求。在計算時務必考慮每一步之間各個變量的關系,并且跳出已有思維模式,根據題意選擇合適的正方向進行積分。中點坐標原點法,定義了導體段坐標l與θ的正負號相同,基于此規定可以使得計算過程簡化且易于接受。讀者可以嘗試用以上闡述的三種方法對ab導體段來計算感生電動勢,得到的結果與使用閉合回路法拉第定律相同。從定義出發的三種方法最大的共同點是在計算過程中認真考慮每一個矢量方向和變量變化方向之間的關系,只有做到每一步都有合理的邏輯,才能解決使用定義法計算感生電動勢的過程中產生的方向混亂、正負號有誤的問題。