直升機(jī)載火控雷達(dá)抗干擾捷變波形優(yōu)化算法

余唐旭，張勁東，何 濤，李 晨

（1.中國直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，景德鎮(zhèn)333001；2.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京211106；3.中航工業(yè)雷華電子技術(shù)研究所第六研究部，無錫214063）

直升機(jī)載火控雷達(dá)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)地對(duì)空目標(biāo)監(jiān)視、跟蹤、定位和地形回避［1］，且具有頻段高、體積小和質(zhì)量輕等特點(diǎn)，是武裝直升機(jī)適裝的重要電子裝備［2］。隨著新的電子干擾技術(shù)的迅速發(fā)展，低空近程防空武器系統(tǒng)以及直升機(jī)專用雷達(dá)綜合對(duì)抗系統(tǒng)的出現(xiàn)，導(dǎo)致直升機(jī)載雷達(dá)工作的電磁環(huán)境日趨復(fù)雜［3］。發(fā)射固定波形的雷達(dá)一旦其信號(hào)被敵方干擾機(jī)截獲和識(shí)別，將非常容易被實(shí)施有針對(duì)性的干擾。

捷變波形由于其發(fā)射波形的不確定性，會(huì)使敵方干擾機(jī)的分選識(shí)別變得非常困難，因此也難以對(duì)其實(shí)施有效干擾［4］。隨著數(shù)字波形發(fā)生器技術(shù)的不斷發(fā)展，捷變波形逐漸成為雷達(dá)研究領(lǐng)域的新熱點(diǎn)和直升機(jī)雷達(dá)波形的新選擇。針對(duì)復(fù)雜波形設(shè)計(jì)問題，He 等給出了用于設(shè)計(jì)模糊函數(shù)的Multi-CAN 算法［5］，Arlery 等給出了基于梯度下降的模糊函數(shù)設(shè)計(jì)算法［6］。Boyd 等提出求解凸優(yōu)化問題的交替方向乘子法（Alternating direction method of multipliers，ADMM）［7］。隨 后Liang 等 使 用AD-MM 方法求解帶約束二次型最優(yōu)化問題，給出了一種設(shè)計(jì)具有低自相關(guān)旁瓣的連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)方法［8］。在二次型優(yōu)化問題中，ADMM 更新公式可以給出閉式解，但在四次型優(yōu)化問題中，閉式解難以獲取。Hunter 和Lange 提出的Majorization-min-imization（MM）算法是一種迭代求解最優(yōu)化問題的算法，通過構(gòu)造并求解形式更為簡單的輔助函數(shù)，逐漸逼近原問題的最優(yōu)解［9］。Song 等給出了一種基于MM 算法的模糊函數(shù)設(shè)計(jì)方法，其中輔助函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)上界的二次型［10］。Kerahroodi等［11-12］將坐標(biāo)下降（Coordinate descent，CD）算法運(yùn)用到優(yōu)化波形自相關(guān)函數(shù)。CD 算法在整個(gè)迭代過程中使用不同的坐標(biāo)方向進(jìn)行線搜索以求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。以上優(yōu)化方法主要用于單個(gè)波形優(yōu)化。捷變波形的優(yōu)化問題目前主要依賴啟發(fā)類智能優(yōu)化算法，例如模擬退火算法［13］、遺傳算法［14］和粒子群算法［15］等，但在面對(duì)超高維優(yōu)化變量時(shí)，往往優(yōu)化耗時(shí)太長，容易陷入局部收斂。

由于直升機(jī)載火控雷達(dá)作用距離相對(duì)較近，且普遍采用中高重復(fù)頻率的窄脈沖，因此其相干處理間隔（Coherent processing interval，CPI）雖然脈沖個(gè)數(shù)較多，但單個(gè)脈沖碼長較短，影響其探測(cè)性能。如何有針對(duì)性地開展高維變量下捷變波形優(yōu)化設(shè)計(jì)，使其在低復(fù)雜算法下實(shí)現(xiàn)捷變優(yōu)化的同時(shí)，保證多脈沖和短碼長下的相干處理性能是本文的研究目標(biāo)。目前針對(duì)短碼和捷變波形優(yōu)化的工作相對(duì)較少。本文基于捷變相位調(diào)制波形（Agiled phase coded waveform，APCW），以離散化的捷變波形距離-多普勒模糊函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，將捷變波形設(shè)計(jì)問題建模為帶約束四次型最優(yōu)化問題，并給出基于SVD 降維算法和循環(huán)算法的求解方法。

1 捷變波形模糊函數(shù)

設(shè)直升機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)在一個(gè)CPI 內(nèi)連續(xù)發(fā)射N 個(gè)脈沖信號(hào)

