船舶艉軸承間隙對(duì)軸系回旋振動(dòng)特性影響分析

田川， 杜敬濤， 許得水， 李文龍

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

船舶推進(jìn)軸系的回旋振動(dòng)實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)軸的進(jìn)動(dòng)，其振動(dòng)特性受影響的因素較多。除了軸系本身結(jié)構(gòu)對(duì)其影響外，軸承支點(diǎn)位置、軸系校中狀態(tài)、支承系統(tǒng)特性等也對(duì)其有較大影響[1]。艉軸是船舶軸系中的最后一段，由于它的懸伸布置以及螺旋槳具有較大的自重，使得對(duì)艉軸起支承作用的艉軸承成為船舶軸系中負(fù)荷最大的軸承。由于軸系運(yùn)轉(zhuǎn)的不穩(wěn)定性，導(dǎo)致軸承潤(rùn)滑狀態(tài)不良，影響了液膜的支承剛度，最終使得支承系統(tǒng)總體剛度受影響[2]。因此，艉軸承的動(dòng)態(tài)特性對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響就顯得至關(guān)重要。

目前研究人員對(duì)油膜動(dòng)態(tài)特性分析已經(jīng)做了大量的工作[3-7]。魏維等[8]研究了軸承設(shè)計(jì)間隙對(duì)最小油膜厚度、油膜壓力分布、動(dòng)態(tài)特性系數(shù)以及失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響，但得到的規(guī)律只具有一般性，對(duì)特定的軸承，設(shè)計(jì)間隙對(duì)動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的影響是復(fù)雜的，不是一個(gè)簡(jiǎn)單的曲線可以表達(dá)的。王磊等[9]借助有限元軟件，分析了螺旋槳慣性力矩(陀螺力矩、應(yīng)力剛化效應(yīng)和旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)等)對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響，對(duì)軸承進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，但沒有考慮軸承對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響。李小軍等[10]利用ANSYS軟件，分析船舶推進(jìn)軸系后艉軸承剛度各向同性和各向異性時(shí)對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響，但沒有具體分析軸承的剛度變化，依然是將軸承簡(jiǎn)化成一個(gè)剛度不變的彈簧支承。夏極等[11]分析了油膜動(dòng)態(tài)特性系數(shù)各向同性和異性時(shí)對(duì)軸系回旋振動(dòng)特性的影響，但他沒有考慮軸承的設(shè)計(jì)間隙對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響。現(xiàn)存對(duì)軸系回旋振動(dòng)特性的研究，是將軸承簡(jiǎn)化為彈性支承，其等效的支承剛度是固定不變的，而實(shí)際工況下軸承剛度是隨轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)變化的，對(duì)軸系的回旋振動(dòng)有較大影響。目前軸承設(shè)計(jì)沒有考慮軸承剛度變化的影響，未充分研究軸承動(dòng)態(tài)剛度對(duì)軸系臨界轉(zhuǎn)速影響的機(jī)理。

因此本文以船舶艉軸承為研究對(duì)象，建立軸承流體潤(rùn)滑的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)載荷增量法得到軸承的液膜剛度，研究了艉軸承的設(shè)計(jì)間隙對(duì)液膜剛度的影響；在此研究基礎(chǔ)上，利用ANSYS建立船舶推進(jìn)軸系模型，考慮軸承的剛度變化，計(jì)算軸系回旋振動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速，分析艉軸承不同設(shè)計(jì)間隙對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響。

1 分析模型

1.1 推進(jìn)軸系模型

船舶推進(jìn)軸系由齒輪箱、推力軸、中間軸、螺旋槳軸和支承軸承及其附件組成，其一般結(jié)構(gòu)布置形式如圖1所示。

圖1 船舶推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of ship propulsion shafting structure

