基于光滑自助法的風功率預測誤差核密度建模方法

楊 宏,李文棟,趙振兵

（華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定071003）

0 引言

由于風力發電的隨機性和波動性，并網風電給電力系統規劃、調度和運行帶來了一系列安全隱患[1]。準確地估計風功率預測誤差的概率分布，有助于電力系統進行更有效的風險價值分析，提高經濟運行水平[2]。

目前，關于風功率預測誤差的建模方法已經有了很多研究成果，這些成果可以分為參數建模方法和非參數建模方法。參數建模方法首先對誤差模型做先驗假設，然后根據樣本數據估計模型參數。已有的、常用的參數模型有正態分布、柯西分布和TLS分布等[3]～[5]。

盡管參數建模方法有了很多研究成果，但該類方法在實際應用中存在以下不足：①現有模型不能涵蓋所有的誤差分布特征，有一部分預測誤差不能使用這些模型；②模型的選擇依賴工程人員的主觀判斷，一旦模型假設錯誤，則建模結果不能依樣本數據量的增加而收斂；③在眾多可選模型中，實時地選擇并檢驗這些模型也是一個比較復雜且容易出錯的過程。

基于上述原因，風電功率預測誤差的核密度估計方法（一類非參數建模方法）逐漸受到關注。該類方法在面對任何分布形態時，無須進行模型假設，只根據樣本數據就可以計算誤差的概率密度函數。其中典型的成果是文獻[6]，[7]采用的無偏交叉驗證（UCV）和經驗法則（ROT）。

然而，現有的UCV和ROT方法沒有考慮風功率預測誤差的尖峰厚尾特征，以及局部的小樣本特征，直接使用會存在較大的泛化誤差。為了進一步提高建模精度，本文提出了基于光滑自助法的改進方法。該方法利用光滑自助法在分位數推斷上的優勢，通過修改平均積分平方誤差指標函數，實現了對UCV和ROT方法的校正。

1 核密度估計方法的基本原理

假設在值域空間x中有一個樣本集合X={x1，x2，...，xn}，它包含獨立同分布f的n個樣本點，那么，在樣本X上用帶寬h計算的核密度函數f估計結果為

式中：f（x）為真實函數；E為概率論中的數學期望，它是衡量估計結果fh（x）與真實函數f（x）的誤差平方的數學期望。

用不同的方式處理這兩個指標函數，可以推導出很多不同的核密度估計方法，UCV和ROT就是其中兩個典型的方法。

2 基于光滑自助法的核密度估計方法

光滑自助法可以提供更精確的分位數統計結果，它與密度估計方法的目標一致[8]。根據這個特性，本文提出了基于光滑自助法的核密度估計方法。在核密度估計理論中，MISE（h）是ISE（h）的數學期望，用該指標計算的密度函數具有更小的泛化誤差，本文方法依據MISE（h）指標推導得出。

在式（3）中引入估計函數fh（x）的數學期望E[fh（x）]，展開整理可得：

通過上式可以看出，MISE（h）指標可以分解成方差和偏差兩個部分，將兩部分相加，可以獲得一個綜合方差和偏差的帶寬，避免了估計結果的欠擬合和過擬合現象。與其他現有方法不同，本文處理未知分布f（x）的基本思想是先用一個基本的密度函數fb代替真實分布，再利用光滑自助法在分位數推斷上的優勢，對基本的密度函數fb進行校正。指標函數是在原MISE（h）的基礎上做了改進。

用基本的核密度方法估計一個密度函數fb（x|X），代替原有的真實函數f（x），同時，用光滑自助法的均值函數fh（x|X*）代替抽象的數學期望E[fh（x）]，得到新的計算偏差公式。

為了適應不同特點的分布函數，在MISE（h）函數的方差項前增加一個權重系數w，在偏差項前增加一個權重系數（1-w），重新構造MISE*（h）指標函數。

式（9）為本文提出的基于光滑自助法的核密度估計方法的指標函數。該指標函數是一個可計算的優化模型，它有兩個變量，w和h。其中，w為配置變量，可以根據實際方差和誤差的比重，用手動方式設定或調整；另外一個變量h是優化變量，可以通過優化算法搜索完成。如果對基本估計方法比較信任，那么應該設定一個較小的w，這樣計算的結果對基本估計方法有一個較小的修正；相反，如果對基本估計方法不信任，那么應該設定一個較大的w，這樣就對基本估計方法有一個較大的修正。本文通過大量仿真發現，當w的取值為[0.1，0.4]時，總會有較好的效果。要進一步降低誤差，提高精度，則須要通過反復仿真確定。

在獲得最優帶寬h*后，代入式（1）得到最終的密度函數。指標函數具體的計算過程如圖1所示。

圖1 光滑自助法指標函數算法流程Fig.1 Algorithm flow of smooth bootstrap index function

3 模擬數據仿真

3.1 數據源

建模精度是本次仿真檢驗的一個主要指標，由于受風電場容量、地形等因素的影響，風功率預測誤差的分布特征存在很大差異，個別風電場的仿真結果不應直接當作其他風電場的一般性結論。基于上述原因，為了能夠準確地、全面地考察本文方法在精度方面的改進效果，仿真采用了TLS模擬數據。

