弱電統一模型中的SU(2)×U(1)上同推導

山東建筑大學理學院 山東 濟南 250101

自然界中有四大相互作用力，分別是強相互作用力、弱相互作用力、電磁相互作用力和萬有引力。建立一個大統一理論統一這四個相互作用力是所有物理學家畢生的追求。但是這個模型從其存在的假設開始，物理學家們至今沒有找到和建立這樣的理論。令人欣慰的是，溫伯格和薩拉姆兩位優秀的物理學家給出了一種合理的弱電統一模型[1]。他們的模型可以通過組合群SU(2)×U(1)表示，用其計算所得的理論數據和實驗中得到的數值結果高度吻合，其中包括玻色子得到質量，光子的靜止質量為零等[2]。群SU(2)×U(1)由描述弱相互作用的SU(2)群和描述電磁相互作用的U(1)群組合得到。該模型在現有的知識框架下，以及未來對于構建大統一理論都具有極為重要的作用。而的上同調群可以用來描述非線性西格瑪模型中對稱保護下拓撲態的分類，在后續的理論計算中起著尤為重要的作用[3]。

1 理論基礎

群的上同調理論是數學家在拓撲幾何中引入的拓撲不變量，其特殊的性質可以使得原有的較為復雜的幾何變得更為直觀。在物理學上，上同調理論可以用來解釋各種對稱結構，比如在電磁場中，電場可以看作一階微分形式，磁通量看作二階微分形式，當把這兩種形式都包含在一種函數空間時，其能量空間可以通過微分算子聯系，而通過微分算子構成的德拉姆上同調(deRhamcohomology)群正好是其電磁場的介質區域的Betti數。而在拓撲量子場中，上同調群的優越性得到了更大的展現，由于不需要給所算空間規定度量，上同調理論可以不依賴與以往的度量空間而直接對整個拓撲空間進行積分運算，因此就能使用這些空間的商空間來表示某些物理現象，而其中較為特殊的酉群SU(n)就可以來描述相對應比較主流的幾種模型，例如弱相互作用的SU(2)群以及強相互作用的SU(3)群等。

2013年，陳謝和文小剛等人在文章《Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group》中給出了有關U(1)和SU(2)的上同調群的計算結果[4]。

2 公式推導

根據Kunneth方程，群SU(2)×U(1)的上同調可以表示為

因為?是一個域，所以式(3)中的Torsion項被消除。我們分別取d為0，1，2，3等整數，則根據簡單的推導就能得到SU(2)×U(1)的上同調群為

3 結果與討論

通過上述的推導，我們可以看到當d為偶數時，SU(2)×U(1)的上同調群為?；而當d為奇數時，其上同調群為一常數?1。因此，只有當空間維數d為偶數時，SU(2)×U(1)的上同調群才能用于描述非線性西格瑪函數中的分類問題。我們可以看到上述推導過程中根據域?的特性而省略了Torsion項，這樣的方法在平坦空間上的映射可以省去繁瑣的推導項。但是根據物理現實的需要，很多所需要計算的上同調群的映射空間并不是平坦的空間或者域，所以我們需要對非域空間的映射的上同調計算進行簡化處理。我們可以注意到Torsion項比它之前項所需要的乘積階數要高一階，因此我們可以根據這一特性，使用群拓展的觀點將Torsion項看成是低維群的拓展群，從而使得其可以合理地歸入純上同調項。而上述類似的推導方法同樣適用于其他酉群的上同調運算。

4 總結

在拓撲空間相關的物理模型的計算中，通過群的上同調運算，復雜的拓撲模型可以簡化為不同類型的拓撲群。文章從基本的U(1)和SU(2)的上同調群著手，進一步推導了SU(2)×U(1)的上同調群，而所得的結果可以用于求解高階的弱電統一理論。使用群上同調的方法既可以免去引入度量時帶來的不必要的結構麻煩，也可以使得最終對于空間結構的分類變得更加直觀了當。