本文選用某大型船舶推進(jìn)軸系為研究對(duì)象，其推進(jìn)軸系實(shí)體模型如圖2 所示，額定轉(zhuǎn)速為150 r/min，軸系全長(zhǎng)13.55 m，螺旋槳葉片數(shù)為4，軸承支承數(shù)為3。以等截面均質(zhì)軸端的形式建立螺旋槳軸、中間軸，用梁?jiǎn)卧獊泶妫粚?duì)于螺旋槳，用質(zhì)量單元來代替；軸承簡(jiǎn)化成彈簧支承，用彈簧單元代替；法蘭看為均質(zhì)剛性圓盤組件。邊界條件：對(duì)于回振，首段元件為高彈性聯(lián)軸器，取為自由端，艉端邊界條件，即螺旋槳處，取為自由端。離散后得到如圖3所示的推進(jìn)軸系簡(jiǎn)化模型，主要參數(shù)如表1所示。

圖2 推進(jìn)軸系實(shí)體模型Fig.2 Propulsion shafting solid model

圖3 推進(jìn)軸系簡(jiǎn)化離散模型Fig.3 Propulsion shafting simplified discrete model

表1 軸系幾何參數(shù)Table 1 Shaft geometry parameter

1.2 艉軸承模型

從船舶推進(jìn)軸系的實(shí)體模型中提取出艉軸承，如圖4所示，規(guī)定x方向?yàn)樗椒较颍瑈方向?yàn)樨Q直方向，O為軸承襯中心，O0為軸頸平衡位置中心，h為M點(diǎn)處的液膜厚度，r為軸頸半徑，R為軸承襯半徑，φ0為偏位角，e為偏心距。

圖4 艉軸承模型周向坐標(biāo)Fig.4 Tail bearing model circumferential coordinate

2 軸承液膜剛度推導(dǎo)

液膜剛度與許多因素有關(guān)，例如軸承結(jié)構(gòu)、負(fù)載大小、潤(rùn)滑劑的粘度、溫度、軸承間隙等。它還與轉(zhuǎn)速密切相關(guān)，它的計(jì)算由不穩(wěn)定載荷下Reynold方程推導(dǎo)求得，在近似計(jì)算時(shí)，Jasper建議：k=CP/δ，P軸承靜負(fù)載；C軸承徑向間隙；δ系數(shù)，Jasper建議取2。對(duì)于50 000 t以下的運(yùn)輸商船，艉管后軸承支承剛度約在0.5～2.0×109N/m范圍內(nèi)[1]。本章由流體動(dòng)力潤(rùn)滑理論建立艉軸承的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行剛度計(jì)算。

2.1 Reynolds方程

徑向滑動(dòng)軸承的Reynolds方程為：

(1)

式中：h為潤(rùn)滑劑膜厚度；p為潤(rùn)滑劑膜壓力；η為潤(rùn)滑劑動(dòng)力粘度；U為軸頸圓周線速度，其中U=ωr=2πNr，ω為軸頸角速度，N為軸頸轉(zhuǎn)速；x表示周向坐標(biāo)，y表示徑向坐標(biāo)，z表示軸向坐標(biāo)。

對(duì)Reynolds方程，式(1)進(jìn)行無量綱化。

軸承寬z的無量綱形式為：z=λ(L/2)?λ=z/(L/2)，其中-1≤λ≤1；

軸承圓周方向x的無量綱形式為：x=φr?φ=x/r，其中0≤φ≤2π；

油膜壓力p的無量綱形式為：p=Pp0?P=P/p0，其中P0=6Uηr/Cr2；

任意截面z的油膜厚度無量綱形式為：Hz=hz/Cr=1+εcosφ，式中，Cr為軸承徑向間隙；ε為偏心率，ε=ez/Cr。

將上述各參數(shù)的無量綱形式代入式(1)，可得二維雷諾方程無量綱形式為：

(2)

式中：d為軸頸直徑；L為軸承寬度；φ、λ為無量綱坐標(biāo)；P為無量綱液膜壓力；H為無量綱液膜厚度。

本文選用Reynolds邊界條件，該邊界條件認(rèn)為液膜呈不連續(xù)分布，液膜的自然破裂現(xiàn)象形成液膜壓力終止點(diǎn)，即在經(jīng)過最小液膜厚度后的某一角度φ2處液膜自然破裂，則φ2處為液膜壓力終止點(diǎn)。無量綱化后，邊界條件可表示為：

(3)

