基于協整理論的滾動軸承退化特征提取?

李耀龍，李洪儒，王 冰，于 賀

（1.陸軍工程大學導彈工程系 石家莊，050003）（2.西北核技術研究所 西安，710024）

（3.上海海事大學物流工程學院 上海，201306）

引言

滾動軸承是旋轉機械中的重要零部件之一，起到支撐機械旋轉體、降低摩擦力的作用，同時也是旋轉機械中最為廣泛且最易失效的零部件之一。在當前針對滾動軸承的分析研究中，一方面集中在故障診斷領域［1］，另一方面致力于軸承的故障預測研究。通過開展滾動軸承的全壽命試驗，提取退化特征，分析其性能退化的規律，最后實現故障預測［2］。

有效的退化特征是實現預測的前提，許多綜述對滾動軸承的退化特征進行了分類和總結。Lei等［3］將退化特征分成兩類：①具有物理意義的特征，該類特征一般運用統計學和信號處理方法提取，包括常用的統計學特征、時域頻域特征等；②虛擬特征，該類特征主要是通過融合算法得到。文獻［4-5］將退化特征分為時域特征、頻域特征和時頻域特征等3類。然而，傳統的退化特征缺乏一致性趨勢，即不同的全壽命數據由于自身退化過程不同，其特征往往具有個性，不同全壽命數據的相同特征之間往往不具有一致的退化趨勢。尋找不同全壽命數據間的相似或一致的變化規律，對建立退化模型具有重要意義［6］，同時也對深入挖掘滾動軸承退化過程的機理具有重要參考價值。

在以往的特征分類中包含了兩小類傳統的退化特征：①具有上升趨勢的能量特征，以RMS為典型，RMS以其良好的性能被廣泛應用于軸承的退化狀態識別和剩余壽命預測中［7］；②具有下降趨勢的復雜度特征，例如近似熵、樣本熵及排列熵等。在研究過程中，可以發現能量特征和復雜度特征存在反向同步性，因此，推斷二者可能存在協整關系。

基于以上分析，筆者在對能量特征和復雜度特征的分析基礎上，擬將協整理論引入到滾動軸承的預測特征提取中。對能量特征和復雜度特征中的特征代表進行協整分析，并提取基于協整理論的滾動軸承退化特征。在此基礎上，采用多組全壽命試驗數據集，對所提特征的性能進行驗證。

1 協整理論

通常，可以采用單位根檢驗來判斷時間序列的平穩性，當存在單位根時，時間序列是非平穩的。ADF（augmented dickey-fuller）檢驗是常用的單位根檢驗法［8］。時間序列若經過d-1階差分仍不平穩，經過d階差分才平穩，稱該序列是d階單整的，記作I（d）。

Engle等［9］給出了協整的定義：由n組的d階單整序列組成的向量yt=[y1t，y2t，…，ynt]T，如果存在一 個 向 量β=[β1，β2，…，βn]使 得 線性 組 合βyt=β1y1t+β2y2t+…+βn ynt是d-b階單整，其中b＞0，那么認為yt=[y1t，y2t，…，ynt]T是（d，b）階協整，記為yt～CI（d，b），向量β稱為協整向量。常見的協整關系為CI（1，1）。協整意味著單整序列之間存在長期穩定的均衡關系，或者說存在特定的內在均衡機制在維持著單整序列間的長期穩定關系。協整檢驗的常用方法有E-G（engle-granger）檢驗法和Johansen檢驗法［8］。E-G檢驗法較為簡單，適用于二組向量的協整檢驗。筆者采用E-G檢驗法。在進行E-G檢驗法之前，首先要確定待檢驗時間序列的單整階數，可以通過ADF檢驗來確定。

2 能量特征與復雜度特征

2.1 能量特征

能量特征反映的是軸承在運行過程中的能量變化，式（1）列舉了常見的能量特征。E1～E7分別為方根幅值、均方根值、絕對均值、峰峰值、最大值、最小值和頻譜平均值。為了方便，在最小值前加了一個負號，使其為正。

