超材料混凝土單胞骨料的無阻尼自由振動(dòng)特性研究

韓 潔, 路國運(yùn)

(太原理工大學(xué) 土木工程學(xué)院,太原 030024)

超材料(Metamaterials)是由Wasler在1999年提出的[1]，是一種能夠展現(xiàn)非常規(guī)特性的復(fù)合材料，如負(fù)折射率、負(fù)電介質(zhì)率、負(fù)磁導(dǎo)率或負(fù)有效質(zhì)量等性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、光學(xué)探測、通信工程、材料科學(xué)等領(lǐng)域，引起了國內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注[2-8]。這一概念近年來也被引入到功能混凝土(超材料混凝土)的研究當(dāng)中來了。超材料混凝土(metaconcrete)是將傳統(tǒng)混凝土中的粗骨料用復(fù)合材料所制的球形骨料取代，每個(gè)球形骨料都設(shè)計(jì)成分層結(jié)構(gòu)，由重核(高密度重金屬球芯)及涂在球芯外表面的軟涂層(輕薄柔軟外層)組成。對(duì)超材料混凝土結(jié)構(gòu)的消能減震、爆炸屏蔽、沖擊抗振和保護(hù)有巨大意義，引起了工程界的廣泛關(guān)注，主要應(yīng)用在振動(dòng)設(shè)備基礎(chǔ)、高速鐵路平板軌道、核電站、海洋平臺(tái)、防空洞等大型工程領(lǐng)域。

Mitchell[9]研究了超材料混凝土板在沖擊載荷下的斷裂過程，結(jié)果表明：將骨料應(yīng)用于混凝土板結(jié)構(gòu)中時(shí)，板的砂漿基質(zhì)中的最大應(yīng)力值比純彈性成分的板有顯著改善；且當(dāng)動(dòng)態(tài)載荷的輸入頻率接近骨料的固有頻率時(shí)，可有助于降低沖擊引起的高應(yīng)力，提高超材料混凝土板的抗沖擊能力。Kettenbeil等[10]描述了骨料的制作方法；對(duì)超材料混凝土板的沖擊進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究與有限元模擬，比較了二者結(jié)果；表明：局部共振超材料(超材料混凝土)可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)中衰減因爆炸和沖擊導(dǎo)致的應(yīng)力波；軟涂層的彈性模量對(duì)應(yīng)力波的衰減有很大影響；由于局部共振可預(yù)測產(chǎn)生的應(yīng)力波衰減行為，因此也可預(yù)測大型土木工程結(jié)構(gòu)的抗沖擊能力。Briccola等[11]指出超材料混凝土的一個(gè)明顯優(yōu)勢(shì)是它可以像傳統(tǒng)混凝土一樣混合、澆鑄和固化；在無損動(dòng)態(tài)測試實(shí)驗(yàn)中，測量了超材料混凝土對(duì)動(dòng)荷載的衰減特性，表明：在模擬爆炸載荷作用下，超材料混凝土的力學(xué)性能優(yōu)于傳統(tǒng)混凝土，對(duì)其有衰減作用。Mitchell等[12]對(duì)四種超材料混凝土板在不同強(qiáng)迫振動(dòng)下波傳輸行為進(jìn)行了數(shù)值研究，用有限元模型計(jì)算了超材料混凝土板在不同強(qiáng)迫振動(dòng)下的傳輸參數(shù)，結(jié)果表明：超材料混凝土在動(dòng)載荷下的材料性能比傳統(tǒng)混凝土有較好的改善；軟涂層對(duì)頻率有衰減作用；硬度高的尼龍涂層骨料在高頻率范圍內(nèi)能提供較大的能量傳播。

綜上所述，對(duì)骨料動(dòng)力行為的已有研究主要是實(shí)驗(yàn)與模擬，對(duì)其的理論研究較少、尤其是骨料的振動(dòng)問題研究還不夠深入。基于此，本文以單胞骨料為研究對(duì)象，建立了單胞骨料的三維振動(dòng)模型，對(duì)骨料進(jìn)行受力分析，由達(dá)朗貝爾原理導(dǎo)出了無阻尼自由振動(dòng)的控制方程，設(shè)振動(dòng)的復(fù)數(shù)解，代入方程，得到固有頻率。利用初始條件，獲得振動(dòng)解。用MATLAB進(jìn)行算例分析，討論了初始條件、骨料尺寸、軟涂層和砂漿的彈性模量等參數(shù)對(duì)固有頻率和振動(dòng)特性的影響。這對(duì)超材料混凝土抵抗高頻荷載和沖擊荷載的研究有工程指導(dǎo)價(jià)值。

1 方程建立

1.1 模型建立

基于Mitchell的一維模型，考慮了三個(gè)方向砂漿和軟涂層的效應(yīng)，建立了超材料混凝土單胞骨料的三維振動(dòng)模型，如圖1所示。圖2是骨料模型。

