基于傳遞矩陣的鉆孔應(yīng)變法測量薄板殘余應(yīng)力

潘 龍，鄧楚銓，徐振欽

(1.南京工程學(xué)院 江蘇省智能制造裝備工程實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 211167;2.中國工程物理研究院材料研究所，四川 綿陽 621900)

0 引 言

殘余應(yīng)力廣泛存在于機(jī)械零部件內(nèi)，對強(qiáng)度、韌塑性、尺寸精度、疲勞強(qiáng)度、耐腐蝕性等產(chǎn)生嚴(yán)重的影響[1]，甚至影響零件的磁學(xué)性能[2]、電學(xué)性能[3]等。殘余應(yīng)力測量技術(shù)是研究殘余應(yīng)力的基礎(chǔ)，其中鉆孔法經(jīng)過幾十年的理論研究和工程應(yīng)用，形成了比較成熟的技術(shù)體系，是目前應(yīng)用最廣泛的一種方法[4-5]。鉆孔法是在構(gòu)件表面鉆一個(gè)小孔，通過測量鉆孔前后由殘余應(yīng)力松弛導(dǎo)致孔周圍變形的信息，根據(jù)變形與殘余應(yīng)力的力學(xué)關(guān)系計(jì)算殘余應(yīng)力。鉆孔應(yīng)變法是測量孔周圍的應(yīng)變信息，然后根據(jù)力學(xué)關(guān)系計(jì)算殘余應(yīng)力[6]。美國材料試驗(yàn)協(xié)會(huì)于1981年制定了鉆孔法應(yīng)變測量殘余應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)過不斷修改和完善，制定的現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)是ASTM E837—13a《standard test method for determining residual stresses by hole-drilling strain-gauge method》[7]，我國使用的標(biāo)準(zhǔn)為GB/T 31310 —2014《金屬材料 殘余應(yīng)力測定 鉆孔應(yīng)變法》[8]。兩種標(biāo)準(zhǔn)都采用校準(zhǔn)系數(shù)計(jì)算殘余應(yīng)力，ASTM E837通過有限元標(biāo)定方法給出了一組校準(zhǔn)系數(shù)數(shù)值。但是，校準(zhǔn)系數(shù)與應(yīng)變花的幾何尺寸、鉆孔直徑、材料性能等物理參數(shù)有關(guān)[9-11]，這些參數(shù)變化時(shí)，需重新標(biāo)定校準(zhǔn)系數(shù)，工作量大大增加，并且由于有限元方法的限制，增加了測量人員掌握該技術(shù)的難度。根據(jù)ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)給出的殘余應(yīng)力計(jì)算方法，校準(zhǔn)系數(shù)是影響殘余應(yīng)力測量精度的主要因素之一，有限元方法標(biāo)定校準(zhǔn)系數(shù)會(huì)產(chǎn)生計(jì)算誤差，進(jìn)而增加殘余應(yīng)力的計(jì)算誤差，降低測量精度。因此，采用校準(zhǔn)系數(shù)計(jì)算殘余應(yīng)力的方法，既增加了測量過程的復(fù)雜度，又無法保證測量精度。

此外，隨著聚焦離子束鉆孔、數(shù)字圖像分析技術(shù)在測量殘余應(yīng)力中的應(yīng)用，提出了聚焦離子束鉆孔—數(shù)字圖像分析相結(jié)合的測量方法，呈現(xiàn)高分辨率、高精度的發(fā)展趨勢[12]。聚焦離子束鉆孔直徑達(dá)到微米級，可測量第二類微觀殘余應(yīng)力，大大提高殘余應(yīng)力的測量分辨率[13]。基于光學(xué)的數(shù)字圖像分析技術(shù)為非接觸式變形測量方法，測量便捷，精度較高[14]。這些新技術(shù)的應(yīng)用能夠提高殘余應(yīng)力測量的分辨率和精度，同時(shí)對殘余應(yīng)力測量的力學(xué)原理提出較高要求。

