基于變分模態分解的光纖電流傳感器小波去噪方法

劉 美 紐春萍 姬忠校 刁兆煒 牛立壯

（1. 西安交通大學電氣工程學院，西安 710049；2. 電力設備電氣絕緣國家重點實驗室（西安交通大學），西安 710049）

0 引言

光纖電流傳感器（all-fiber optical current transformer, FOCT）是在安培環路定理和法拉第磁光效應的基礎上開發出來的，與傳統互感式電流傳感器相比，其主要特點為抗電磁干擾能力強、相對輕巧，而且能夠適應數字化的要求，更符合智能電網的發展趨勢[1]。

光纖電流傳感器的噪聲水平直接決定信號檢測過程中信噪比（signal noise ratio, SNR）的大小，影響其信噪比的主要因素包括光路噪聲與電路噪聲，對信號進行去噪是必不可少的一個步驟，由此衍生出許多關于FOCT 的去噪技術。模態分解降噪具有自適應的特點，常見的有經驗模態分解（empirical mode decomposition, EMD）、局部均值分解（local mean decomposition, LMD）。但同時這些方法也存在一些問題，例如，EMD 不僅缺乏完整的數學證明，而且存在模態混疊問題；同樣，LMD 也存在模態混疊，而且計算量大，會導致嚴重的滯后[2]。

2014 年，K. Dragomiretskiy 等人[3]提出了變分模態分解（variational mode decomposition, VMD）。VMD 具有嚴格的數學模型和堅實的理論基礎，且能夠克服EMD 和LMD 中頻率混疊等缺點，具有更優的噪聲濾除效果。

傳統VMD 濾波一般采用局部重構法，即將包含信號有效成分的相關模態進行重構，將不相關模態當作噪聲去除。在仿真的基礎上，本文改進傳統VMD，引入消除趨勢波分析（detrended fluctuation analysis, DFA）選取VMD 最佳分解層數，運用互信息法（mutual information, MI）篩選出含噪聲較大的非相關模態，并對非相關模態進行小波濾波，然后進行信號重構，以確保在去噪的同時最大化地保留有用信號。最后通過仿真比較本文方法和傳統VMD、EMD、LMD 的信噪比（signal-noise ratio,SNR）及最小方均根誤差（root-mean-square error,RMSE），定量地得到不同方法的去噪效果。

1 FOCT 基本原理和噪聲特性

FOCT 的系統結構如圖1 所示[4]。被測導體穿過傳感光纖圈，傳感光纖中偏振光的角度受被測導體磁場的影響而發生改變，此即光傳感單元的作用。經過光電探測器，光信號轉換為電信號，經過前置放大器、A-D 轉換器和數字解調輸出后得到被測導體電流值。由其測量原理可知，影響傳感器輸出信噪比的主要因素包括光路噪聲與電路噪聲。

圖1 FOCT 系統結構

光路噪聲主要在光的傳遞過程中產生，比如光纖的瑞利散射噪聲、偏振噪聲等，以及在光電轉換過程中產生的，比如探測器的光子散粒噪聲等。這些噪聲可以用均值為零的白色高斯噪聲來近似表示。電路噪聲主要在前置放大器、A-D 轉換器、解調過程中產生，比如電阻熱噪聲、量化噪聲等[5]。這些噪聲能用1/f分形噪聲和白色高斯噪聲來模擬。

降低噪聲的影響主要通過改善光路性能實現，如提高光源發光功率和采用過調制技術來抑制，或采用模擬電路濾波和算法濾波技術。本文提出的方法是通過算法濾波來抑制噪聲，從而提高信噪比。

2 VMD 原理

假設原始信號f分解成K個IMF 分量，則對應的約束變分模型為

式中：ωk為模態分量的中心頻率，k=1, 2, 3, …,K，K是確定的模態分解個數；uk為第k個模態分量。

VMD 的目的是找尋以上約束變分問題的最佳解答，因此引進兩個系數，分別為二次懲罰因子α和Lagrange 乘法算子λ(t)，因而獲得的增廣Lagrange表達式如下[4]：

VMD 的算法流程：

1）初始化u1k、ω1k、λ1和n為0。

2）n=n+1，開始整個算法的循環。

3）根據式（1）和式（2）更新uk和kω，其中k從1 開始一直循環到K。

4）按式（3）更新λ。

5）給定判定精度e＞0，若滿足判定表達式

則迭代終止，否則返回步驟2）。

3 基于VMD 的去噪原理

3.1 VMD 分層

通過上述計算，可得到K個VMD 分解模態，為了得到合適的分解層數K，本文采用消除趨勢波分析來確定[6]。DFA 能夠通過計算時間序列長程相關性而達到去除不同階外來趨勢的目的，能得到序列本身的統計行為特性[7]。DFA 通過計算標度指數α，得到K與α的關系為[8]

式中：K為分解層數；αK為每個模態分量的標度指數，對于高斯白噪聲，一般αK取0.5；閾值θ=αK+0.25；J為模態分量的標度指數大于閾值的個數，有

式中，α0為輸入信號的標度指數[9]。

3.2 相關模態的選擇

關于VMD 去噪的應用，主要采用局部重構法，即將包含信號有效成分的相關模態進行重構，將不相關模態當作噪聲去除，本文采用互信息法（MI）進行不相關模態的篩選。

互信息的計算公式為

式中：p(x)、p(y)為兩個變量的邊緣概率分布；p(x,y)為它們的聯合概率分布。從計算公式可以看出，MI的作用為表示兩個變量的相關程度。若其MI 值較大，則相關性大，反之則小[10]。

