基于Matlab和Excel的誤差理論教學軟件設計

李芳　盧鑫垚　陳龍　陳瑋

摘要：針對誤差理論與數據處理教學過程中存在的數據計算量大，學生理解困難等問題，提出應用Matlab和Excel軟件相結合，實現人機交互，測量數據的自動讀取及分析功能。應用到教學中，可以幫助學生理解數據處理的理論知識，直觀觀測到數據的變化趨勢及實現數據的分析預測，有效提高教學質量。

關鍵詞：數據處理;等精度數據處理;回歸分析及預測

中圖分類號： G424? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）07-0066-02

誤差理論與數據處理課程是測控技術與儀器專業的一門重要的專業基礎課，屬于交叉學科。該課程以概率論、數理統計、矩陣論、隨機過程等為基礎，內容主要包括含誤差的測量數據處理方法、誤差的合成與分配、曲線擬合等多方面的知識，要求學生能解釋相關的專業術語、能實現對測量誤差的來源和測量誤差分布類型的判斷、能實現對隨機誤差、粗大誤差、系統誤差的處理并能實現各種誤差的合成和分配及測量數據的一元線性回歸分析。本課程中涉及了大量的數學計算，這就對學生的數學知識的掌握程度提出了更高的要求。教學中教師往往花費大量的時間來講解數學過程，而學生對枯燥的數學公式推導望而卻步，學習興趣往往不高，考試前突擊地機械性記憶公式，而不能理解其實際的物理意義，無法與工程應用相結合，理論難以在實際測量中得到很好的應用[1-3]。

本課題根據誤差理論課程知識模塊的特點，將Matlab軟件與Excel軟件相結合，通過人機界面調用測量數據，Matlab軟件實現誤差信號的各種分析處理，簡化大量的數學計算，加強學生對數據處理方法的理解，能直觀地看到檢測點的曲線圖和數據處理結果[4]。同時通過測量數據進行誤差來源的分析，鞏固學生對于誤差合成和分配的概念。在曲線擬合中，通過測量數據的讀取，選擇不同的曲線擬合形式，得到不同的結果，也可實現對測量結果的預測。實現課程以學生為中心、教師為指導，注重教學內容與算法實現的融合，突出學生的主動參與、思考和實踐。通過理論知識傳授、工程軟件仿真及教學演示測試等環節，形成的探究式教學方式，有助于學生更直觀與深入地掌握誤差分析理論和數據處理方法。

1 系統結構

根據課程內容要求，設計軟件主要包括等精度數據處理和回歸分析兩部分：

打開Matlab主界面，輸入guide，完成主界面的設計。然后完成數據讀取、存貯功能的實現：

測量數據保存方式可以是.xls或.txt等格式，在程序運行中，首先需要運行主界面，打開數據文件，讀取數據。

數據讀取可通過兩種方式實現：

方式一：直接讀取數據文件

點擊導入數據文件按鈕，選擇callback選項，填入以下程序段。

[FileName PathName]=uigetfile（{'*.xls'，'ExcelFiles（*.xls）';'*.txt'，'Txt Files（*.txt）';'*.*'，'All Files（*.*）'}，'Choose a File'）;

str=[PathName FileName];

num=xlsread（str，'A1：B3'）;

set（handles.uitable1，'data'，num）;即可將數據在界面上顯示出來

方式二：在界面上添加控件，可以從界面上直接輸入測量數據。

數據存貯程序如下：xlswrite（'test.xlsx'，num）;

數據處理結果將保存到Matlab工作文件夾下。

2 等精度數據處理功能實現

誤差的變化規律各不相同，由此可以分為隨機誤差、系統誤差和粗大誤差三類。由于系統誤差的減小和消除通常不通過數據處理實現，所以本文中的數據處理主要針對隨機誤差和粗大誤差進行。其數據處理流程圖1所示。

1）最佳測量值的表示：

以等權測量條件下，對同一量進行多次重復測量，得到一系列不同的測量值。根據隨機誤差的處理方法，最可信賴值可用以下公式表示：

由于隨機誤差的本質特征是抵償性，所以將算術平均值作為測量結果的最佳估計。通過此種方法計算的值，可以有效減小隨機誤差的影響。

2）粗大誤差判斷：

在對一列重復測量數據進行處理的過程中，可能會出現有某個數據與其他數據相比差異較大，此時其值就可能含有粗大誤差的影響。根據隨機誤差理論，出現大誤差的概率雖然小，但也是可能的，不恰當地剔除含大誤差的正常數據，會造成測量重復性偏好的假象。反之對確定混有粗大誤差的數據未加剔除，必然會造成測量重復性偏低的后果。

粗大誤差的判斷準則應用最廣泛的是拉伊達準則，是以測量次數充分大為前期的。格拉布斯準則和狄克遜準則也被經常使用，本教學軟件中將根據不同的測量條件實現這三種準則的合理選擇及運用。