這里給出上述特征是能量特征的原因。簡單來說，可以把每一個振動點的振動簡化成簡諧運動，其位移符合x=Acos（wt+φ），假定振動點的質量為m，那么其動能為

其勢能為

振動點的總能量為

振動點的能量與振幅的平方成正比。不同的振幅反映的是不同的能量。上述7個特征都代表著某種具有物理意義的振幅。以常用的美國IMS中心的全壽命試驗數據集中失效模式為外圈故障的Bearing2-1為例，將其能量特征繪制如圖1所示。從圖1可以看出，幾種能量特征的走勢相似。通過ADF檢驗可以得到E1，E2，E3和E7為I（2）；E4，E5，E6為I（1）。根據定義，同階單整才可以進行E-G協整檢驗，在顯著性水平為0.1的條件下，E1，E2，E3之間具有協整關系；E4，E5，E6之間具有協整關系。也就是說，E1～E3具有相同的變化趨勢，E4～E6具有相同的變化趨勢。E7雖代表著某種能量特征，但與RMS之間在當前顯著水平下不具有協整關系，原因在于E7在求取的過程中存在傅里葉變換，而傅里葉變換本身存在混疊、泄漏等問題。E4～E6表征了每組信號的極值，穩定性較差；而E1～E3表征了每組信號的平均能量，穩定性較強。因此，可以選擇E1～E3中的任意一個特征代表能量特征。因RMS在工業上應用廣泛，故選擇其作為能量特征的代表。

圖1 IMS中心數據集Bearing2-1的能量特征Fig.1 The energy features of Bearing2-1 of IMS center

2.2 復雜度特征

復雜度特征能反映信號的復雜程度。常用的復雜度特征有近似熵、樣本熵、模糊熵、香農熵、排列熵及L-Z復雜度等。其計算方法及參數設置詳見文獻［10-15］。為了測試各個復雜度的性能，在其計算過程中，相同的參數將設為一致，以減少參數對結果的影響。表1列出了復雜度的參數選取，其中相似容限均取0.2倍信號標準差。香農熵在計算時要對數據進行劃分，設置極值間劃分為50個區間。排列熵在計算過程中與香農熵相近，其嵌入維數與樣本熵和近似熵不同，排列熵的嵌入維數越大，越準確，但耗時更長，經考慮將排列熵的嵌入維數設置為6。

表1 復雜度的參數選取Tab.1 The selection of complexities'parameters

為了測試復雜度的性能，設置一個仿真信號，為S(t)=X(t)+e(t)，其中：X(t)為 正 弦 信 號，有X(t)=sin(2π×10t)；e（t）為附加高斯白噪聲。采樣頻率為10 000 Hz，采樣時間1 s。通過改變噪聲的強度進而改變信噪比，觀察仿真信號復雜度的變化如圖2所示。理論上，復雜度隨著噪聲的增加應該增強。可以看出，香農熵與排列熵并不完全單調，說明二者的性能不太好。

為了進一步測試性能，需采用更一般的信號對復雜度進行測試。Logistic模型是典型的非線性系統，該模型中包含大量的周期和混沌信號，周期信號的復雜度應為0，混沌信號的復雜度應較高。圖3給出了2.5＜μ＜4時的Logistic模型結果以及對應的最 大Lyapunov指 數（the largest Lyapunov exponent，簡稱LLE）。LLE可以反映所出信號的復雜程度，LLE＜0時表明信號是周期信號；LLE=0時為分岔點；LLE＞0時表明信號為混沌信號。將6種復雜度帶入Logistic模型中，其結果如圖4所示。

圖2 仿真信號的復雜度隨SNR變化的曲線Fig.2 The curve of six complexities versus SNRs

圖3 Logistic模型及其LLEFig.3 The Logistic map and its LLE

圖4 6種復雜度應用于Logistic模型的曲線Fig.4 The six complexities of the Logistic map

可以看出，香農熵和排列熵對周期信號的衡量存在誤差。模糊熵在衡量μ=3.5時出現了偏差，這是由于模糊熵存在模糊隸屬度而導致的問題。L-Z復雜度在μ=3.6左右發生了偏差，這是由于L-Z復雜度在計算過程中的粗?；^程導致的。

綜上，近似熵和樣本熵在6個復雜度中表現較好。同時，作為近似熵的改進算法，樣本熵在計算時不包含自身數據段的比較，其優越性體現在較少地依賴時間序列長度，結果的一致性較好。所以，樣本熵在這6個復雜度中的性能最好。這樣，就可以把樣本熵作為復雜度的代表。

3 基于協整理論的退化特征提取

上文已經確定了能量和復雜度特征的代表分別是RMS和樣本熵，同時也說明了能量特征反映了信號的幅值，其平方才反映信號的某種能量。故以RMS2和樣本熵為基礎，利用二者進行協整融合，其基于協整理論的退化特征提取流程如圖5所示。

