用數形結合實現思維可視化的數學案例分析

閆紅雪

（西安交通大學附屬小學，陜西 西安 710048）

作為一名一線的小學數學教師，越來越感覺到：有的學生數學成績不理想，不僅僅在于態度不端正，這只是表面的表現，并不是本質問題。其實，大部分原因來自方法的選擇，解題策略的局限，深度思考不夠，批判思維的缺失等。因此，要想切實提升學生學習數學的興趣，也要從解決問題的本質做起。在工作中，我經常反思：怎樣能使數學變得更有趣？怎樣能讓孩子愛上學數學？怎樣將抽象的知識更接地氣？

經過長期的思考和一線教學的實踐研究，得出數形結合策略可以實現思維可視化，從本質上解決問題，降低解題難度，將大人們不以為然卻難倒孩子的“抽象”轉化為“直觀”。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離”。這首詩對“數”和“形”關系做了絕妙的論述。

下面，我將以案例的形式，結合工作中學生易錯的、感到困難的、抽象的、能體現“數形結合”優勢的典型例題，談談一些淺見。

案例一：

一袋糖果，如果平均分給4個小朋友，還剩3塊；如果平均分給5個小朋友，還缺1塊；如果平均分給6個小朋友，還缺1塊。這袋糖果至少有多少個？

正確的打開方式：

“平均分給4個小朋友，剩3塊”即相當于“平均分給4個小朋友，缺1塊”。

有圖為證（可以用○代替糖果）：

（剩3塊即缺1塊）

（缺1塊）

（缺1塊）

從圖中可以看出，糖果數比4的倍數少1，比5的倍數少1，比6的倍數少1。即：糖果數比4、5、6的公倍數少1。由于問題是“糖果至少多少個”，因此，糖果數比4、5、6的最小公倍數少1個。 4、5、6的最小公倍數是60。60－1＝59（塊）

解決問題時，大部分出錯學生、不會做的學生都被題中“平均分給4個小朋友，剩3塊”的問題所困住，有的孩子用代數的方法，正確解法近在咫尺，卻無法突破[1]。

如：

解：設一袋糖果至少有X塊

X÷4=？……3

X÷5=？……4

X÷6=？……5

也有這種思維得出正解的：

解：設這袋糖果有X塊

X÷4……3（缺1）

X÷5……4（缺1）

X÷6……5（缺1）

在解決某些數學題時，縱然有多么美麗動聽的語言，也無法抵擋圖形的視覺沖擊力，這就是圖形的魔力。如果孩子能養成自覺畫圖的習慣，將受益良多。

案例二：

在我還沒有看到學生完成本題的狀況前，說實話，我預想應該還是不錯的。原因是：第一，現在大部分的孩子在外面都有課外拓展班，在孩子摸爬滾打的題海里，這種題難度不大。第二，在整數的應用題中，與本題類似的題目曾經出現過。但現狀是：錯誤率有點高。可能是學生練過但由于沒有深度思考，所以忘了，也可能是解決分數應用題時，部分學生還在靠機械記憶解題，甚至心里都沒有分析過的意義。在發現學生的錯誤之后，課堂交流時，我并沒有給出解法或算式，而是讓學生自己用畫線段圖的方法畫出的意義。

如：

在學生畫完線段圖之后，我聽到了一個驚喜外加惋惜的聲音“原來是這樣，哎……”意思不言而喻。看來，她沒有畫圖理解分數的習慣。圖形有了，數量關系明了了，解題就只是水到渠成的事情了。

案例三：

有5名裁判員給一名體操運動員評分后，如果去掉一個最高分和一個最低分，平均得分是9.66分；如果只去掉一個最高分，平均得分為9.46分；如果只去掉一個最低分，平均得分為9.71分。這名運動員所得的最高分和最低分是多少？

估計大多數人在讀題時都會有點心煩，三個排比句好暈！小學生在讀題時和我們有同樣的體會：繞來繞去煩死了！枯燥無味！這怎么求？找圖形來幫忙。這樣的題也有圖嗎？有，而且畫出圖來，題目變得有意思多了，“無聊”變“有聊”了。不信你來看：

最低分：9.46×4－9.66×3＝8.86（分）

去掉一個最高分和一個最低分，平均分是9.66分，那么，中間三個評委的總分是9.66×3；

去掉最高分，平均分是9.46分，那么，除去最高分后，四位評委的總分是9.46×4；

從集合圖可以看出： 最低分＝9.46×4-9.66×3＝8.86分。同理，

最高分：9.71×4－9.66×3＝9.86（分）

去掉一個最高分和一個最低分，平均分是9.66分，那么，中間三個評委的總分是9.66×3；

去掉最低分，平均分是9.71分，那么，除去最低分后四位評委的總分是9.71×4；

從集合圖可以看出：最高分＝9.71×4-9.66×3＝9.86分

事實證明，不僅是圖形與幾何范疇能找到對應的圖形模型，只要你愿意開動大腦，愿意深度思考，養成分析、質疑的習慣，代數領域的數學題也能找到屬于它的特有的圖形模型[2]。

案例四：

雖然標題是“趣味題”，但思考起來卻不太“趣味”，有些抽象。抽象在本題有3個單位“1”的量：全部的數量；第一天剩下的數量；第二天剩下的數量。如果這道趣味題借助“圖形”來理解數量關系是不是更清楚呢？我們來試一試。經常用到的當然是“線段圖”。

如：

其實，我要說的是，還有一種圖比線段圖更清楚、更直觀、更容易找到解法： 正方形模型圖。

如：

通過比較可以看出，正方形模型能幫我們更直觀地找到每一個具體數量所對應的單位“1”的量，從而快速找到方法。

事實證明，對于學生來說，有至少兩種學習方式容易遺忘：一是，理解能力還沒到時，過早或過快接觸較難的題。例如：在還沒理解分數的意義時，就進入分數應用題的學習。二是，忽視算理的學習。一般這種情況當時好像確實會了，但由于只是表皮的學習，缺乏深度思考，沒過多久，也會確實忘了。

在解決問題的過程中，學生常常會遇到這樣的情況：情境中呈現的信息很多，看起來比較繁雜，但并不是所有的信息都對解決問題有幫助，真正需要的信息往往隱含在情境圖和題目的字里行間，學生有時不知道該從何處入手解決問題。針對這一種狀況，教師可以長期堅持培養學生畫圖解決問題的意識和習慣，學會在圖形中篩選有用信息，從而找到解決問題的方法。

在北師大2011課標版教材中，四大內容框架（數學與代數、圖形與幾何、統計與概率、數學好玩）中無不滲透著利用直觀模型解決問題的思想。如：計算的算理教學，各種平面圖形、立體圖形的長度與面積的教學，統計圖的教學，數學應用、趣題、游戲的教學等，說明數形結合的策略確實可以讓教學言中有物，眼中有物，實現思維可視化。只要教師和學生有直觀的意識，有直觀的做法，必然會促進學生思維的發展、核心素養的提升。