基于Simulink 軟件的組合滑模控制仿真實驗

趙海濱，田亞男

（1.東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819）

滑模控制器具有響應速度快、對參數變化及擾動不靈敏和物理實現簡單等優點，廣泛用于非線性系統控制[1]。傳統的滑模控制器，穩態誤差不能在有限時間內收斂到零，從而提出了終端滑模控制的概念。終端滑模控制器能夠在有限時間內收斂到零，而且對建模不確定和外部干擾信號具有魯棒性。快速終端滑模控制器的收斂速度非常快，但是在接近平衡狀態時存在奇異問題[2]。本文將快速終端滑模控制器和線性滑模控制器相結合，設計了組合滑模控制器，并采用組合滑模控制器進行二階Duffing 混沌系統的平衡控制。

本文以二階Duffing 混沌系統為研究對象，采用組合滑模控制器進行系統的平衡控制，狀態變量快速收斂到零。采用Simulink 軟件建立仿真實驗系統進行仿真實驗，并對仿真結果進行分析。組合滑模控制器能夠進行不同初始狀態Duffing 混沌系統的平衡控制，能夠避免奇異問題，具有非常快的收斂速度。

1 二階非線性系統

二階Duffing 混沌系統常用于微弱信號的檢測[3]，是典型的二階非線性系統。對于Duffing 混沌系統的控制，已經提出很多方法[4-5]。Duffing 混沌系統的狀態方程表示為

其中，x1和x2為系統的狀態變量，t 為時間，a、b、d 和ω 為常數。當a=0.4，b=-1.1，d=1.5，ω=1.7 時，該系統處于混沌狀態。

根據Duffing 混沌系統的狀態方程，采用Simulink 軟件進行仿真，采用變步長的ode45 算法，最大步長為0.001 秒。Duffing 混沌系統的初始狀態設定為x1（0）=0.2，x2（0）=0.3，系統的仿真時間設定為300 秒。

Duffing 混沌系統仿真后，狀態變量x1和x2的二維相圖，如圖1 所示，狀態變量x1和x2的響應曲線，如圖2 所示，只顯示前100 秒。由圖1 和圖2，可以觀察到Duffing系統處于混沌狀態。

圖1 狀態變量x1和x2的二維相圖

圖2 狀態變量x1和x2的響應曲線

2 組合滑模控制器

通過快速終端滑模控制器和線性滑模控制器設計組合滑模控制器，采用組合滑模控制器進行二階Duffing 混沌系統的平衡控制。在快速終端滑模控制器中，設計的快速終端滑模面為

其中，c1，c2和r 為常數，且c1>0，c2>0，0

在快速終端滑模控制器的設計中，采用的指數趨近律為

其中，k1和k2為常數，且k1>0，k2>0。

采用快速終端滑模面和指數趨近律，設計的快速終端滑模控制器為

在線性滑模控制器中，采用的線性滑模面為

其中，c3為常數，且c3>0。

在線性滑模控制器的設計中，采用的指數趨近律為

采用線性滑模面和指數趨近律，設計的線性滑模控制器為

雖然快速終端滑模控制器的收斂速度比較快，但是由于r-1<0，在x1=0 和x2≠0 時快速終端滑模控制器存在奇異問題。首先采用快速終端滑模控制器進行系統的平衡控制，當|x1|燮δ 時，切換為線性滑模控制器。快速終端滑模控制器和線性滑模控制器的切換規則為

其中，u 為組合滑模控制器，δ 為常數，且δ>0。

組合滑模控制器的切換函數表示為

根據組合滑模控制器的切換規則，當采用快速終端滑模控制器時，m=1，當采用線性滑模控制器時，m=2。

在快速終端滑模控制器和線性滑模控制器中，都存在符號函數，會出現抖振現象。本文采用雙曲正切函數代替符號函數，用于削弱抖振。雙曲正切函數的表達式為

其中，μ 為常數，且μ>0。本文設定為μ=0.001。

3 仿真實驗

Simulink 軟件非常適合進行動態系統的建模和仿真[6]。采用Simulink 軟件進行組合滑模控制仿真實驗，建立的仿真實驗系統，如圖3 所示。在Simulink 軟件中采用變步長的ode45 算法進行常微分方程的數值求解[7-8]。Duffing混沌系統的初始狀態為x1（0）=1.5，x2（0）=0.6。在快速終端滑模面中，參數設定為c1=2，c2=2.5，r=0.6。在指數趨近律中，參數設定為k1=4，k2=0.6。在切換規則中，參數設定為δ=0.05。

采用組合滑模控制器進行Duffing 混沌系統的平衡控制，仿真時間設置為4 秒，狀態變量的響應曲線，如圖4 所示，組合滑模控制器的響應曲線，如圖5 所示。切換函數的響應曲線，如圖6 所示。圖6 中在0.91 秒時，將快速終端滑模控制器切換為線性滑模控制器。

數值仿真結果表明，組合滑模控制器能夠進行不同初始狀態二階Duffing 混沌系統的平衡控制，狀態變量快速收斂到零。

圖3 組合滑模控制仿真實驗系統

4 結論

本文將快速終端滑模控制器和線性滑模控制器相結合，設計了組合滑模控制器，通過切換規則進行快速終端滑模控制器和線性滑模控制器的切換。采用組合滑模控制器進行二階Duffing 混沌系統的平衡控制。通過Simulink 軟件建立仿真實驗系統，并進行了數值仿真。仿真結果表明，組合滑模控制器能夠進行不同初始狀態Duffing 混沌系統的平衡控制，狀態變量快速收斂到零。

圖4 Duffing 混沌狀態變量的響應曲線

圖5 組合滑模控制器的響應曲線

圖6 切換函數的響應曲線