圖5 基于協整理論的退化特征的提取流程Fig.5 The extraction procedure of the degradation feature based on cointegration theory

要進行基于協整理論的退化特征提取必須確定二者間是否存在協整關系。首先，二者的單整階數須一致。以Bearing2-1為例，先要確定RMS2和樣本熵的單整階數，經ADF檢驗，樣本熵為I（1）序列，RMS2為I（2）序列。進一步檢驗發現，n＜966，RMS2為I（1）序列。此時RMS2和樣本熵不具有協整關系。依次減小n，并對RMS2和樣本熵進行E-G檢驗，發現n=914時，二者出現協整關系。定義該點為轉變點。在確定協整向量后，按照協整向量繪制RMS2和樣本熵的線性組合，如圖6所示。

可以看出，基于協整理論的退化特征呈現明顯的兩段性。914組之前，序列平穩，波動性很??；914組至最后失效，序列呈單調上升趨勢。

圖6 基于協整理論的退化特征Fig.6 The degradation feature based on cointegration theory

4 實例驗證

4.1 軸承全壽命數據集

為了驗證所提特征的兩段性和一致性，文中將選取多組軸承全壽命數據用于支撐。數據來自美國IMS中心的全壽命試驗數據集，其試驗詳情可見文獻［16］。筆者選取失效模式為外圈故障所提及的Bearing1-4作為測試集1，以失效模式為內圈故障的Bearing1-3作為測試集2。測試集1，2都包含2 155組數據。選取Bearing2-1為測試集3，包含982組數據。

4.2 基于協整理論的退化特征的有效性驗證

首先，將測試集的RMS和樣本熵進行提取，其曲線如圖7所示。從圖7可以看出，各個測試集的退化曲線表現各不相同。具體分析，測試集1表現出了“愈合”現象，RMS先上升后下降。關于滾動軸承中的“愈合”現象可參考文獻［17-18］。測試集2的RMS表現出了長時間的平穩，最后快速上升，此時也能觀察到“愈合”現象，可以發現在160組左右RMS出現了階躍，分析原始信號，此處存在關機，說明開關機對工況是有影響的，在進行全壽命試驗時應減少開關機頻率。測試集3的RMS開始較平穩，而后上升，出現階躍，而后出現了兩次“愈合”現象，表現出了強烈的長期波動性，并不利于預測。對比圖6可以看出，通過協整方法可以有效減小退化前、中期的RMS和樣本熵的長期波動性。

可以看出不同的測試集其RMS和樣本熵各有特點，沒有一個統一的變化規律，缺乏一致性。通過E-G檢驗各測試集的RMS2與樣本熵的協整性，可以驗證測試集的所有RMS2與樣本熵的部分序列間具有協整性。根據所提方法，將測試集1，2基于協整理論的退化特征進行提取，如圖8所示。

圖7 測試集的RMS和樣本熵曲線Fig.7 The RMS and sample entropy of the test datasets

從圖6，8得知，3個測試集基于協整理論的退化特征具有明顯的兩段性。在全壽命的前、中期表現出平穩性。當滾動軸承處于失效期，該特征表現出非平穩性，并具有一定的單調性。幾個測試集的RMS和樣本熵表現出了不同的軸承退化過程，但經協整理論融合后，其融合特征表現出了一致性的演化規律，說明該方法可以統一不同軸承的演化過程，具有一般性。經協整理論融合還降低了RMS和樣本熵在全壽命的前、中期的長期趨勢性波動。

5 結果分析

現就為何所提取的退化特征具有一致性和兩段性進行說明。以Bearing2-1為例，將其RMS2與所提特征放在一起進行對比，為了方便采用RMS代替RMS2，如圖9所示。

根據Bearing2-1的RMS曲線可以推斷該軸承的退化過程。從開始運行到第510組，RMS保持平穩，可知軸承處于正常狀態；從510～700組，RMS持續上升，軸承處于輕微故障階段；700組時，RMS突增，這可能是摩擦面上產生了凸起造成的，而后運行至823組，RMS經歷了下降再上升的階段，這主要是由于持續的摩擦作用使局部凸起的表面降低，而后RMS又經歷了這種下降再上升的過程，此時軸承處于中度故障階段；從900～982組，RMS持續上升，此時軸承處于重度故障階段直至失效。