脈沖多普勒體質(zhì)雷達(dá)對(duì)回波信號(hào)首先進(jìn)行濾波處理。對(duì)于反射的第n個(gè)脈沖，接收濾波器可寫為

則濾波器的輸出為

式中：τ 和f 分別為目標(biāo)時(shí)間延遲和多普勒頻移。

由于直升機(jī)載火控雷達(dá)的脈沖重復(fù)頻率較高，因此在目標(biāo)的相對(duì)徑向運(yùn)動(dòng)速度滿足|v|≤λ/4Tr的情況下，目標(biāo)的多普勒移頻能夠滿足-1 2Tr≤f ≤1 2Tr，其 中λ 為 波 長。同 時(shí) 直 升機(jī)載火控雷達(dá)為了滿足最小作用距離和最大作用距離要求，往往采用窄脈沖和低于1/5 的占空比。因此，對(duì)于其發(fā)射波形的持續(xù)時(shí)間足夠小，滿足|2πfT| ＜π 5，即T ≤Tr5。由此，可以不考慮動(dòng)目標(biāo)（包括地面和低空飛行目標(biāo)，以及在高重頻下的彈目標(biāo)）多普勒頻率引起的回波脈內(nèi)相位變化。

取τ=ptp，p=-M，…，1，…，M。由于Tr?tp，χn(τ，f )可轉(zhuǎn)換為

式（7）忽略了多普勒頻率對(duì)脈內(nèi)相位的調(diào)制。

回波信號(hào)經(jīng)過濾波之后，濾波器輸出可表示為一個(gè)2(M -1)×N 的二維矩陣ξ( p，v)，2(M -1)和N 分別對(duì)應(yīng)了時(shí)間延遲和脈沖數(shù)目。接著，對(duì)濾波結(jié)果進(jìn)行一維N 點(diǎn)逆離散傅里葉變換以實(shí)現(xiàn)固定延遲脈沖信號(hào)的相干處理。經(jīng)過處理后的距離-多普勒二維函數(shù)為

從優(yōu)化模糊函數(shù)的角度來說，捷變波形的期望模糊函數(shù)除了主峰，在其余位置的副瓣接近零。由式（9）所示，目標(biāo)的多普勒頻率f僅影響距離-多普勒平面上目標(biāo)所在位置的聚焦，不影響目標(biāo)在距離-多普勒二維平面上的形狀，即模糊函數(shù)形狀。因此可以設(shè)置f =0，且定義捷變波形的離散距離-多普勒模糊函數(shù)為

為抑制雜波和旁瓣，則需最小化目標(biāo)函數(shù)ξ( p，q)

由于捷變波形的設(shè)計(jì)本質(zhì)上是一個(gè)高維復(fù)雜變量的約束優(yōu)化問題，對(duì)其進(jìn)行直接求解優(yōu)化難度極高，且維度高造成的計(jì)算復(fù)雜度也極高。因此，這里采用交替指向方法首先將上述優(yōu)化分解為多個(gè)最小化問題。顯然，降維后的優(yōu)化問題在一次優(yōu)化過程中的優(yōu)化變量個(gè)數(shù)明顯減少。

2 基于SVD 分解的捷變波形優(yōu)化算法

降維后的捷變波形優(yōu)化問題簡化為交替指向下各個(gè)波形的單個(gè)優(yōu)化。但對(duì)單個(gè)波形的優(yōu)化，問題（12）仍是一個(gè)四次型的優(yōu)化問題。直接對(duì)四次型的優(yōu)化是一個(gè)非常復(fù)雜且耗計(jì)算量的問題。因此，針對(duì)捷變波形優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先采用一種基于奇異值分解的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法構(gòu)造自相關(guān)系數(shù)矩陣作為中間量，在優(yōu)化過程中通過先優(yōu)化自相關(guān)系數(shù)矩陣，再優(yōu)化波形，最后通過反復(fù)迭代的方式實(shí)現(xiàn)收斂。與文獻(xiàn)［7-8］等方法相比，是一種新的將四次型降為二次型的思路。

2.1 交替指向下的相關(guān)系數(shù)估計(jì)

2.2 SVD 降冪次

在估計(jì)各個(gè)波形的相關(guān)系數(shù)后，雖然解決了優(yōu)化的高維數(shù)問題。但優(yōu)化目標(biāo)仍是一個(gè)四次型優(yōu)化問題，這里采用SVD 分解進(jìn)行降冪次。

令

對(duì)式（20）進(jìn)行最小化，可以按照以下方法進(jìn)行分解和優(yōu)化。

2.3 基于SVD 的捷變波形優(yōu)化流程

根據(jù)上述過程，對(duì)捷變波形的優(yōu)化可以總結(jié)為如下所示。

3 基于循環(huán)算法的捷變波形優(yōu)化算法

在第2 節(jié)中，對(duì)捷變波形的優(yōu)化其核心在SVD分解的運(yùn)用，因此其計(jì)算復(fù)雜度略高。在針對(duì)短碼的優(yōu)化，SVD 運(yùn)算也相對(duì)較好。在某些不希望采用復(fù)雜運(yùn)算形式的場合，SVD 分解的適用性將下降。為了簡化運(yùn)算形式，本節(jié)將采用一種循環(huán)算法的捷變波形優(yōu)化算法，該算法最大的特點(diǎn)在于運(yùn)算形式較為簡單，不涉及矩陣分解等復(fù)雜運(yùn)算。