圖1 三維振動(dòng)模型示意圖 圖2 骨料模型圖

模型中，骨料由重核與軟涂層組成:骨料位于邊長d為0.03 m的立方體砂漿塊中心;重核質(zhì)量為m;半徑為r;軟涂層厚度為ts;軟涂層和砂漿由彈性彈簧等效代替，其等效剛度分別為ks和km;ks和km串聯(lián)總剛度為k;砂漿的等效長度為lm;彈簧總長度為l=ts+lm;模型的豎向位移為y;彈簧的伸長量為Δl;Em,Es分別為砂漿和軟涂層的彈性模量;lm,ks,km的計(jì)算公式為

(1)

1.2 方程推導(dǎo)

如圖3所示(XOZ，ZOY的變形示意圖與XOY的變形示意圖一致)，在線彈性振動(dòng)時(shí)，模型中幾何關(guān)系如圖3所示

圖3 變形示意圖

y=lθ，Δl=yθ

(2)

以重核為研究對(duì)象，受力如圖4所示(XOZ，ZOY的受力圖與XOY的受力圖一致)，由達(dá)朗貝爾原理得

(3)

圖4 重核受力圖

整理式(3)得

(4)

式(4)是單胞骨料的振動(dòng)方程。

1.3 固有頻率計(jì)算

設(shè)式(4)的復(fù)數(shù)解為

(5)

將式(5)代入式(4)，得到

(6)

整理得

(7)

將式(7)化簡得

(8)

1.4 初始條件的影響

當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)設(shè)初始位移、初始速度為

(9)

整理式(5)得

(10)

式(10)虛部為振動(dòng)解，將其代入式(9)，化簡得

(11)

則振動(dòng)解為

y=Asin(ωt+α)

(12)

其中,

是初相位。

2 算例分析

算例分析了不同內(nèi)部尺寸的單胞骨料振動(dòng)問題，骨料分為A1，B2，C3三組，r為重核(鉛球)的半徑，ts為軟涂層厚度。用軟件MATLAB編程計(jì)算，討論初始條件、不同材料軟涂層(Em)和砂漿(Es)的彈性模量等對(duì)固有頻率和振動(dòng)的影響，結(jié)果如表1和表2所示。

表1 骨料其他特征參數(shù)

表2 骨料尺寸

2.1 參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

圖5是當(dāng)A=0.5～2.0 mm,Em=30 GPa 時(shí)，固有頻率隨不同材料軟涂層彈性模量變化的關(guān)系，材料參數(shù)見表1，胞元參數(shù)見表2中三組數(shù)據(jù)A1,B2,C3。(D4是r=9 mm,ts=2 mm;E5是r=9 mm,ts=1 mm的骨料尺寸。)

圖5 固有頻率和軟涂層的彈性模量的變化關(guān)系

圖5表明：固有頻率隨軟涂層彈性模量增大而增大；當(dāng)軟涂層彈性模量相同時(shí)，固有頻率A1>B2>C3，因此，當(dāng)軟涂層材料確定時(shí)，可選擇固有頻率較高的A1組，以提高超材料混凝土的抗沖擊能力。

圖5中曲線C3,D4,E5表明：固有頻率隨軟涂層厚度的增大而減小，說明軟涂層對(duì)頻率有衰減作用，與Mitchell等的結(jié)論一致。

圖6 固有頻率和砂漿的彈性模量的變化關(guān)系

由圖6可知：固有頻率隨砂漿彈性模量增大而增大；當(dāng)砂漿彈性模量相同時(shí)，固有頻率A1>B2>C3，其增大值隨砂漿彈性模量的增大而增大，例如：砂漿彈性模量為32 GPa時(shí)，固有頻率A1=1.76×105Hz，C3= 1.72×105Hz；砂漿彈性模量為36 GPa時(shí)，固有頻率A1=1.83×105Hz，C3=1.76×105Hz。

圖7是當(dāng)Es=10.0 GPa,Em=30 GPa時(shí)，不同尺寸骨料的固有頻率和振幅間的關(guān)系曲線。

圖7 固有頻率和振幅的變化關(guān)系

圖7表明：固有頻率隨振幅增大而增大；當(dāng)振幅相同時(shí)，固有頻率A1>B2>C3。

圖5～圖7也表明：振幅、砂漿彈性模量、軟涂層彈性模量和骨料幾何尺寸對(duì)固有頻率有明顯影響，也就是說對(duì)振動(dòng)有明顯影響，也對(duì)超材料混凝土抗沖擊能力有影響。

2.2 初始條件對(duì)振動(dòng)的影響

圖8是當(dāng)ts=1 mm(A1組),Es=1.0 GPa時(shí)，初始位移分別為0.1 mm,0.3 mm,0.5 mm,0.7 mm,0.9 mm時(shí)，初相位隨初始速度變化的關(guān)系。

