“設而不解”有奇效

黃旭軍

最近學校在東南角剛建了一個長方形水池，一大堆同學在討論這個水池的周長有多少。

工人叔叔說，這個水池砌的墻的橫截面積是32平方米，墻厚2分米（如圖中的灰色部分），周長他們沒量過。

旁邊還有同學想向體育老師借卷尺來量……

阿木老師哈哈一笑，說：“你們只要把長與寬設成一個未知數就行了，不一定要求出來。這是設而不解法，有時比設數法更快捷。”

“設而不解？”同學們聽都沒聽說過這種方法，都在耐心地等老師介紹。

阿木老師說：“先把長設為a，寬設為b。去掉左下角的面積，余下部分面積就是3200-4=3196（平方分米）。可求出2a+2b=3196（平方分米）。它在數值上正好等于周長啊……這里設而不求，反而讓解題更簡單！”

例1

把9名學生參賽的名次從高到低排列，前5名的平均分比前4名的平均分少1分，后4名的平均分比后5名的平均分少2分。那么，前4名的平均分比后4名的平均分多幾分？

觀察

開始

這個題目的已知條件很少，很難用常規方法解。我們第一時間想到用設數法。

常規

思路

我們試著用設數法來解一下。假設前5名的平均分是20分，那么前4名的平均分就是21分，由20×5-21×4=16（分）可知，第5名一定是16分。由此可得：

21分，21分，21分，21分，16分，（? ?），（? ?），（? ?），（? ?）。

再設后4名的平均分為x分，那么后5名的平均分就是（16+4x）÷5=x+2，可求出x=6，由此，假設的分數如下：

21分，21分，21分，21分，16分，6分，6分，6分，6分。

也就是說，如果假設前4名平均分為21分，根據題目條件，相應的后4名平均分就是6分，21-6=15（分）。

答：前4名的平均分比后4名的平均分多15分。

另辟

蹊徑

下面，我們來進行初次嘗試——用設而不解法來解題。

設前4名的平均分為x分，那么前5名的平均分為（x-1）分。再設后4名的平均分為y分，那么后5名的平均分為（y+2）分。

根據前5名與后4名的學生總分之和，等于前4名與后5名的總分之和，我們可以列出方程：

5（x-1）+4y=4x+5（y+2）

5x-5+4y=4x+5y+10

5x+4y=4x+5y+15

利用等式的性質，解得：x-y=15。

不用分別求出未知數的具體值，這個算式的值，就是我們要求的結果。

例2

已知陰影部分的面積是6平方厘米，求這個圓環的面積（π取3.14）。

觀察

開始

陰影部分是兩個直角三角形的面積差，這兩個直角三角形的直角邊邊長正好是兩個圓的半徑。

常規

思路

我們可以用設數法，設小圓半徑是2厘米，那么小三角形面積是2×2÷2=2（平方厘米），那么大三角形的面積就是2+6=8（平方厘米），可求出大三角形直角邊長是4厘米。

所以大圓半徑是4厘米，小圓半徑是2厘米。

圓環的面積就是大圓的面積減去小圓的面積，也就是3.14×4×4-3.14×2×2=37.68

（平方厘米）。

答：圓環的面積是37.68平方厘米。

另辟

蹊徑

用設而不解法來解題，會是怎樣的呢？我們一起往下看。

設大圓半徑是R，小圓半徑是r，那么：

大三角形的面積= R×R÷2= 1

2R2

小三角形的面積= r×r÷2= 1

2 r2

根據陰影部分面積=1

2R2-1

2 r2=6（平方厘米），可知R2- r2=12（平方厘米）。

圓環的面積=π（R2- r2）=3.14×12=37.68（平方厘米）

答：圓環的面積是37.68平方厘米。