3.1 優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)化

捷變波形的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為四次型，因此很難利用解析形式給出全局最優(yōu)解或直接給出優(yōu)化方法。這里給出一種局部最優(yōu)的優(yōu)化技術(shù)，這是一種計(jì)算效率較高的方法。

式中：矩陣Qn為M ×M 的Hermitian 矩陣 為正定矩陣。

3.2 循環(huán)迭代的算法證明

從上述證明過程可見，如果兩個(gè)不等式的約束能夠滿足，就能夠保證目標(biāo)函數(shù)的收斂性。定理3將證明如何保證這兩個(gè)不等式的成立。

定理2 兩個(gè)不等式成立

由此可見，上述過程滿足了兩個(gè)不等式的要求，可以使得上述過程在迭代過程中保證計(jì)算的收斂性。

考慮到序列的恒模性約束，近似解可以表示為

3.3 基于循環(huán)算法的捷變波形優(yōu)化流程

循環(huán)算法步驟總結(jié)如下。

步 驟 1 令 k=0，初 始 化 調(diào) 制 編 碼{ x(n，m) }，n=0，1，…，N -1；m=0，1，…，M -1，使用隨機(jī)生成的編碼調(diào)制形式；

步驟2 令n=0；N -1；

步驟2.1 根據(jù)公式計(jì)算矩陣Qn；

4 計(jì)算機(jī)仿真與性能分析

選取參數(shù)：直升機(jī)載火控雷達(dá)載頻35 GHz，重頻100 kHz，帶 寬10 MHz，一 個(gè)CPI 內(nèi) 脈 沖 個(gè) 數(shù)100，脈寬在0.8～2 μs 之間變化，即對(duì)應(yīng)的脈內(nèi)編碼碼長M 在8～20 之間變化。

目 標(biāo) 區(qū) 域Φ 的 參 數(shù) 為Φ={( p，q)|-M/2 ≤p ≤M/2，-N/4 ≤q ≤N/4}。

圖1 基于SVD分解和循環(huán)算法的優(yōu)化后的模糊函數(shù)俯視圖Fig.1 Top view of optimized ambiguity function based on SVD and cyclic algorithm

圖1 給出了脈沖個(gè)數(shù)100 和碼長20 下的基于SVD 分解和循環(huán)計(jì)算的捷變波形優(yōu)算法優(yōu)化后的模糊函數(shù)俯視圖。

圖2 給出了基于SVD 分解和循環(huán)計(jì)算的捷變波形優(yōu)算法的收斂。由圖2 可見，基于SVD 分解的方法收斂速度更快，基于循環(huán)計(jì)算的方法收斂速度稍慢，但在經(jīng)過400 次迭代計(jì)算后二者優(yōu)化性能接近。

圖2 捷變波形優(yōu)化算法的收斂曲線Fig.2 Convergence curve of agile waveform optimization al-gorithm

圖3 給出了在迭代100 次后不同算法在不同M 下的優(yōu)化性能，可見基于SVD 的優(yōu)化算法結(jié)果優(yōu)于基于循環(huán)計(jì)算的算法。

圖3 在不同M 下的捷變波形優(yōu)化性能Fig.3 Agile waveform optimization performance using dif-ferent M

圖4 給出了脈沖個(gè)數(shù)100 和碼長20 下捷變波形對(duì)多目標(biāo)的處理結(jié)果。由圖4 可見，LFM 和隨機(jī)捷變波形的副瓣整體較高，其中隨機(jī)捷變波形的副瓣分散，LFM 波形的副瓣呈現(xiàn)十字形。經(jīng)過優(yōu)化后的捷變波形副瓣整體較低。

圖4 捷變波形對(duì)多目標(biāo)的處理結(jié)果Fig.4 Results of multi-target processing with agile wave-form

5 結(jié) 論

本文針對(duì)直升機(jī)載火控雷達(dá)在多脈沖和短碼長下的捷變波形優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，提出了具有目標(biāo)區(qū)域低旁瓣模糊函數(shù)的捷變相位編碼波形優(yōu)化設(shè)計(jì)算法。算法通過SVD 分解和循環(huán)計(jì)算框架求解帶約束的四次型優(yōu)化問題。其中SVD 分解的波形優(yōu)化算法收斂性更好，循環(huán)計(jì)算的波形優(yōu)化算法計(jì)算簡單，不涉及復(fù)雜運(yùn)算形式。仿真結(jié)果表明，兩種算法在設(shè)計(jì)脈沖串性能上接近，但SVD 分解算法收斂速度更快，循環(huán)計(jì)算算法具有更高的運(yùn)算速度。