應(yīng)用Reynolds邊界條件積分求解可得到液膜壓力分布P(φ、λ)，本文利用FDM法對(duì)Reynolds方程近似求解，最終得到如圖5所示的液膜壓力分布圖，本文計(jì)算得到的無量綱最大液膜壓力為Pmax=5.730 6，文獻(xiàn)[7]的結(jié)果為5.662 1，基本吻合。

圖5 無量綱液膜壓力分布云圖Fig.5 Dimensional liquid film pressure distribution cloud map

2.2 軸承液膜剛度求解

在獲取液膜壓力后，通過積分可求得液膜承載力，再將各參數(shù)代入無量綱表達(dá)式，可得到水平分力Fx和垂直分力Fy為：

(4)

(5)

最后通過載荷增量法求取液膜剛度，當(dāng)軸頸在水平方向上發(fā)生位移擾動(dòng)Δx時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可得擾動(dòng)后的偏心距和偏位角計(jì)算公式為：

(6)

(7)

當(dāng)軸頸在水平方向上發(fā)生位移擾動(dòng)Δy時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可得擾動(dòng)后的偏心距和偏位角計(jì)算公式為：

(8)

則：

(9)

按圖6所示的流程圖進(jìn)行Matlab編程，即可建立軸承支承剛度的數(shù)學(xué)分析模型。試算軸承模型參數(shù)如下：軸承長(zhǎng)度0.2 m，軸承直徑0.1 m，軸承間隙0.3 mm，潤(rùn)滑劑粘度0.02 Pa·s，軸承負(fù)載1 kN。本文計(jì)算得到的軸承液膜剛度與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果對(duì)比如圖7所示，2個(gè)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證模型正確，可進(jìn)行下步研究。

圖6 Matlab流程圖Fig.6 Matlab flow chart

圖7 試算軸承液膜剛度與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Trial calculation of bearing liquid film stiffness and literature comparison results

3 結(jié)果分析

3.1 臨界轉(zhuǎn)速

由于螺旋槳的附連水效應(yīng)，需要考慮螺旋槳附連水質(zhì)量，本文取質(zhì)量附連水系數(shù)為1.15，最后螺旋槳的附連水質(zhì)量為12 075 kg，同樣考慮極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量附連水系數(shù)和徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量附連水系數(shù)后，得到螺旋槳附連水極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為16 861 kg·m2、10 376 kg·m2。艉軸承支承點(diǎn)距軸承襯后端面的距離為軸承襯長(zhǎng)度的1/5，其余軸承支承點(diǎn)位置取軸承襯中央。

采用MASS21單元模擬螺旋槳，MASS21成為結(jié)構(gòu)質(zhì)量單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可多達(dá)6個(gè)自由度，每個(gè)坐標(biāo)軸方向可以有不同的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。使用COMBIN214單元模擬軸承，該單元可考慮更多的軸承特性，如2個(gè)支承方向的交叉項(xiàng)、隨轉(zhuǎn)速的變剛度和變阻尼特性等。使用BEAM188單元模擬軸，改變截面大小模擬變截面軸段、聯(lián)軸器、法蘭等部件。軸承的平面位于XY平面，推進(jìn)軸位于Z方向上，材料的彈性模量為2.1×1011N/m2，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3。

建立推進(jìn)軸系的有限元計(jì)算模型如圖8所示，共包含133個(gè)節(jié)點(diǎn)，129個(gè)梁?jiǎn)卧?個(gè)軸承單元，1個(gè)質(zhì)量單元，7個(gè)截面和1個(gè)變截面。

圖8 推進(jìn)軸系有限元模型Fig.8 Propulsion shafting finite element model

為避免扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和縱向振動(dòng)對(duì)回振結(jié)果產(chǎn)生影響，需要約束有限元模型軸向方向的平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移，彈簧接地節(jié)點(diǎn)約束全部位移。對(duì)推進(jìn)軸系加載約束條件，進(jìn)行模態(tài)求解。

傳遞矩陣法是將各個(gè)元件斷面(點(diǎn))在振動(dòng)時(shí)的特性用狀態(tài)矢量位移幅值y、角位移幅值θ、力矩M、剪力Q表示出來，再由各類元件的傳遞矩陣將軸系首末兩端狀態(tài)聯(lián)系起來，因?yàn)槭啄﹥啥藸顟B(tài)已知，方程即可求解，具體方法可參見文獻(xiàn)[1]。