根據(jù)彈性力學(xué)理論建立殘余應(yīng)力和測量應(yīng)變關(guān)系的解析表達(dá)式，能夠省去校準(zhǔn)系數(shù)的有限元標(biāo)定，簡化測量過程，不產(chǎn)生有限元計(jì)算誤差，提高殘余應(yīng)力測量精度。本文針對薄板工件均布?xì)堄鄳?yīng)力的測量問題，采用彈性力學(xué)理論的傳遞矩陣，推導(dǎo)出了計(jì)算殘余應(yīng)力的解析表達(dá)式，進(jìn)一步研究了該方法計(jì)算殘余應(yīng)力的精度。

1 殘余應(yīng)力的解析表達(dá)式

圖1 薄板工件應(yīng)力分別在點(diǎn)P產(chǎn)生應(yīng)力示意圖

采用圖2所示的B類應(yīng)變花，3個(gè)應(yīng)變片位置的應(yīng)力分別為：

圖2 B類應(yīng)變花的幾何尺寸

式中：R1——應(yīng)變片左端距離應(yīng)變花中心的距離；

R2——應(yīng)變片右端距離應(yīng)變花中心的距離；

E——材料的彈性模量；

ν——泊松比；

N——應(yīng)變片的編號，N=1、2、3；

θN——相應(yīng)應(yīng)變片和x軸的夾角。

其中tij為反映平均應(yīng)變與殘余應(yīng)力關(guān)系的柔度矩陣。鉆孔前薄板工件為二維均布應(yīng)力狀態(tài)，3個(gè)應(yīng)變片測量方向的原始應(yīng)變?yōu)?/p>

應(yīng)變花測量的應(yīng)變?yōu)殂@孔后的平均應(yīng)變減去鉆孔前的原始應(yīng)變，即

式(9)減去式(11)，得到應(yīng)變花測量應(yīng)變的矩陣表達(dá)式為

引入應(yīng)變傳遞矩陣 Tij，表達(dá)式為

得到計(jì)算殘余應(yīng)力的應(yīng)變傳遞矩陣解析表達(dá)式

ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)給出的測量應(yīng)變與殘余應(yīng)力關(guān)系為

2 殘余應(yīng)力的標(biāo)定與測試

試樣為雙向拉伸十字試樣，如圖3所示，厚度為1 mm，采用7075鋁合金板制備，去應(yīng)力退火：400 ℃加熱30 min后隨爐冷卻至室溫。試樣的兩端通過夾具與試驗(yàn)平臺(tái)相連，另外兩端固定在滑臺(tái)上，通過移動(dòng)滑臺(tái)施加預(yù)應(yīng)力。試樣上下表面各粘貼一個(gè)應(yīng)變花，上表面的為B類應(yīng)變花，測量鉆孔后的應(yīng)變值；下表面粘貼三向應(yīng)變花，測量施加預(yù)應(yīng)力，作為殘余應(yīng)力標(biāo)定值。根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系給出殘余應(yīng)力標(biāo)定值的計(jì)算公式為

圖3 試樣形狀和應(yīng)變花粘貼位置（單位：mm）

其中 ε1、ε2、ε3分別是三向應(yīng)變花 3個(gè)應(yīng)變片的測量值。

試樣施加的預(yù)應(yīng)力為殘余應(yīng)力，殘余應(yīng)力的測試系統(tǒng)主要包括鉆孔裝置和應(yīng)變測量裝置，如圖4所示。鉆孔裝置主要包括高速主軸和高精度電動(dòng)平臺(tái)，鉆頭安裝在主軸端部，主軸通過底座安裝在電動(dòng)平臺(tái)臺(tái)面，通過控制電動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)控制鉆孔進(jìn)給量和鉆孔深度。應(yīng)變測量裝置主要包括應(yīng)變花、惠斯通電橋、動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀和應(yīng)變測試軟件，應(yīng)變花的3個(gè)應(yīng)變片和3個(gè)補(bǔ)償片分別與惠斯通電橋相連，電橋輸出端與動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀連接，應(yīng)變儀與計(jì)算機(jī)連接，通過測試軟件得到應(yīng)變值。