TLS模擬參數取值的范圍見表1。

表1 TLS仿真參數的取值范圍Table 1 TLSsimulation parameter value range

3.2 仿真步驟

仿真按照如下步驟進行。

第一步：在表1中選擇一組具體的模型參數值。

第二步：根據模型參數，生成100個模擬樣本。其目的是為了避免1次模擬的隨機性對仿真結論的影響，模擬樣本的數量可以變化。

第三步：在每個生成樣本上采用本文方法估計密度函數。

用式（10）計算估計密度函數與真實密度函數之間的偏差，作為衡量精度的指標，偏差越小，精度越高。

式中：f為100次模擬樣本估計的密度函數均值。

3.3 基于光滑自助法的UCV仿真

仿真檢驗本文方法與UCV結合成的SBUCV（Smooth Bootstrap UCV）方法的建模偏差和方差，并與UCV和BUCV（Bootstrap UCV）方法的結果進行對比。圖2為根據部分特征參數，做出的SBUCV建模偏差的趨勢圖。由圖2可知，（3，100）代表高峰度的小樣本，它的偏差最大，但是隨著樣本數量的增加和峰度的減少，建模偏差會逐步降低。

圖2 SBUCV偏差數值的改變趨勢Fig.2 Trend of SBUCV bias

表2 為4種特征鮮明的樣本的偏差結果。4種樣本是：（3，100）為高峰度的小樣本；（3，2 000）為高峰度的大樣本；（12，100）為低峰度的小樣本；（12，2 000）為低峰度的大樣本。

當BUCV和SBUCV偏差與UCV偏差的相對值小于0時，表示偏差降低，精度提高；當BUCV和SBUCV偏差與UCV偏差的相對值大于0時，表示偏差增高，精度降低。從仿真結果看：SBUCV在任何特征樣本下均能夠提高UCV的精度，尤其在高峰度的大樣本情況下提升幅度明顯；BUCV在小樣本下可以提高精度，在大樣本下降低了精度，且提高和降低的幅度均較小。

圖3為根據同樣的特征參數，做出了SBUCV建模方差的趨勢圖，其趨勢與圖2相似。表3為4種特征樣本的方差結果。

圖3 SBUCV方差數值的改變趨勢Fig.3 Trend of SBUCV variance

表3 4種特征樣本的仿真方差Table 3 Simulation variance of four feature samples

由表3可知，光滑自助法在多數特征樣本上均能夠降低UCV方差，并且降低幅度要大于經典自助法。

但是，表3中有一個方差增加的特例發生在特征樣本（3，2 000）上，這說明在高峰度大樣本條件下，光滑自助法的多樣性增加了UCV方差。為了解決這個問題，可以降低式（9）方差項的權重系數（例如：w=0.4），將方差降低到令人滿意的范圍內。

綜合表2，3可以得出這樣的結論：無論怎樣的特征樣本，在估計函數的偏差和方差兩個方面，光滑自助法對基本的UCV方法具有明顯的改善效果，且幅度大于經典自助法。

在完成了端點參數的特征樣本的仿真后，下面針對常見參數的特征樣本進行仿真。在風功率預測誤差中，常見的峰度值在6附近波動，根據這個分布特征，本文選擇數據量從500到2 000的特征樣本，考察上述方法的偏差和方差。圖4為偏差的仿真結果。

由圖4可知：在常見尖峰厚尾系數樣本中，UCV的偏差隨著樣本量的增加而減小，即樣本量的增加，對建模精度有提高作用；在相同數據量的樣本上，BUCV對原樣本進行可放回重采樣，因此，估計的偏差與原樣本偏差相差不大；SBUCV是考慮了原樣本分位數的精確估計基礎上的重采樣，因此，估計的偏差比UCV和BUCV有較大降低。

圖4 峰度6的特征樣本仿真偏差Fig.4 Bias of feature samples with kurtosis of six

圖5為方差的仿真結果。由圖5可知：UCV的方差隨著樣本量的增加而減小；由于BUCV和SBUCV均是通過重采樣的多樣性降低估計的方差，因此在方差降低效果上，兩個方法結果相近，且與原樣本對比，均有較大的降低。

圖5 峰度6的特征樣本仿真方差Fig.5 Variance of feature samples with kurtosis of six

總之，SBUCV在偏差和方差兩個部分對估計結果均有較大的改進，而BUCV只在方差部分有改進。

3.4 基于光滑自助法的ROT仿真

這組仿真檢驗結合方法SBROT的建模偏差和方差，并與ROT和BROT的結果進行對比。

同前面的仿真過程一樣，本文首先對端點參數的特征樣本進行仿真，其偏差結果如表4所示，方差結果如表5所示。

由表4，5可知：在高峰度的特征樣本（3，100）和（3，2 000）上，SBROT方法比ROT方法的偏差有明顯的減小，即從0.19和0.07減小到0.17和0.05；同時方差也有明顯的增大，即從0.15和0.04增大到0.16和0.05。將減小和增大的幅度相加可知，在高峰度樣本上，SBROT的總誤差小于ROT的總誤差，即SBROT方法比ROT方法更有效。