計算各模態與原信號的互信息MIi，并做歸一化處理，即

式中：MIi為第i個模態與原信號的互信息；λi為第i個模態的歸一化互信息；λm為歸一化互信息平均值。若λi＞λm，則認為該分量為有效分量，否則予以剔除[11]。

4 不相關模態處理

利用互信息法篩選出不相關模態后，對于光纖電流傳感器來說，不相關模態與原信號的互信息值雖小于平均值，但是仍然大于零，說明其中含有有用信號，直接去除會導致部分有用信號丟失，因此本文對不相關模態進行小波變換降噪后重構，這樣能在充分去噪的情況下最大程度地保留有用信號。

對于任意的函數f(t)∈L2(R)的連續小波變換為[12]

其逆變換為

式中：a為伸縮因子；b為平移因子。可以通過改變這兩個系數而對時頻窗進行調節[13]。

Symlets 小波是常見的一類小波基函數，能夠靈活變換尺度，其強大的時域和頻域局部化能力能準確地闡述問題細節，同時由于其時域和頻域的局部化能力較強，能夠有效減少信號重構時的相移，符合本文信號去噪所需要的特性[14]。故本文選擇8 階Symlets 小波（即sym8）來完成對不相關信號的去噪，并且細節系數選用sure 閾值模式和尺度噪聲。

5 算法流程和濾波效果

5.1 算法流程

首先，利用DFA 得到VMD 的分解層數K，然后進行VMD，根據互信息法篩選出相關模態和非相關模態，對含噪聲量較大的非相關模態采用sym8小波變換進行去噪，最后將去除噪聲后的非相關模態和相關模態進行信號重構，得到去噪之后的有用信號。本文去噪流程如圖2 所示。

5.2 仿真去噪分析

1）階躍直流信號仿真去噪分析

為了檢驗本文提出方法的去噪效果，利用Matlab 對模擬電流信號進行去噪處理。首先模擬階躍電流信號，假設電路中始終存在信噪比為20 的高斯噪聲η，信號為

利用本文方法對直流信號進行去噪，經過計算，VMD 分解層數為3，其中IMF1為相關模態，IMF2和IMF3為不相關模態，VMD 波形如圖3 所示。

圖2 去噪流程

圖3 模擬直流信號VMD 波形

對模擬直流信號分別進行傳統 VMD 重構、EDM 重構、LMD 重構去噪，分別得到如圖4 所示去噪后的波形。

圖4 模擬直流信號VMD、EMD、LMD 重構去噪后的波形

從圖4 可以看出，對于突變的直流信號，LMD由于頻率混疊的問題，在信號突變及其突變以后的時刻會出現較大的失真；EMD 的殘余量能反映電流的趨勢，但是響應時間較長；而VMD 重構去噪相對來說經過一個緩沖的上升過程，能較為有效地對階躍信號進行去噪。對分解后的VMD 不相關模態，即IMF2和IMF3進行sym8 小波濾波后與第一模態進行重構，計算RMSE 和SNR，與傳統VMD、EMD、LMD 的去噪效果進行比較，見表1。

表1 模擬直流信號、交流信號去噪效果對比

2）交流信號仿真去噪分析

根據國標GB/T 14549—93《電能質量：公用電網諧波》，在標稱電壓為10kV 的線路中，注入公共連接點的諧波電流，3 次諧波和5 次諧波占允許諧波的大部分。

本文模擬混合有3 次諧波和5 次諧波及高斯噪聲的交流信號y，即

式中：x(t) 為頻率為50Hz 幅值為1 的工頻交流信號；x1(t) 為幅值為0.1 的3 次諧波信號；x2(t) 為幅值為0.1 的5 次諧波信號；η為信噪比為20 的高斯噪聲。

利用本文方法對交流信號進行去噪，經過計算，VMD 分解層數為3，其中IMF1為相關模態，IMF2和IMF3為不相關模態，VMD 波形如圖5 所示。

圖5 模擬交流信號VMD 波形

對模擬交流信號分別進行傳統 VMD 重構、EDM 重構、LMD 重構去噪，分別得到如圖6 所示去噪后的波形。

圖6 模擬交流信號VMD、EMD、LMD 重構去噪后的波形

由圖6 可以看出，三種分解均存在一定程度的畸變，但是VMD 的圖形最接近工頻交流信號。計算RMSE 和SNR，與傳統VMD、EMD、LMD 的去噪效果進行比較，見表1。

從表1 可以看到，當對直流信號進行去噪處理時，由于所加的電流為一個階躍信號，在信號突變的瞬間信號頻率發生極大的變化，EMD 和LMD 能夠處理的信號頻率帶寬較小，對于階躍信號無法進行有效去噪，從而出現失真現象，因此其得到的信號RMSE 較大、SNR 較小。而VMD 則能夠對階躍信號進行有效處理，去噪后的信號再經過小波處理，得到去噪后的信號RMSE 較小、SNR 較大。當對交流信號進行去噪處理時，可以看到干擾信號為3 次、5 次諧波信號和高斯噪聲，LMD 自適應分解部分采取局部均值平滑篩選方式對信號進行分解，EMD 采用包絡線均值殘差分解，對頻率相近的交流信號分解效果差，而VMD 能克服此缺陷，對交流信號的去噪效果較好。

6 結論

本文提出了一種結合小波的VMD 去噪方法，該方法利用DFA 和互信息法來提高VMD 的準確度，并進一步結合sym8 小波去噪，改善了VMD 去噪的效果。通過仿真對此方法進行了驗證，并和傳統VMD、EMD、LMD 去噪效果進行比較，根據各種去噪結果的RMSE 值和SNR 值可證明，本文的方法能有效提高光纖電流傳感器輸出信號的信噪比。