圖4 殘余應(yīng)力測試系統(tǒng)

3 試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)彈性力學(xué)理論，推導(dǎo)出了用于計(jì)算殘余應(yīng)力的解析表達(dá)式(15)，其中引入的應(yīng)變傳遞矩陣Tij表達(dá)式(14)包含了應(yīng)變花尺寸信息R1和R2、鉆孔半徑a、材料泊松比ν等參數(shù)。這些參數(shù)會(huì)由于應(yīng)變花型號、鉆孔刀具和工件材料的不同而變化，皆可代入式(14)直接計(jì)算應(yīng)變傳遞矩陣數(shù)值，具有較高的通用性。對ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)中采用校準(zhǔn)系數(shù)給出的應(yīng)變傳遞矩陣，當(dāng)以上參數(shù)變化時(shí)，需要重新采用有限元方法標(biāo)定校準(zhǔn)系數(shù)，使測量過程復(fù)雜，增加了測量難度，而且校準(zhǔn)系數(shù)的有限元計(jì)算誤差會(huì)累加到殘余應(yīng)力的計(jì)算誤差，降低測量精度。

選取5個(gè)試樣，編號為No.1～No.5，三向應(yīng)變花的標(biāo)定值和B類應(yīng)變花的測量值見表1，計(jì)算出的殘余應(yīng)力標(biāo)定值、測量值和相對誤差見圖5。與標(biāo)定值相比，采用ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)中校準(zhǔn)系數(shù)計(jì)算出殘余應(yīng)力σx和σy的相對誤差絕對值均值分別為6.6%和4.5%，τxy的方向與標(biāo)定的τxy方向相反，相對誤差絕對值均值為188%；采用傳遞矩陣法計(jì)算出殘余應(yīng)力σx和σy的相對誤差絕對值均值分別為 1.8%和 1.6%，τxy的相對誤差絕對值均值為17.3%。殘余應(yīng)力τxy不是施加的主要應(yīng)力，數(shù)值較小，不予考慮，僅分析x、y方向的殘余應(yīng)力。

圖5 殘余應(yīng)力測量數(shù)值和相對誤差

表1 應(yīng)變的標(biāo)定值和測量值 με

采用傳遞矩陣計(jì)算的殘余應(yīng)力σx和σy相對誤差絕對值均值都小于2%，采用ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)中校準(zhǔn)系數(shù)計(jì)算的相對誤差絕對值均值為5%左右，表明采用傳遞矩陣計(jì)算的精度高于采用校準(zhǔn)系數(shù)計(jì)算的結(jié)果。因?yàn)橛?jì)算殘余應(yīng)力的傳遞矩陣解析表達(dá)式具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧W(xué)理論推導(dǎo)過程，計(jì)算精度較高，同時(shí)避免了ASTM E837中校準(zhǔn)系數(shù)的有限元標(biāo)定的計(jì)算誤差。

4 結(jié)束語

1) 針對鉆孔應(yīng)變法測量薄板工件均布?xì)堄鄳?yīng)力的計(jì)算問題，引入彈性力學(xué)中的應(yīng)變傳遞矩陣，建立了計(jì)算殘余應(yīng)力的解析表達(dá)式，包含了應(yīng)變花幾何尺寸、鉆孔直徑、泊松比等參數(shù)，通用性較強(qiáng)，避免了ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)中校準(zhǔn)系數(shù)重復(fù)標(biāo)定，簡化了測量過程。

2) 殘余應(yīng)力測試結(jié)果表明，采用傳遞矩陣解析表達(dá)式計(jì)算殘余應(yīng)力的相對誤差小于2%，小于ASTM E837標(biāo)準(zhǔn)中采用校準(zhǔn)系數(shù)的計(jì)算誤差5%左右。計(jì)算殘余應(yīng)力的解析表達(dá)式力學(xué)理論依據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算精度較高，避免了校準(zhǔn)系數(shù)有限元標(biāo)定的計(jì)算誤差，提高了殘余應(yīng)力的測量精度。