圖8 初相位與初始速度的變化關(guān)系

圖8表明：初相位隨初始速度增加而減小；曲線分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，界限點(diǎn)在20 m/s左右，敏感區(qū)曲線的斜率隨初始位移增加而增加，非敏感區(qū)曲線變化較為平緩，增量隨初始速度增大而減小；初始速度為20 m/s時(shí)，初相位初始位移=0.1 mm =0.000 48 rad，初相位初始位移=0.9 mm=0.004 3 rad，當(dāng)初始速度相同時(shí)，初相位隨著初始位移的增加而增大。

圖9是當(dāng)ts=1 mm(A1組),Es=1.0 GPa時(shí)，初始速度分別為5 m/s,10 m/s,15 m/s,20 m/s,25 m/s時(shí)，初相位與初始位移的關(guān)系曲線。

圖9 初相位與初始位移的變化關(guān)系

圖9表明：初相位隨初始位移的增大而線性增大，其斜率隨初始速度增大而減小；當(dāng)初始位移相同時(shí)，初相位隨著初始速度的增加而減小。

圖10是當(dāng)ts=1 mm(A1組)，Es=1.0 GPa時(shí)，初始速度、初始位移與初相位的關(guān)系曲線。

結(jié)合圖8、圖9，圖10表明：初始速度和初始位移的變化對(duì)初相位均有影響，初始速度對(duì)初相位的影響大于初始位移，初始位移一定時(shí)，初相位隨著初始速度的增加而減小。

圖7也表明：初始條件既影響振幅，又影響固有頻率，也會(huì)影響超材料混凝土抗沖擊能力。

圖10 初相位與初始位移、初始速度的變化關(guān)系

2.3 軟涂層和砂漿彈性模量、骨料幾何尺寸對(duì)振動(dòng)的影響

圖11是當(dāng)ts=1 mm,y0=0.9 mm,Es=0.001 GPa時(shí)，不同初始速度下位移隨時(shí)間變化的關(guān)系。

圖11 位移與時(shí)間的關(guān)系

由圖11可知：位移隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，初相位隨初始速度的增加而減少；振幅隨速度的增加略有增加；波形不變，半波長隨速度的增大而減小。

圖12 位移與時(shí)間的關(guān)系

圖12表明：位移隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化；振幅隨初始位移的增大而增大；波形不變、半波長隨初始位移的增加而減小。

圖8～圖12也表明：初始條件對(duì)振動(dòng)有明顯影響。

圖13 位移與時(shí)間的關(guān)系

圖13表明：位移隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化；振幅不變，波形不變，半波長隨軟涂層彈性模量增大而減小。

圖14 位移與時(shí)間的關(guān)系

圖14表明：位移隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化；振幅略有增加；波形不變，半波長C3>B2>A1。

結(jié)合圖5～圖7、圖13、圖14也可以看出：骨料內(nèi)部尺寸對(duì)固有頻率有影響，當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)。可以通過選擇小尺寸重核的骨料提高抗沖擊、抗爆炸荷載的能力，這與Mitchell等的結(jié)論一致。

圖15 初相位與軟涂層彈性模量的變化關(guān)系

可以看出：初相位隨軟涂層彈性模量增大而增大；軟涂層彈性模量相同時(shí)，初相位A1>B2>C3。

圖16 初相位與砂漿彈性模量的變化關(guān)系

可以看出：初相位隨砂漿彈性模量增大而增大；砂漿彈性模量相同時(shí)，初相位A1>B2>C3，也表明：當(dāng)砂漿彈性模量確定時(shí)，可選擇軟涂層較厚(重核半徑較小)的C3組，減小初相位的影響。

圖17 位移與時(shí)間的關(guān)系

圖17表明：位移隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，初相位的大小隨砂漿彈性模量增大而減小；振幅不變、半波長隨砂漿彈性模量增大而減小。

圖13～圖17也表明：軟涂層和砂漿彈性模量、骨料幾何尺寸對(duì)振動(dòng)有很大影響。

3 結(jié) 論

通過理論研究和算例分析，得出如下結(jié)論:

(1)用達(dá)朗貝爾原理，導(dǎo)出超材料混凝土單胞骨料的三維振動(dòng)方程，獲得固有頻率和振動(dòng)解。

(2)用MATLAB編程計(jì)算討論了初始條件、軟涂層和砂漿的彈性模量及骨料幾何尺寸等參數(shù)對(duì)固有頻率和振動(dòng)的影響。結(jié)果表明：固有頻率隨軟涂層彈性模量、砂漿彈性模量、振幅增大而增大，隨軟涂層厚度的增大而減小，軟涂層對(duì)頻率有衰減作用，因此可以通過選擇小尺寸重核的骨料提高抗沖擊和爆炸荷載的能力，這對(duì)超材料混凝土抵抗高頻荷載和沖擊荷載的研究有工程指導(dǎo)價(jià)值。

初始位移和初始速度對(duì)初相位和振幅有影響。初始條件既影響振幅，又影響固有頻率，也會(huì)影響抗沖擊能力。軟涂層彈性模量、砂漿彈性模量對(duì)初相位有明顯影響。

振幅隨軟涂層彈性模量的增加而減小。