求解軸系的臨界轉(zhuǎn)速，與文獻(xiàn)[12]和傳遞矩陣法求解的結(jié)果對(duì)比如表2所示，發(fā)現(xiàn)臨界轉(zhuǎn)速誤差均在允許范圍內(nèi)，最大誤差也沒有超過1%，說明此軸系的ANSYS模型滿足要求，可以進(jìn)行后面的求解。

3.2 軸承設(shè)計(jì)間隙對(duì)液膜剛度的影響

利用Matlab編程，建立艉軸承液膜剛度分析的數(shù)學(xué)模型，艉軸承相關(guān)參數(shù)如表3所示。

表3 艉軸承相關(guān)參數(shù)Table 3 Tail bearing related parameters

分別選取間隙為0.3、0.35、0.4、0.45、0.5 mm；螺旋槳質(zhì)量為10 500 kg，軸的總質(zhì)量為6 537.5 kg，3軸承總負(fù)載為166 967.5 N，由于螺旋槳懸掛式布局方式，艉軸承承受負(fù)載較大，參考文獻(xiàn)[13]，取艉軸承承受1.5倍率負(fù)載，即艉軸承靜負(fù)載為83 483 N；選取轉(zhuǎn)速20～1 200 r/min進(jìn)行分析。計(jì)算艉軸承的液膜剛度，得到如圖9～12所示的剛度變化曲線圖。

由圖9～12可發(fā)現(xiàn)，Kxx和Kyy在低速區(qū)會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，隨著轉(zhuǎn)速N的增加，波動(dòng)會(huì)慢慢減小，并逐漸趨于平穩(wěn)狀態(tài)。隨著軸承設(shè)計(jì)間隙Cr的增加，Kxx和Kyy出現(xiàn)波動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速區(qū)會(huì)逐漸加大，即出現(xiàn)波動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速會(huì)增大，例如當(dāng)Cr=0.3 mm時(shí)，波動(dòng)首先在94～97 r/min出現(xiàn)，當(dāng)Cr=0.35 mm時(shí)，波動(dòng)首先在128～132 r/min出現(xiàn)，直到Cr=0.5 mm時(shí)，波動(dòng)首先在260～279 r/min出現(xiàn)。Kxx隨Cr的增加而遞減，而Kyy隨Cr的增加，剛開始遞增，當(dāng)轉(zhuǎn)速升高，又會(huì)慢慢演變成遞減。

圖9 Kxx低速區(qū)間Fig.9 Kxx low speed interval

圖10 Kyy低速區(qū)間Fig.10 Kyy low speed interval

圖11 Kxx高速區(qū)間Fig.11 Kxx high speed interval

圖12 Kyy高速區(qū)間Fig.12 Kyy high speed interval

3.3 剛度變化對(duì)軸系回振的影響分析

由上一節(jié)的結(jié)果可以看出，軸承剛度隨轉(zhuǎn)速呈非線性變化，會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，并且Kxx和Kyy隨軸承設(shè)計(jì)間隙的變化規(guī)律也很復(fù)雜。因此，艉軸承設(shè)計(jì)間隙對(duì)軸系回旋振動(dòng)造成的影響就有待進(jìn)一步的研究。將上一節(jié)得到的軸承隨間隙Cr變化的十組剛度導(dǎo)入到ANSYS軟件中進(jìn)行軸系回旋振動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速的求解，得到表4所示的臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果。

固有頻率與臨界轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為：ωn=Zp·ω(r/min)，其中ωn固有頻率，ω為臨界轉(zhuǎn)速，Zp為螺旋槳葉片數(shù)。得到如圖13和圖14所示的軸系固有頻率隨艉軸承間隙變化圖。