本軟件在選擇粗大誤差判斷準則時，當測量次數n>50時，可以采用拉伊達準則，50>n>30采用格拉布斯準則。30>n>3時，格拉布斯準則和狄克遜準則要同時應用。若其結果出現差異，則可以認為該數據沒有粗大誤差，此數據不應該被剔除。在本設計中，根據測量次數的多少，并根據具體的使用條件自動合理選擇應用的準則，并在界面中加以顯示。

在實際測量中，如果無法判斷數據分布是否服從正態分布或測量數據偏離正態分布嚴重的情形下，可以采用測量數據的穩健處理方法，其流程如圖2所示。

3）隨機誤差的處理：

在置信概率p一定的情況下，置信區間的大小與誤差屬于哪種分布形式是密切相關的，本軟件中按照正態分布來表示置信區間，也就是極限誤差。數據處理結果如圖3所示。在不同概率情況下，可以得到不同大小的極限誤差。

在界面中，左側實現數據輸入功能，中間列是數據處理流程，右側將數據以圖像形式顯示出來，圖中的上下限是應用拉伊達準則計算出來的極限誤差值的圖線。

數據處理的結果在頁面最下行顯示出來，如圖3所示。

3 曲線擬合功能實現

回歸分析是處理變量之間相關關系的一種數理統計方法，也是廣泛用于獲得數學表達式的較好方法。

本軟件中主要對一元線性回歸進行分析處理。

假設有自變量x1，x2，…，xn，此時獲得的輸出量為y1，y2，…，yn，則通過對測量值y1，y2[，…，]yn之間的差異進行分析可知，差異來源于兩個方面：

首先自變量x取值的不同造成輸出值y也不同;其次是由于測量誤差的存在等其他因素的影響導致輸出值產生差異。所以如果將上述兩個因素造成的結果分離出來，就可以實現對對線性回歸的效果進行檢驗。

將變量y的n的測值與其平均值的偏差分解為由變量x變量的不同取值引起的回歸偏差和由測量誤差等其他因素造成的殘余誤差，并進一步用n個值的偏離平方和來描述。也就是總偏差平方和反映因變量的n個觀測值與其均值的總偏差;回歸平方和在總的偏差中因x和y的線性關系而引起y變化的大小;殘余平方和在總的偏離中除了x對y線性影響之外的其他因素而引起y變化的大小。回歸分析的要求就是使殘余平方和最小，其值越小，說明回歸效果越好。

從實際測量中可以發現，任意一組測量數據（xi，yi）都可以采用此方法擬合出回歸方程，但是如果實際的測量點數據實際是分散的，不呈線性，那討論回歸就沒有意義了。所以要對數據是否真的能夠顯著呈現線性進行檢驗。一元線性回歸自變量x和輸出量y之間的線性關系的檢驗實現就是將回歸平方和（代表線性回歸程度）和殘余平方和（代表測量誤差等因素的影響）的值作比值。本軟件中應用F檢驗（也可以使用其他檢驗方法），在一定置信概率p下，如果回歸平方和遠大于殘余平方和，說明回歸效果非常顯著，x和y的線性關系明顯，反之則不顯著，就無法說明二者呈現線性關系。

在軟件界面中（如圖4所示），左側實現的是數據輸入功能。右上側是根據輸入數據所進行的方差分析表格，假設服從F分布（也可以選擇其他類型），可以通過查表求出不同[α（顯著度）]情況下的臨界值，由此判斷是否高度顯著，得出有效結論。

右下角是利用分析結果做出的回歸直線及預測區間，選擇不同概率情況下，可以得出不同的數據預測區間。

4 結論

適用于誤差理論與數據處理課程項目式教學的軟件還有很多，本課題選擇Matlab和Excel實現了人機的交互，數據的自動輸入和手動輸入、等精度數據處理及回歸分析等功能，簡化了數據處理的計算過程，學生可以使用該軟件進行數據處理，使學生直觀形象地理解誤差理論的知識。在后續的功能擴展中，將繼續將其與虛擬仿真軟件相結合，實現測量過程的仿真與數據實時讀取，加速推進誤差理論與數據處理課程的教學改革之路。

參考文獻：

[1] 李成，錢政，樊尚春，等.《誤差分析與數據處理》的探究式教學[J].實驗科學與技術，2013，11（1） 83-85，148.

[2] 費業泰，蔣敏蘭，劉芳芳.動態測量精度理論研究進展與未來[J].中國機械工程，2007（18）：2260-2262.

[3] 汪鳳林，汪秀麗，溫秀蘭.誤差理論與數據處理課程改革探索[J].中國現代教育裝備，2008（11）：60-62.

[4] 費業泰.誤差理論與數據處理[M].北京：機械工業出版社， 1986.

【通聯編輯：唐一東】