表4 4種特征樣本的仿真偏差結果Table 4 Simulation bias results of four feature samples

表5 4種特征樣本的仿真方差結果Table 5 Simulation variance results of four feature samples

在完成端點參數的特征樣本的仿真后，本文還針對常見參數的特征樣本進行了仿真，其結果同上面高峰度的仿真結果近似，即偏差有一定程度的減小，方差有一定程度的增大。經過減小Z分布的方差和降低權重系數w等調整，可以達到在小樣本的數據集上，SBROT總誤差小于ROT總誤差的效果。

綜合可知：SBROT在高峰度、小樣本的風功率預測誤差建模上，具有比ROT更好的性能；但在低峰度、大樣本的誤差集合上，SBROT的效果不如ROT；SBROT方法的參數調整比較頻繁，須要根據樣本的具體特征進行仔細調整，才能達到預期的效果。

4 實際數據仿真

4.1 數據源

實際風電功率數據來源于中國東北的一個風電場，該風電場的裝機容量為49.3 MW。在2016年夏季一個月的時間段內采集了間隔為15 min的平均輸出功率（圖6）。以該數據為基礎，采用文獻[9]給出的基于ARMA誤差修正的LM-BP模型方法進行了模擬預測，并獲得預測的誤差集合，其分布如圖7所示。本次仿真的內容就是根據這個誤差集合檢驗本文方法的實用性。

圖6 風功率測量曲線Fig.6 Curve of measurement wind power

圖7 預測誤差直方圖和概率密度曲線Fig.7 Histogram of forecast error and curve of probability density

由圖7可知，SBUCV的建模效果比常用的正態分布和柯西分布要精確很多。

圖7顯示的誤差集合直方圖保存了有效的預測誤差，共1 767個數據，該集合的常用統計特征值見表6。

表6 風功率預測誤差的統計特征Table 6 Statistical characteristics of wind power forecast errors

根據表6中的標準差和峰度的數值可以判斷，該誤差的尖峰厚尾程度較高，而且樣本數據量較少，適合檢驗SBUCV方法的實用性。

4.2 檢驗方法

由于風電功率預測誤差的真實分布未知，常規的檢驗過程不能給出正確的結論，為此，本文設計了一個多重二分檢驗法驗證SBUCV方法的實用性。

將上述樣本按照每個數據以1/n的概率方式抽樣，抽取為數據量相等的兩組子樣本，其中1組樣本用于建模，另一組樣本用于檢驗。檢驗的衡量指標是Kolmogorov-Smirnov統計量（KS統計量）。根據Glivenko-Cantelli定理，當KS統計量足夠小時，兩組數據可以認為來自于同一分布。KS統計量的計算方法如下：

式中：F（h）為一組子樣本在h下的密度估計函數；Fn（x）為另一組子樣本的經驗分布函數；Dh為該帶寬下的KS統計量，該值越小，說明建模效果越好。

為了避免一次分組檢驗的隨機性，針對上述過程應該進行多次隨機抽樣，取KS統計量均值衡量建模方法的精度。

4.3 仿真

針對給出的實際誤差集合，本文進行了多次二分交叉驗證，對其中1個子樣本分別用UCV方法和SBUCV方法建模，然后用另一組子樣本的經驗分布計算兩種方法的KS統計量，并進行比較。圖8為50次隨機模擬的KS統計量結果。

圖8 50次隨機模擬中的KS值Fig.8 Statistics of KS value in 50 random simulations

由圖8可知，在50次的隨機模擬中，大多數的SBUCV的KS值均要小于UCV的KS值。表7為50次KS值模擬結果的均值和標準差。由表7可知，無論是均值，還是標準差，SBUCV方法的統計結果均要小于UCV方法。說明了SBUCV方法在建模精度和穩健性上均要優于UCV方法。

表7 50次KS檢驗的統計結果Table 7 Statistical results of KS test in 50 random simulations

5 結論

為了解決常用核密度估計方法UCV和ROT在風功率預測應用中存在較大誤差的問題，本文提出了基于光滑自助法的核密度估計方法。該方法可以與任何基本的核密度方法組合使用，具有使用范圍廣的特點。通過仿真對比了基本UCV和組合SBUCV、基本ROT和組合SBROT的精度和穩定性，得出如下結論。

①對于SBUCV方法，無論在4種典型的特征樣本上，還是常見的特征樣本上，該方法的精度和穩定性均優于UCV方法和BUCV方法，且提高的幅度較大。

②對于SBROT方法：在高峰度的小樣本誤差集合上，該方法的精度比ROT方法有較大提高，在穩定性上有較大下降；比較兩者相加的總誤差，SBROT方法要優于ROT方法；在低峰度的大樣本上，該方法在精度和穩定性兩個方面均不如ROT方法。