由表4可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)艉軸承剛度取流體動(dòng)力潤(rùn)滑理論計(jì)算的結(jié)果時(shí)，軸系的臨界轉(zhuǎn)速在表2中的數(shù)值附近變化，驗(yàn)證了軸承模型的正確性。隨著艉軸承設(shè)計(jì)間隙的增大，軸系臨界轉(zhuǎn)速總體上是呈減小趨勢(shì)，但在Cr=0.45 mm時(shí)，軸系的葉片次臨界轉(zhuǎn)速出現(xiàn)增長(zhǎng)，這是因?yàn)楫?dāng)Cr=0.45 mm時(shí)，剛度在轉(zhuǎn)速N為216～220 r/min時(shí)出現(xiàn)較大的波動(dòng)，臨界轉(zhuǎn)速正好處于此區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)致葉片次臨界轉(zhuǎn)速增大。由此可見，剛度出現(xiàn)波動(dòng)的轉(zhuǎn)速區(qū)域?qū)S系回振的影響較大。從圖13和圖14可以看出，正回旋的一次和逆回旋的倍葉片次固有頻率變化比較大。

表4 不同間隙的臨界轉(zhuǎn)速Table 4 Critical speed of different clearances r/min

圖13 一階逆回旋固有頻率Fig.13 First-order inverse lateral natural frequency

為驗(yàn)證剛度波動(dòng)對(duì)軸系回旋振動(dòng)的影響，說明圖13中軸系葉片次臨界轉(zhuǎn)速出現(xiàn)增長(zhǎng)變化的現(xiàn)象不是唯一的，另取軸承設(shè)計(jì)間隙為Cr=0.32 mm和Cr=0.465 mm，分別計(jì)算在轉(zhuǎn)速20～1 200 r/min下的水平方向和垂直方向的剛度值。當(dāng)Cr=0.32 mm時(shí)，Kxx和Kyy方向的剛度值在轉(zhuǎn)速107～111 r/min出現(xiàn)波動(dòng)；當(dāng)Cr=0.465 mm時(shí)，在轉(zhuǎn)速226～234 r/min出現(xiàn)波動(dòng)。再進(jìn)行回旋振動(dòng)特性分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Cr=0.32 mm時(shí)，軸系的逆回旋倍葉片次臨界轉(zhuǎn)速相對(duì)于表4中的Cr=0.3 mm和Cr=0.35 mm時(shí)增大，為111.69 r/min，因轉(zhuǎn)速區(qū)間在額定轉(zhuǎn)速以內(nèi)，此時(shí)軸系出現(xiàn)共振，不可忽略。當(dāng)Cr=0.465 mm時(shí)，軸系的逆回旋葉片次臨界轉(zhuǎn)速相對(duì)于Cr=0.45 mm和Cr=0.5 mm時(shí)增大，為280.02 r/min。因此，艉軸承的剛度在某個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)內(nèi)出現(xiàn)的波動(dòng)確實(shí)會(huì)對(duì)整個(gè)軸系的回旋振動(dòng)產(chǎn)生不可忽略的影響。軸承設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)充分考慮額定轉(zhuǎn)速以內(nèi)出現(xiàn)的剛度波動(dòng)現(xiàn)象，以及對(duì)臨界轉(zhuǎn)速造成的變化，避免共振。

圖14 一階正回旋固有頻率Fig.14 First-order positive Lateral natural frequency

4 結(jié)論

1)軸承水平方向剛度隨軸承設(shè)計(jì)間隙增大而遞增，垂直方向的剛度隨間隙增大先減小再漸變?yōu)檫f增。剛度隨軸頸轉(zhuǎn)速出現(xiàn)波動(dòng)，但隨著轉(zhuǎn)速的升高會(huì)逐漸收斂。剛度會(huì)在特定轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，當(dāng)間隙變大時(shí)區(qū)間對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速隨之增大。

2)軸系回振的頻率隨著間隙的增加而遞減，且對(duì)正回旋的一次固有頻率的影響較大，在間隙為0.45 mm時(shí)，軸系逆回旋的葉片次臨界轉(zhuǎn)速出現(xiàn)增長(zhǎng)變化，這是由于在這個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)間油膜剛度出現(xiàn)較大波動(dòng)。因此，油膜剛度的波動(dòng)變化對(duì)軸系回振的影響不容忽略。

3)臨界轉(zhuǎn)速增長(zhǎng)變化的現(xiàn)象不是唯一的，軸承間隙設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量取允許范圍內(nèi)的最大值，這樣可以避免在軸系額定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)軸承液膜剛度的波動(dòng)及軸系的共振現(xiàn)象。