這種下降再上升的過“愈合”現象在軸承中具有普遍性，出現該現象的原因在于持續的摩擦作用使局部凸起的表面降低。而后由于故障加深，摩擦副表面又形成了新的凸起，如此往復?！坝稀爆F象說明軸承已經進入中度故障狀態，它的出現雖有利于退化狀態識別，但也會導致RMS的單調性下降，不利于軸承的預測。

反觀所提出的基于協整理論的特征，其具有兩段性。從開始運行到914組左右，其具有平穩性；從914組到最后失效，其快速上升。對其具有兩段性進行分析。當軸承處于正常狀態下，RMS平穩，樣本熵也平穩。當軸承處于輕微故障階段，摩擦面上出現凸起，導致能量上升，RMS上升；同時，凸起可導致信號的周期性增加，復雜度降低。當軸承處在“愈合”現象時，持續的摩擦使凸起變得平滑，這樣導致能量降低，RMS下降；由于凸起變得平滑，周期性也就相應降低，致使復雜度升高。總之，在914組之前，RMS2與樣本熵保持著同步性，這樣使兩序列的線性組合為平穩序列。

圖8 測試集1,2的基于協整理論的退化特征提取Fig.8 The degradation feature based on cointegration of the dataset1 and 2

圖9 RMS和基于協整理論的退化特征對比Fig.9 The comparation of RMS and theproposed feature

當軸承接近于失效，能量急劇增加，摩擦副表面上的凸起急劇增多，雖有平滑作用，但效果不明顯。由于每個凸起都能形成周期性信號，那么整體的振動信號就是各個凸起引起的信號疊加，此時的信號周期性就不顯著了，所以復雜度降低得不明顯。這時，兩序列的協整性消失，所提特征在此階段明顯上升。所以轉變點可以看作局部故障向多點故障變化的轉折點，當運行到轉變點時，軸承距離失效已經不遠，應當進行軸承的剩余壽命預測了。

文獻［3］綜述了特征是否適合于作為預測性能的指標，其中包括單調性、魯棒性和趨勢性。其表達式分別如下，其中count（）為滿足要求的個數

單調性是衡量特征單調的程度，在求取前應該進行平滑處理，降低噪聲的影響。魯棒性衡量的是特征的穩定程度，從而減少預測結果的不確定性，其中X（tk）=XT（tk）+XR（tk），即信號分為確定的趨勢信號和平滑后的剩余信號。趨勢性是指特征與運行時間的相關程度。3個指標的取值范圍都是［0，1］，越接近于1說明特征相應的性能越好。求取3個測試集的預測性能指標，如表2所示。在求取時應當對特征進行歸一化處理，在計算單調性和趨勢性時忽略各特征平穩階段帶來的影響。平滑方法采用高斯濾波方法，窗口長度20。

從表2看，基于協整理論的退化特征具有明顯的非減性特點。相對于RMS和樣本熵，其在非平穩階段的單調性更好。在魯棒性和趨勢性上，所提特征與RMS及樣本熵處于同一水平。事實上基于協整理論的退化特征提取是一種融合特征的方法。融合算法包括線性和非線性降維方法，其中以主成分分析法（principal components analysis，簡稱PCA）和等距特征映射（isometric mapping，簡稱Isomap）為典型。以Bearing2-1為例，將RMS2與樣本熵經PCA和Isomap融合后得到圖10的結果。

表2 測試集特征的預測性能指標Tab.2 The prediction performance index of datas?ets'features

從結果看，PCA與Isomap融合后特征與樣本熵很相似?？傮w上RMS2與樣本熵走勢相反，經PCA與Isomap融合后的特征保持了其共有的趨勢。區別于PCA和Isomap，協整融合是將二者中趨勢不相同的地方提取出來，而將共有的趨勢進行消除。

圖10 Bearing2-1的RMS2與樣本熵經PCA與Isomap融合后的結果Fig.10 The fusion result of Bearing2-1's RMS2 and sample entropy based on PCA and Isomap

6 結束語

筆者發現了滾動軸承全壽命數據中RMS和樣本熵存在的協整關系，并提出了一種基于協整理論的滾動軸承退化特征的提取方法。所提取的退化特征有以下特點：具有良好的兩段性，能夠反映滾動軸承退化的前、中期和失效階段的不同特性。同時，該特征可以降低RMS、樣本熵在退化前、中期時的長期波動性。所提特征具有一般性，能夠將不同的滾動軸承全壽命數據統一起來，得到具有一致性的演變過程。相比于RMS和樣本熵，所提特征在非平穩階段的單調性好，故障預測能力更好。